陕西榆林市2026届高三模拟预测数学试题（含解析）

2026 年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 (五)
本试卷共 150 分 考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题;本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 若复数 为纯虚数,则
A. -1 B. 0 C. 1 D.
2. 若全集 ,则
A. B.
C. D.
3. 如图所示，每个小菱形的边长均为 1,向量 与 的夹角为 ,则
A.
B.
C.
D.
4. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 外接圆的半径为
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
5. 甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下:两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色, 则甲获胜, 反之则乙获胜. 已知甲的袋子中有 3 个黑球和 3 个红球, 乙的袋子中有 3 个黑球和 2 个红球, 则乙获胜的概率为
A. B.
C. D.
6. 如图所示,在正三棱柱 中, 分别为线段 , 的中点,点 在 上,若 ,则
A.
B.
C.
D.
7. 将双曲线 绕原点 逆时针旋转 后,得到函数 的图象,已知直线 是函数 图象的一条渐近线, ,则
A. 1 B. 2 C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ,若 ,且 ,则
A. 0 B. 1 C. 10 D. 20
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上,若 ， 为坐标原点, 则
A. B.
C. D. 点 到直线 的距离为
10. 已知直线 与函数 的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为 ,且 ,则
A.
B. 函数 的定义域为
C. 点 是函数 的图象的一个对称中心
D. 函数 与函数 的图象在 上的交点个数为 4
11. 一封闭圆锥容器(容器厚度忽略不计)的轴截面是边长为 10 的等边三角形,一个半径为 的小球在该容器内自由运动,则
A. 该圆锥的侧面积为
B. 小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为 2
C. 小球在圆锥内部移动时,球心之间的最大距离为 4
D. 小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 则 _____.
13. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 _____.
14. 若 恒成立，则实数 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某果树种植基地为了调研 A 品种橘子树的结果情况, 随机采摘了 100 个橘子, 称重后得到的数据分成六组,分别为 ,(单位: 克),得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估算样本的中位数;
(2)已知 上的平均重量是 65 克,方差是 上的平均重量为 75 克, 方差是 3,求两组重量的总方差 .
16.(15分)
如图所示，在正四棱柱 中， 为 的中点， .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值.
17.(15分)
已知等差数列 的前 项和为 . 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和:
(3)证明: .
18. (17分)
在平面直角坐标系中,已知点 直线 与 相交于点 。且两直线的斜率之积为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)直线 与动点 的轨迹交于 ， 两点,求弦长 ；
(3)若动点 的轨迹为闭合曲线，点 ，动点 的轨迹上存在不关于 轴对称的两点 、使得 恰好被 轴平分,求 面积的取值范围.
19.(17 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 在区间 内极值点的个数.
(2)设函数 ，若函数 存在两个不同的零点 ,且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 证明: .
2026 年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 (五) 参考答案
1. A 因为(1-i)(a+i) (1-a)i 为纯虚数，所以 ，故 .
2.C 因为 ,所以 .
3.B 由图可知, ,则 .
4.B 由于 ,且 ,所以 ,
设 外接圆的半径为 ,
因为 ,所以 ,所以 .
5.D 总事件数为 ，乙获胜的事件数是 ，
则乙获胜的概率是 .
6.C 如图所示,取 的中点 ,连接 .
为线段 的中点,
,
平面 平面 .
平面 ,
平面 平面 .
平面 .
三棱柱 的棱长为 ，
.
B
如图所示,易知直线 的倾斜角为 ,
则直线 的斜率 ,
则直线 . 由 得 ,
则 .
由题意可知,函数 图象的另一条渐近线为直线 ,
过点 分别作直线 的垂线分别交直线 于点 ,
8. A 令 ,则 ,令 ,则 .
令 ,则 ,所以函数 的图象关于直线 对称.
令 ,则 ,所以 , 的图象关于点 对称.
故 ,则 , 是周期 的函数. 又 ,所以 .
