2026学年人教版八年级数学下册第一次月考测试卷（19-20章）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026学年人教版八年级数学下册第一次月考测试卷（19-20章）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 707.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
2026学年八年级数学下册第一次月考测试卷（19-20章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知，，且，则的值为（ ）
A．或 B．2或10 C．10 D．
2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C．－3 D．3
4．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
5．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（ ）
A．5 B．4 C． D．8
7．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．的小数部分是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________．
12．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ______．
13．已知，满足，则的值为______．
14．如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积______．
15．已知：，则的值为_________．
16．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）化简：
(1)m； (2)．
18．（6分）可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．
例如：，
(1)分母有理化的结果是_____，分母有理化的结果是_____；分母有理化的结果是_________；
(2)利用以上知识计算：．
19．（8分）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
20．（8分）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数．
(3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”．
21．（10分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
第5个等式_________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若（a，b均为正整数），则的值为_________．
22．（10分）如图，已知点在线段上，分别以，为边长在上方作正方形，，点为中点，连接，，．设，．
(1)若，判断的形状为______；
(2)请用含，的式子表示的面积；
(3)若的面积为，，求的长．
23．（12分）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去，
∵时，和都满足，
当时，，
当时，，
∴的值为2或10．
2．B
解：如图：连接，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴，
∵10+10=20，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：B．
3．B
解：
．
故选：B．
4．A
解：如图，过点作于点,
∵等腰，斜边，
∴，
∵以等腰的边为直径画半圆，
∴ ，， ，
∴，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
∵的面积，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
故选：．
5．C
解：根据题意，当输入时，，
∵，
∴循环计算；
当输入时，，
∵，
∴输出的结果为．
故选：C．
6．B
解：连接，如图：
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
将数据统一化为二次根式形式：
第1项：；
第2项：；
第3项：；
第4项：；
由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n，
∴这组数据的第n项是．
故选：C．
8．D
解：∵正方形的边长为2，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为0，小数部分为，
故选：A．
10．B
解：如图，过点作于，点、在上，且，
由题意可知：，，
∴，
∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，
∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响，
∴，
同理可得：，
∴，
∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，，
∴点处受噪音影响的时间为．
故选：B．
二、填空题
11．
解：
将，，代入上式：
故答案为：．
12．4.5
解：在矩形中，，，
，，
由勾股定理得：，
将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中：由勾股定理得，
∴，
解得：，
的长为，
故答案为：．
13．
解：∵有意义，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
14．
解：连接，
在直角中，，，
∴，
又∵，∴为直角三角形，
∴的面积为，的面积为，
∴四边形的面积为和面积之和，即．
故答案为：．
15．
解：，
设，，则．
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
16．3或2或．
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD -DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
三、解答题
17．（1）解：
．
（2）
．
18．（1）解：，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）得，
依题意，
．
19．（1）解： 是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：，是的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）证明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
20．（1）解：在类勾股中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：，，
，，
是类勾股三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵， ，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
整理得，
是“类勾股三角形”．
21．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
故答案为：；
（3）证明：
；
（4）解：根据和，得
，
解得，
∴，
故答案为：．
22．（1）解：为等腰三角形，
理由如下：四边形，是正方形，
，，，
，
，
，
点为中点，
，
，，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
即，
为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2），点为中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）由（2）得，，
的面积为，，
，，
解得．
．
23．（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
24．解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
，
底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知，，且，则的值为（ ）
A．或 B．2或10 C．10 D．
2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C．－3 D．3
4．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
5．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（ ）
A．5 B．4 C． D．8
7．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．的小数部分是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________．
12．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ______．
13．已知，满足，则的值为______．
14．如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积______．
15．已知：，则的值为_________．
16．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）化简：
(1)m； (2)．
18．（6分）可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．
例如：，
(1)分母有理化的结果是_____，分母有理化的结果是_____；分母有理化的结果是_________；
(2)利用以上知识计算：．
19．（8分）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
20．（8分）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数．
(3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”．
21．（10分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
第5个等式_________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若（a，b均为正整数），则的值为_________．
22．（10分）如图，已知点在线段上，分别以，为边长在上方作正方形，，点为中点，连接，，．设，．
(1)若，判断的形状为______；
(2)请用含，的式子表示的面积；
(3)若的面积为，，求的长．
23．（12分）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去，
∵时，和都满足，
当时，，
当时，，
∴的值为2或10．
2．B
解：如图：连接，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴，
∵10+10=20，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：B．
3．B
解：
．
故选：B．
4．A
解：如图，过点作于点,
∵等腰，斜边，
∴，
∵以等腰的边为直径画半圆，
∴ ，， ，
∴，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
∵的面积，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
故选：．
5．C
解：根据题意，当输入时，，
∵，
∴循环计算；
当输入时，，
∵，
∴输出的结果为．
故选：C．
6．B
解：连接，如图：
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
将数据统一化为二次根式形式：
第1项：；
第2项：；
第3项：；
第4项：；
由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n，
∴这组数据的第n项是．
故选：C．
8．D
解：∵正方形的边长为2，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为0，小数部分为，
故选：A．
10．B
解：如图，过点作于，点、在上，且，
由题意可知：，，
∴，
∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，
∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响，
∴，
同理可得：，
∴，
∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，，
∴点处受噪音影响的时间为．
故选：B．
二、填空题
11．
解：
将，，代入上式：
故答案为：．
12．4.5
解：在矩形中，，，
，，
由勾股定理得：，
将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中：由勾股定理得，
∴，
解得：，
的长为，
故答案为：．
13．
解：∵有意义，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
14．
解：连接，
在直角中，，，
∴，
又∵，∴为直角三角形，
∴的面积为，的面积为，
∴四边形的面积为和面积之和，即．
故答案为：．
15．
解：，
设，，则．
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
16．3或2或．
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD -DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
三、解答题
17．（1）解：
．
（2）
．
18．（1）解：，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）得，
依题意，
．
19．（1）解： 是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：，是的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）证明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
20．（1）解：在类勾股中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：，，
，，
是类勾股三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵， ，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
整理得，
是“类勾股三角形”．
21．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
故答案为：；
（3）证明：
；
（4）解：根据和，得
，
解得，
∴，
故答案为：．
22．（1）解：为等腰三角形，
理由如下：四边形，是正方形，
，，，
，
，
，
点为中点，
，
，，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
即，
为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2），点为中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）由（2）得，，
的面积为，，
，，
解得．
．
23．（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
24．解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
，
底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米．
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