重庆市璧山中学校2025-2026学年高三下学期第六次质量检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 重庆市璧山中学校2025-2026学年高三下学期第六次质量检测数学试题（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 356.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
高 2026 届高三第六次质量检测 数学试题
2026.3
注意事项:
1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若复数 ( 为虚数单位),则 的虚部为
A. B. C.2D. -2
2. 已知非空集合 ,若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
3. 某市高三年级男生身高 近似服从正态分布 ,若 0.7,则
4. 直线 被圆 所截得的最短弦长为
A. B. C. D.
5. 关于函数 ,下列说法不正确的是
A. 是偶函数 B. 最大值为 2
C. 最小值为 -2 D. 不是周期函数
6. 是定义在 上的函数,且对 均有: ,若 ,实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为:玩家向庄家下注，每次下注前, 庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃, 若三枚骰子点数一样, 称为豹子, 庄家直接获胜; 其他情况中, 点数和为 4 到 10 称为小,和为 11 到 17 称为大; 玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大,已知庄家获胜的条件下,三枚骰子点数最大的是 5 的概率为
8. 正四面体 棱长为 2,点 为其外接球球心,点 满足: ,且点 在平面 上,则三棱锥 体积最小值为
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小 题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 已知 ,则下列选 项正确的是
A.
B. 若 ,则
C.
D. 的展开式中,不存在连续三项成等比数列
10. 已知函数 ,其导函数为 ,下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 时, 的单调递减区间为
C. 时, 为 的极值点
D. 时, 无零点
11. 已知曲线 与抛物线 交于 两点， 的中点为 ,当 时, 到抛物线准线的距离为 为抛物线的焦点,则下列选项正确的是
A.
B. 的轨迹方程为
C.
D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 盒子中装有除编号 (1 到 6 ) 外完全相同的 6 个小球, 从中有放回地摸球 5 次, 记录摸到球的编号, 若已知 5 个编号的中位数为 3 , 唯一众数为 2 , 则平均数最大可能为_____.
13. 公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 恒成立,且 1,则 _____.
14. 对数集 中的元素先按照从小到大的顺序排列得到 ,定义 为其 “交替和”,数集 的所有非空子集的交替和的和为 “交替总和”. 已知 ,则 的交替总和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某科技公司研发了一款 AI 图像分类模型. 现随机抽取 500 张图片对该模型进行测试, 记录了单次测试的准确率(百分比). 通过对测试结果的分析, 绘制出了如下频率分布直方图:
(1)求平均准确率;
(2)将准确率不低于 90% 的一次分类视为 “精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行 5 次测试，记 为 “精准分类” 的次数，求随机变量 的分布列及数学期望 .
16. (15 分)
记数列 的前 项和为 ,若 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ， 的前 项和为 ，求集合 的元素个数.
17. (15 分)
如图，在直角坐标系 中， ， ， ，动点 与 ， 两点构成 , 中角 的对边分别为 ,且满足 .
(1)当 点运动时，探究 是否为定值，并求出动点 的轨迹方程.
(2)点 在点 的轨迹上且满足 ，求坐标原点 到直线 的距离.
18. (17 分)
如图, 为圆台 下底面圆周上三点, 为直径且 为上底面圆周上一点, 分别为线段 的中点,且满足: ,平面 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，满足要求的点 有且只有一个，设三棱锥 外接球半径为 ,圆台的高为 .
(i) 求 ;
(ii) 为上底面圆周上一动点,当平面 与平面 夹角为 时,求点 到平面 的距离.
19. (17 分)
已知函数 .
(1) 求 在 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 在 上的最大值 :
(3)已知 为函数 在 上的所有极值点，且满足 ,证明: .
数学答案
高 2026 届高三年级质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 C B B C C A B D ACD ABD BCD
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. C ,虚部为 2,选 C
2. B 易知集合 是集合 的真子集,所以 ,选 B
3. B ,选 B
4. 过定点 ,圆心与该定点连线垂直于弦时弦长最短为 ,选
5. ,所以 是偶函数,故选项 A 正确;
当 时, ,
当 时, ,
因为 是偶函数，图象关于 轴对称，可得 的图象如图所示:
由图易知 C 错.