9.BC 由抛物线的定义，得 。+3=9，所以 ，A 项错误；
因为点 在抛物线 上，所以 ，所以 ，B 项正确；
项正确；
设点 到直线 的距离为 ，则 ，故 ， 项错误。
10. BCD 因为 ,所以 ,故 项错误;
数学卷参考答案(五) 第2页(共 8 页) 因为 ，所以 ， ，所以 ， ， 项正确；
令 ,解得 ,则函数 图象的对称中心为 .
，故 是 图象的一个对称中心，故 项正确；
画出函数 与函数 的图象(图略)，易知两函数图象在 上共有 4 个交点，故 D项正确.
11.AC 该圆锥的侧面积为 , A 项正确；
在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示，
因为小球的半径 ，所以 ，B 项错误；
因为 ,
都是等边三角形,所以 ,
则圆台的上、下底面圆的半径分别为 ,
母线长 ，易知小球在圆锥内部移动时，
球心之间的最大距离 项正确;
圆台的侧面积为 ,
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，
其半径为 ,其面积为 ,
则圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为 ，D项错误。
12.1 .
13. 易知 ,等式两边同时除以 ,
得 ，所以数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，
所以 ,即 ,所以当 时, ,当 时, 也符合上式,所以 .
14.(一∞，-3)易知 , ,则 ,
令 ,则 ,
所以 . 当 时， ，当 或 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
由 ,得函数 的最小值为 -3,
因为 ,所以 .
15.(1) ,则 , 3 分
样本的中位数约为 . 6 分
(2)因为
所以总平均重量 克, 9 分
所以 . 13 分
16.(1)设点 到平面 的距离为 ,则
解得 ,故点 到平面 的距离为 .
(2)以 ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
因为 ,所以 ,
所以 .
设 为平面 的法向量,
所以 即 令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 . 8 分
设 为平面 的法向量,
所以 即 令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 . 10 分
因为 ,
所以二面角 的正弦值为 . 15 分
17.(1)设等差数列 的公差为 ,由题意可知
解得 ,故 . 3 分
(2)由(1)得 ，所以 ，
数列 的前 项和为 . 7 分
(3)由(2)知 ,其中 ,
当 时, 当 时, . 13 分
综上所述， . 15 分
18.(1)设交点 的坐标为( )，因为直线 与 的斜率之积为 ，
所以 ,所以 ,则 ,
故动点 的轨迹方程为 . 4 分
(2)由 与椭圆 ,可得 .
设 ,则 , 6 分
所以弦长 . 8 分
(3)设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ,
因为 恰好被 轴平分,所以 . 12 分
易知直线 的斜率 与直线 的斜率 存在且 ,
即 ,
整理得 ,即 .
因为 ，所以当 时符合题意，即直线 经过定点 ，
所以 的面积
当且仅当 ,即 时,等号成立.
因为 ,所以 面积的取值范围是 . 17 分
19.(1)因为 ,所以 .
若 ,当 时, 恒成立,
则函数 在 上单调递增,无极值点. 2 分
若 ,当 时, ,函数 在 上单调递减;
当 时, ,函数 在 上单调递增,
故 是函数 的极小值点，且函数 无极大值点.
等上可知，当 时，函数 在区间 内极值点的个数为 1 .
当 时，函数 在区间 内极值点的个数为 1 . 5 分
(2)(i)由题意知 ，
所以 . 6 分
当 时, ; 当 时, .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ,
因为函数 存在两个不同的零点,所以 ,即 ,
所以实数 的取值范围为 . 10 分
(ii)下面找两个点 ,使得 ,
注意到 ,且 ,于是考虑找点 ,
下面我们证明: .
① ，则 ，设 ，要证明 ，
即设 ,则 ,则 ,
所以 在 上单调递增,得 ,
所以 在 上单调递增,
故 ,即 ,
因此 .
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,
因此 ,又 ,故 ,即 ,
又 ,所以 . 13 分
②
设 ,则 ,
易知 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,即 .
因为 ,即 ,所以 ,且 ,
因此 , 16 分
因为 ,所以 ,所以 ,
即得证 . 17 分