2026学年八年级数学下学期月考测试卷（19-20章）--人教版（含答案）

2026学年八年级数学下学期月考测试卷（19-20章）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数
3．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
4．若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BCAC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　）
A． B． C． D．
6．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　）
A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm
7．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD＝90°），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4为（　　）
A．2 B．3 C． D．
8．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形ABCD，正方形ABCD的面积为50，AE＝3，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
9．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　）
A． B． C． D．
10．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
11．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若a＝n2﹣m n，，，其中m，n，k为连续整数，且0＜m＜n＜k，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．化简　 　 ．
14．若最简二次根式与相等，则a＝　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则AE的长为　 　 ．
16．不等式的解集是　 　 ．
17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AB＝5，，则BC2+AD2＝　 　 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝3cm，，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动的过程中，设E点的运动时间t秒（0＜t＜10），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（6分）计算：
（1）；（2）．
20．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边．
（1）若a＝1，b＝2，求c；
（2）若a＝4，c＝5，求b．
21．（8分）已知一个长方形的长，宽．
（1）求这个长方形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
23．（10分）已知，．
（1）求x2+y2+3xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
24．（10分）物理课上，老师带着学生做如下实验：将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是16dm，AB+BC＝32dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求AB的长；
（2）如图2，若物体C升高14dm，求滑块B向左滑动的距离．
25．（12分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时AC+CE的值最小；并求出AC+CE的最小值．
（3）参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值．
26．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【问题拓展】
（3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2．C
解：∵有意义，
∴，
解得x＝1．
故选：C．
3．D
解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A＝35°，∠B＝55°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
则∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A∠A∠A＝180°，
∴∠A，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意，
故选：D．
4．B
解：∵4，若是整数，则也是整数，
∴n的最小正整数值是3．
故选：B．
5．A
解：∵点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，
∴AC＝2，
∴BC1，
∴AB，
又∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，
∴AD＝AB，
∴点D表示的数1，
故选：A．
6．A
解：设铅笔长度为xcm，
已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，
∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122，
解得x＝22，
故铅笔的长为22cm，
故选：A．
7．B
解：由题意得：，
，
，
，
∴，，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，CD2﹣AD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝CD2﹣AD2，
∴，
∴S1+S2＝S3﹣S4，
∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，
∴3+1＝7﹣S4，
∴S4＝3，
故选：B．
8．B
解：∵正方形ABCD的面积为50，
∴AB＝BC＝5，
∴BE＝532，
∴小正方形的边长为32，∴小正方形的面积为2，
故选：B．
9．B
解：过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠D＝45°，
∴AE＝DE，
∵AD＝2，
∴根据勾股定理可得：2AE2＝4，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：CE＝AC2﹣AE2＝1，
∴，
故选：B．
10．D
解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2，
OA3，
…，
∴OAn，
∴OA82．
故选：D．
11．B
解：如图，连接BF，
∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，
∴S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF，
由题意可知，S△ABD＝S△AFC＝S△BEC，
∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC＝2S△DEF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF＝7S△DEF，
∵S△ABC＝14，
∴S△DEF＝2，
故选：B．
12．D
解：由条件可知n＝m+1，k＝m+2（m≥1）．
∴，
，
，
∵m2+2m＜m2+2m+1＜m2+2m+2，
