八年级数学下册试题 第21章《四边形》单元自测卷--人教版（含答案）

第21章《四边形》单元自测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．下列结论中，正确的有（ ）
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．11 C．16 D．9
5．如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米．
A．40 B．36 C．48 D．60
7．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（ ）
A．10 B．9 C． D．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________．
12．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________．
13．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________．
14．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________．
15．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形．
16．如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______．
17．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________．
18．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形．
20．（本题6分）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是等边三角形，且，求的长．
21．（本题8分）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形．
(1)你选择的补充条件是_____（填序号）；
(2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程．
22．（本题8分）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
23．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
24．（本题8分）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度；
(2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）．
25．（本题10分）在四边形中，．
(1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________；
(2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数．
26．（本题10分）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，．
(1)观察猜想：线段和的数量关系为_______；和的位置关系为_______．
(2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
(3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度．
参考答案
一．选择题
1．D
∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形，
∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确，
∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确，
综上，正确的结论共有4个．
2．B
解：如图，
∵正八边形的一个内角度数为，
，
∵平面中这两个正八边形全等，
，
四边形是菱形，．
故选：．
3．C
解：∵四边形为菱形，
∴，
∵点、、、分别为四边形各边中点，
∴，
∴，
故选项C正确，选项A，B，D不正确，
故选：C．
4．A
解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半，
∴该菱形的面积=，
故选：A．
5．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
6．C
解：，
（米）．
7．A
∵边形内角和公式为，
∴五边形的内角和为，
∵五边形的每个内角都是，
∴，
解得：．
故选：A．
8．B
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
9．C
解：如下图所示，过点作，
当点与点重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
，
，
解得：，
，
的最小值为．
故选：C．
10．C
解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示：
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，和都是直角三角形，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：C．
二．填空题
11．
解：∵四边形是菱形，
∴平分．
∵于点，且点在上，
∴点到的距离等于的长度，即为2．
12．24
解：如图所示，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴该菱形的面积是
故答案为：24．
13．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
的周长为．
故答案为：．
14．1
解：如图，连接，
、分别是线段、的中点，
，
最大时，最大，
当点与重合时，最大，此时，
，
的最大值为1．
15．6
解：由题意，，
∴，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，解得；
故答案为：6．
16．7
17．
解：由题意知，直线垂直平分，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又∵，
∴四边形为正方形；
∵，
又∵，
∴，
解得．
故答案为： ．
18．或
解：在正方形中，，
∴，，
∵点B落在边上的三等分点M处，
∴和，
设，则，
由折叠的性质得，
当时，则，
在中，，即，
解得；
当时，则，
在中，，即，
解得；
综上，线段的长为或．
三．解答题
19．解：∵，，
∴平分，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
则，
∴，
∴平行四边形是菱形．
20．（1）解：∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
21．（1）解：选择的补充条件是②或③，
故答案为：②或③；
（2）解：选择②，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
选择③，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
22．（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
故答案为：．
23．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E、F、G分别为线段、、的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
24．（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是度；
（2）解：如图，延长交于点F，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵在五边形中，
∴．
25．（1）解：∵四边形的内角和为，，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
在中，；
故答案为：．
（2）解：的度数不会发生变化，理由如下：
在中，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
在中，；
答：的度数不变，为．
26．（1）证明：在中，，，点为的中点，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：成立，
证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
又点是的中点，
，；
（3）解：分两种情况：
①如下图所示，当点在直线上方，且，，三点共线时，
，
，
，
，
，
；
②如下图所示，当点在直线下方，且，，三点共线时，
，
，
，
，
，
；
综上所述，长为或．