八年级数学下册试题 第20章《勾股定理》单元自测卷--人教版（含答案）

第20章《勾股定理》单元自测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2，
2．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A．B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）．
A．13 B．15 C． D．18
7．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离的长为（ ）
A．米 B．300米 C．200米 D．100米
8．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．3
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
12．如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的中心（正方形两条对角线的交点），则此时乙中有水部分的面积为_____．

13．如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m．
14．如图，四边形中，， 且，满足关系，若，则的长为_______．
15．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____．
16．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为____________．
17．如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________．
18．如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为___________．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积．
20．（本题6分）如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）；
方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．
21．（本题8分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ；
(2)应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
22．（本题8分）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形中，，，，求的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段的长度．
②在图中，画一条格点线段，使．
23．（本题8分）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行．
(1)请问“远方”号沿哪个方向航行？
(2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？
24．（本题8分）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断支架与的位置关系，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到）
25．（本题10分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点， ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
26．（本题10分）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．
【纸片规格】
三角形纸片，，，点D是底边上一点．
【探索研究】
(1)如图1，若，，连接，求的长度；
(2)如图2，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点A的对应点为点E．若所在的直线与的一边垂直，求的长；
(3)如图3，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点F，且，再将沿所在直线翻折得到，点E的对应点为点G，与、分别交于H，K，若，请直接写出边的长．
参考答案
一．
1．D
A. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ∵，，
∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意．
2．C
解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，
∴；
∵于点，，
∴是直角三角形，，
由勾股定理得：；
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
3．B
解：A、，，
∴图中只有一个直角三角形，不符合题意；
B、，，
∴图中有两个直角三角形，符合题意；
C、，，
∴图中没有直角三角形，不符合题意；
D、，，
∴图中没有直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．D
解：设为x尺，则尺，根据勾股定理得：
，
则，
即，
故选：D．
5．C
解：∵，，，
∴，
∵由平移得到，
∴，
∴，
又∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∵，，
∴其周长为，
故选C．
6．A
解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短．
由题意，得，，
在中，由勾股定理，得，
即小虫爬的最短路径长为．
7．A
解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴米，
∴（米），
∴点到直线距离为米．
故选：A．
8．A
解：如图，过点作于点，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：A．
9．C
解：如下图所示，过点D作于F，
平分，，，
，
，
，
即，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
设点E到的距离为h，
则，，
，
，
故选：C．
10．C
解：如图，作点关于的对称点，连接，作于点．
，，
，直线是等腰三角形的对称轴，
点在上，
．
根据垂线段最短可知，当点，，共线，且点与点重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
在中，．
，
，
的最小值为．
故选：C.
二．填空题
11．
解：∵
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形， 且．
12．
解：∵，
∴丙部分的面积是，甲部分的面积是，
∵水面刚好经过丙的中心O，
∴丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半，
即丙中有水部分的面积为，
∴乙中有水部分的面积为，
故答案为：．
13．
解：如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：4．
14．1
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍负），
∴，
故答案为：1．
15．
解：连接，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴
，
，
．
16．13
解：在中，根据勾股定理，可得：
∵，，
∴
∴
∵点为点的对应点，所以笔记本电脑的屏幕长度不变，即
∴
在中，根据勾股定理，可得：
∵，，
∴
∴
∴
∴
此时电脑顶部边缘上升的高度为：
∵ ．
故答案为：13．
17．
解：连接，作，截取，连接，作，垂足为，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴当共线时，取得最小值，最小值为，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
18．
解：如图，连接、，
∵是等边三角形，边长为，，分别为边，上的一动点，
∴，，
∵是边上的高，
∴是边上的中线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当且点、、共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，，
在中，，
∴的最小值为．
故答案为：．
三．解答题
19．的面积为，
20．（1）解：是直角三角形．理由如下：
，，
，
是直角三角形；
（2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下：
的面积，
，
，，
∵
方案一所铺设的管道较短．
21．（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示：
一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为，
，，
在中，，
即最短的路线长是，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，，，，
，
设，
则，
在中，，，，，
则由勾股定理可得，
即，
解得，
故绳索的长为．
22．（1）解：因为，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）解：①，所以．
②如图2中，线段即为所求作．
23．（1）解：由题知，海里，海里，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
即“远方”号沿东南方向航行．
（2）解：根据题意得：海里，海里，
在中，，
∴海里，
即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里．
24．（1）解：，理由如下：
，，，
，
，
．
为直角三角形，且．
．
（2）解：过点作于点，
在中，，，
由面积相等得：
。
滚轮半径，
∴左边缘D到地面的距离.
答：购物车上篮子的左边缘到地面的距离约为9.6dm ．
25．（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于，
∴，
∴，
∵左边：，
∴；
（2）解：∵，千米，千米，，
∴设千米，
∴AB=AH+HB=（x+4） =AC ，
在中，，
∴，
解得，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴新路比原路少千米；
（3）解：如图所示，
∵是边上的高，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的面积为24或84．
26．（1）如图1：
作于E，则．
，，
，
，，
，
由勾股定理得；
（2）如图2：
当时，连接，作于G．
由翻折得：，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，由（1）知：，．
；
如图3：
当时，设交于点W，交于V，
，
，
，
，，
，
，
，
由（1）知，当时，，，
设，则，
由勾股定理得，，
，
解得，
；
如图4：
当时，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
解得．
综上所述：的长为或或；
（3）如图5：
，，
，，
又，
，
．
由翻折得到．
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
由勾股定理得，，
，
解得，，
，
．