∴，
∴c＜a＜b．
故选：D．
二、填空题
13．2025
解：原式＝|﹣2025|＝2025，
故答案为：2025．
14．1
解：根据题意得a+1＝2，2a+5＝4a+3b，
所以a＝1，b＝1．
故答案为1．
15．5．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴AE＝EBAB＝5，
故答案为：5．
16．．
解：原不等式变形可得：
，
，
，
，
∴原不等式的解集为，
故答案为：．
17．38．
解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2；
在Rt△OAD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+OD2；
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+OA2＝AB2＝25；
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝13；
∴BC2+AD2＝OB2+OC2+AO2+OD2＝（OB2+AO2）+（OC2+OD2）＝AB2+CD2＝25+13＝38．
故答案为：38．
18．2或5或7．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∵BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝2×3＝6cm，
∵，
∴，
∵点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，
∴点E从A点运动到B点所需的时间为秒，
则分以下两种情况：
①当0＜t≤6时，AE＝tcm，
∴BE＝AB﹣AE＝（6﹣t）cm，
当∠EDB＝90°时，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DEB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2BD，
即6﹣t＝2×2，
解得：t＝2，符合题设；
当∠DEB＝90°时，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BE，
∴2＝2（6﹣t），
整理得，2t＝10，
解得：t＝5，符合题设；
②当6＜t＜10时，BE＝t﹣AB＝t﹣6（cm），
当∠EDB＝90°时，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DEB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2BD，
∴t﹣6＝2×2，
解得：t＝10，不符合题设，舍去；
当∠DEB＝90°时，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EDB＝30°，
∴BD＝2BE，即2＝2（t﹣6），
整理得，2t＝14，
解得：t＝7，符合题设，
综上所述，t的值为2或5或7，
故答案为：2或5或7．
三、解答题
19．解：（1）原式
．（3分）
（2）原式
．（6分）
20．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边，a＝1，b＝2，
由勾股定理得：；（3分）
（2）∵a，b为直角边，c为斜边，a＝4，c＝5，
由勾股定理得：．（6分）
21．解：（1）∵一个长方形的长，宽，
∴这个长方形的周长为（42）×2
＝62
＝12；（4分）
（2）由题意可得，
这个正方形的边长为2．（8分）
22．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC5；（4分）
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．（8分）
23．解：（1）x2，y2，（2分）
则x+y＝（2）+（2）＝4，xy＝（2）×（2）＝4﹣3＝1，（4分）
∴x2+y2+3xy＝x2+y2+2xy+xy＝（x+y）2+xy＝42+1＝17；（5分）
（2）x的小数部分m＝2，y的小数部分n1，（7分）
则m+n＝21＝1，n﹣m1﹣（2）＝23，（9分）
则（m+n）202412024﹣（23）＝4﹣2．（10分）
24．解：（1）∵物体C到定滑轮A的垂直距离是16dm，即AC＝16dm，AB+BC＝32dm，
设AB＝xdm，则BC＝（32﹣x）dm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴162+（32﹣x）2＝x2，（3分）
解得：x＝20，
答：AB的长为20dm；（5分）
（2）如图2，AD＝16dm，AE+DE＝32dm，AE＝20dm，
故DE＝32﹣20＝12（dm），（6分）
由物体C升高14dm，则CD＝14dm，
∴AC＝AD﹣CD＝16﹣14＝2（dm），
∴此时AB＝20+14＝34（dm），（7分）
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD30（dm），（8分）
∴BE＝BD﹣DE＝30﹣12＝18（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为18dm．（10分）
25．解：（1）C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．
∵BD＝8，设CD＝x，
∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x，（1分）
∵AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1，
∴AC2＝AB2+BC2＝22+（8﹣x）2＝x2﹣16x+68，CE2＝CD2+DE2＝x2+12，
∴，，（3分）
∴；（4分）
（2）点C满足A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，（5分）
过点E作EF⊥AB的延长线于点F，
∴BF＝DE＝1，EF＝BD＝8，
∴AF＝AB+BF＝3，（7分）
∴；（8分）
如图所示，
根据，构造AB＝10，DE＝5，BD＝20，CD＝x，
当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，最小值为AE，
延长ED到点F，过点A作AF⊥DF于点F，
则四边形ABDF是长方形，
∴AF＝BD＝20，AB＝DF＝10，EF＝ED+DF＝5+10＝15，（10分）
∴，
即的最小值为25．（12分）
26．（1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为，（1分）
也可以表示为，（2分）
∴，
整理，得a2+b2＝c2；（4分）
（2）设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
在Rt△ACH中，
由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2，
即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，（6分）
解得，
即千米，（7分）
∴（千米），
答：新路CH比原路CA少千米；（8分）
（3）CH＝8．（12分）
理由：如图，设AH＝y，
∵AB＝21，
∴BH＝21﹣y，
∵CH⊥AB，垂足为H，
∴△ACH，△BCH都是Rt△，
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，
∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2，
在Rt△BCH中，
∵BC＝17，
∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2，
∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，
解得y＝6，
在Rt△ACH中，
由勾股定理，得CH8，