6. A 关于 中心对称,且在 上单调递增, 等价于 ,选 A
7. B 已知庄家获胜,所以点数为豹子或者小,豹子有 6 种情况,小有 105 种情况,所以三枚骰子点数最大的是 5 的情况有: 一种, 三种, 六种, 六种, 三种, 六种, 六种,所以对应概率为 ,选 B
8. D 设 中心为 ,即 ,当且仅当 取等. 又 ,故选 D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.
9. ACD A. 由 解得 ,所以 正确;
B. 由 ,可以在二项展开式中令 ,有 ,所以 或 0,故 错误;
C. 在二项展开式中令 ,有 ,故 正确;
D. ,其展开式的通项为 ,
①若 ，则显然 D 正确；
②若 ，若展开式中存在连续三项成等比数列，则必存在整数 使得
, 矛盾, 故假设错误,
综上, 正确.
10. ABD .
A. 若 ,则 ,故 正确;
B. 的单调递减区间为 , 故 B 正确;
C. 单调递增,无极值点,故 C 错误;
D. 时, 单调递减,且 时, , ,
使得 ,即 在 单增, 单减,
; 令 ,当 时, 单增, ,即 无零点, 故 D 正确.
11. BCD 设 关于 轴的对称点为 ,设直线 ,则 , A. 时, ; B. ,
;
又 ;
C. 设直线 与 轴交点为 ,令 得 为 中点, ;
D. 设 ,则 ,且 ,
又 ,代入得 ,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.3.6 或
由题可知摸到的号码为 ,其中 ,且 时,平均数最大为 3.6.
13.
恒成立,
.
14.
的非空子集有 个,最小元素为 ,除去集合 ,剩下 个非空子集可分为两类: 不包含 的集合 与包含 的集合 ,且具有一一对应关系,设 的交替和为 , 则 的交替和为 ,这一对集合的交替和为 ; 故 的交替总和为 ; ,易知最小元素 ,故交替总和为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
解: (1) 由频率分布直方图,可得平均准确率为: 95 = 80. 5 分
(2)由频率分布直方图可知，一次分类是“精准分类”的概率为 0.1 ， 6 分
以频率估计概率,则 , 8 分
则 , 11 分
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4 5
0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
的期望为 13 分
16. (15 分)
解: (1) , 3 分 ,
累乘得 , 5 分
也符合上式; 6 分
综上 . 7 分
(2) , 8 分
10 分
12 分
且 , 14 分
,共 5 个元素. 15 分
17. (15 分)
解: (1) 在 中,
由正弦定理有: 3 分
而 ，分别在 ， 中利用余弦定理可得:
,化简得 .
,即 , 5 分根据双曲线定义,点 的轨迹为 . 6 分
( 2 )由题直线 斜率不为 0，设其方程为 ， ，
9 分
又 ,即 ,所以
11 分
代入韦达定理可得: 12 分
点 到直线 的距离 . 15 分
18. (17 分)
解: (1) 证明:因为 ,所以 .
又因为平面 平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
所以有 ,而在下底面里, 是直径,所以, ,且
所以 平面 . 4 分
(2)由(1)可知， 是平面 的一个法向量，因为满足要求的点 有且只有一个，所以平面 与上底面圆周有且只有一个公共点,所以上底面圆周在下底面的射影图形与 相切于点
底面 . 即上底面圆的半径 , 5 分 ( i ) 由 (1) 可知， 为等腰直角三角形，
又 ，所以易得， ， ，即圆台高 ， 7 分
因为三棱锥 四个面皆为直角三角形,可知, ,即 为三棱锥 外接球的球心,所以 , 8 分所以 9 分
(ii) 连接 ，如图建立空间直角坐标系，则有 ， ， ，
设 ,则 设平面 的一个法向量为 ,则有 ,取 ,解得 ,即 11 分
设平面 的一个法向量为 ,则有 ,
取 ,解得 ,即 13 分所以平面 与平面 夹角的余弦值为 , 设 . 则前式化简得: ,
解得 或 (舍), 15 分
所以点 到平面 的距离为:
17 分
19. (17 分)
解: (1) ,
又 ,所以 在 处的切线方程为: 3 分
(2)
因为 ,所以 ,所以 , 显然 在 单调递增, 4 分
① 当 时，( * )在 只有唯一可能解 ，即有 恒成立，
所以 在 单调递减,此时 5 分
② 当 时， 恒成立，所以 在 单调递增，
6 分
③ 当 时， 在 有唯一解 ，
当 时, ,即 在 单调递减,
当 时, ,即 在 单调递增,
所以 在 单调递增,且 ,
所以当 时,
所以当 时, 9 分
综上知, 10 分
(3)证明: 设 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,且由三角函数的图像易知, 在每一个 左右两边异号,即 在每一个 左右两边单调性相反,所以 均为 的极值点. 12 分
由 (2) 可知,当 时, ,
而 ,显然 时, ,
所以 . 14 分
由 (1) 知 在 处的切线方程为:
设
当 时, 单调递增,所以 单调递减,所以 , 所以 ,则
, 16 分
综上有 . 17 分
2026.3
注意事项:
1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若复数 ( 为虚数单位),则 的虚部为
A. B. C.2D. -2
2. 已知非空集合 ,若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
3. 某市高三年级男生身高 近似服从正态分布 ,若 0.7,则
4. 直线 被圆 所截得的最短弦长为
A. B. C. D.
5. 关于函数 ,下列说法不正确的是
A. 是偶函数 B. 最大值为 2
C. 最小值为 -2 D. 不是周期函数
6. 是定义在 上的函数,且对 均有: ,若 ,实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为:玩家向庄家下注，每次下注前, 庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃, 若三枚骰子点数一样, 称为豹子, 庄家直接获胜; 其他情况中, 点数和为 4 到 10 称为小,和为 11 到 17 称为大; 玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大,已知庄家获胜的条件下,三枚骰子点数最大的是 5 的概率为
8. 正四面体 棱长为 2,点 为其外接球球心,点 满足: ,且点 在平面 上,则三棱锥 体积最小值为
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小 题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 已知 ,则下列选 项正确的是
A.
B. 若 ,则
C.
D. 的展开式中,不存在连续三项成等比数列
10. 已知函数 ,其导函数为 ,下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 时, 的单调递减区间为
C. 时, 为 的极值点
D. 时, 无零点
11. 已知曲线 与抛物线 交于 两点， 的中点为 ,当 时, 到抛物线准线的距离为 为抛物线的焦点,则下列选项正确的是
A.
B. 的轨迹方程为
C.
D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 盒子中装有除编号 (1 到 6 ) 外完全相同的 6 个小球, 从中有放回地摸球 5 次, 记录摸到球的编号, 若已知 5 个编号的中位数为 3 , 唯一众数为 2 , 则平均数最大可能为_____.
13. 公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 恒成立,且 1,则 _____.
14. 对数集 中的元素先按照从小到大的顺序排列得到 ,定义 为其 “交替和”,数集 的所有非空子集的交替和的和为 “交替总和”. 已知 ,则 的交替总和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某科技公司研发了一款 AI 图像分类模型. 现随机抽取 500 张图片对该模型进行测试, 记录了单次测试的准确率(百分比). 通过对测试结果的分析, 绘制出了如下频率分布直方图:
(1)求平均准确率;
(2)将准确率不低于 90% 的一次分类视为 “精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行 5 次测试，记 为 “精准分类” 的次数，求随机变量 的分布列及数学期望 .
16. (15 分)
记数列 的前 项和为 ,若 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ， 的前 项和为 ，求集合 的元素个数.
17. (15 分)
如图，在直角坐标系 中， ， ， ，动点 与 ， 两点构成 , 中角 的对边分别为 ,且满足 .
(1)当 点运动时，探究 是否为定值，并求出动点 的轨迹方程.
(2)点 在点 的轨迹上且满足 ，求坐标原点 到直线 的距离.
18. (17 分)
如图, 为圆台 下底面圆周上三点, 为直径且 为上底面圆周上一点, 分别为线段 的中点,且满足: ,平面 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，满足要求的点 有且只有一个，设三棱锥 外接球半径为 ,圆台的高为 .
(i) 求 ;
(ii) 为上底面圆周上一动点,当平面 与平面 夹角为 时,求点 到平面 的距离.
19. (17 分)
已知函数 .
(1) 求 在 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 在 上的最大值 :
(3)已知 为函数 在 上的所有极值点，且满足 ,证明: .
数学答案
高 2026 届高三年级质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 C B B C C A B D ACD ABD BCD
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. C ,虚部为 2,选 C
2. B 易知集合 是集合 的真子集,所以 ,选 B
3. B ,选 B
4. 过定点 ,圆心与该定点连线垂直于弦时弦长最短为 ,选
5. ,所以 是偶函数,故选项 A 正确;
当 时, ,
当 时, ,
因为 是偶函数，图象关于 轴对称，可得 的图象如图所示:
由图易知 C 错.
6. A 关于 中心对称,且在 上单调递增, 等价于 ,选 A
7. B 已知庄家获胜,所以点数为豹子或者小,豹子有 6 种情况,小有 105 种情况,所以三枚骰子点数最大的是 5 的情况有: 一种, 三种, 六种, 六种, 三种, 六种, 六种,所以对应概率为 ,选 B
8. D 设 中心为 ,即 ,当且仅当 取等. 又 ,故选 D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.
9. ACD A. 由 解得 ,所以 正确;
B. 由 ,可以在二项展开式中令 ,有 ,所以 或 0,故 错误;
C. 在二项展开式中令 ,有 ,故 正确;
D. ,其展开式的通项为 ,
①若 ，则显然 D 正确；
②若 ，若展开式中存在连续三项成等比数列，则必存在整数 使得
, 矛盾, 故假设错误,
综上, 正确.
10. ABD .
A. 若 ,则 ,故 正确;
B. 的单调递减区间为 , 故 B 正确;
C. 单调递增,无极值点,故 C 错误;
D. 时, 单调递减,且 时, , ,
使得 ,即 在 单增, 单减,
; 令 ,当 时, 单增, ,即 无零点, 故 D 正确.
11. BCD 设 关于 轴的对称点为 ,设直线 ,则 , A. 时, ; B. ,
;
又 ;
C. 设直线 与 轴交点为 ,令 得 为 中点, ;
D. 设 ,则 ,且 ,
又 ,代入得 ,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.3.6 或
由题可知摸到的号码为 ,其中 ,且 时,平均数最大为 3.6.
13.
恒成立,
.
14.
的非空子集有 个,最小元素为 ,除去集合 ,剩下 个非空子集可分为两类: 不包含 的集合 与包含 的集合 ,且具有一一对应关系,设 的交替和为 , 则 的交替和为 ,这一对集合的交替和为 ; 故 的交替总和为 ; ,易知最小元素 ,故交替总和为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
解: (1) 由频率分布直方图,可得平均准确率为: 95 = 80. 5 分
(2)由频率分布直方图可知，一次分类是“精准分类”的概率为 0.1 ， 6 分
以频率估计概率,则 , 8 分
则 , 11 分
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4 5
0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
的期望为 13 分
16. (15 分)
解: (1) , 3 分 ,
累乘得 , 5 分
也符合上式; 6 分
综上 . 7 分
(2) , 8 分
10 分
12 分
且 , 14 分
,共 5 个元素. 15 分
17. (15 分)
解: (1) 在 中,
由正弦定理有: 3 分
而 ，分别在 ， 中利用余弦定理可得:
,化简得 .
,即 , 5 分根据双曲线定义,点 的轨迹为 . 6 分
( 2 )由题直线 斜率不为 0，设其方程为 ， ，
9 分
又 ,即 ,所以
11 分
代入韦达定理可得: 12 分
点 到直线 的距离 . 15 分
18. (17 分)
解: (1) 证明:因为 ,所以 .
又因为平面 平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
所以有 ,而在下底面里, 是直径,所以, ,且
所以 平面 . 4 分
(2)由(1)可知， 是平面 的一个法向量，因为满足要求的点 有且只有一个，所以平面 与上底面圆周有且只有一个公共点,所以上底面圆周在下底面的射影图形与 相切于点
底面 . 即上底面圆的半径 , 5 分 ( i ) 由 (1) 可知， 为等腰直角三角形，
又 ，所以易得， ， ，即圆台高 ， 7 分
因为三棱锥 四个面皆为直角三角形,可知, ,即 为三棱锥 外接球的球心,所以 , 8 分所以 9 分
(ii) 连接 ，如图建立空间直角坐标系，则有 ， ， ，
设 ,则 设平面 的一个法向量为 ,则有 ,取 ,解得 ,即 11 分
设平面 的一个法向量为 ,则有 ,
取 ,解得 ,即 13 分所以平面 与平面 夹角的余弦值为 , 设 . 则前式化简得: ,
解得 或 (舍), 15 分
所以点 到平面 的距离为:
17 分
19. (17 分)
解: (1) ,
又 ,所以 在 处的切线方程为: 3 分
(2)
因为 ,所以 ,所以 , 显然 在 单调递增, 4 分
① 当 时，( * )在 只有唯一可能解 ，即有 恒成立，
所以 在 单调递减,此时 5 分
② 当 时， 恒成立，所以 在 单调递增，
6 分
③ 当 时， 在 有唯一解 ，
当 时, ,即 在 单调递减,
当 时, ,即 在 单调递增,
所以 在 单调递增,且 ,
所以当 时,
所以当 时, 9 分
综上知, 10 分
(3)证明: 设 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,且由三角函数的图像易知, 在每一个 左右两边异号,即 在每一个 左右两边单调性相反,所以 均为 的极值点. 12 分
由 (2) 可知,当 时, ,
而 ,显然 时, ,
所以 . 14 分
由 (1) 知 在 处的切线方程为:
设
当 时, 单调递增,所以 单调递减,所以 , 所以 ,则
, 16 分
综上有 . 17 分
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