八年级数学下册试题 第二十一章《四边形》单元自测卷--人教版（含答案）

第二十一章《四边形》单元自测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（　　）
A．每条边都相等的多边形是正多边形
B．每个内角都相等的多边形是正多边形
C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形
D．长方形一定是正多边形
3．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
4．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．7
5．如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
7．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为：
其中能证明其内角和的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（ ）
A．82° B．83° C．84° D．85°
9．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______．
12．如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为_____．
13．如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______．
14．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则_____________．
15．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______．
16．如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________．
17．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______．
18．如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号）
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：．
20．（本题6分）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，．
(1)求证：；
(2)如果是的中点，求证：．
21．（本题8分）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
22．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
23．（本题8分）在四边形中，．
(1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________；
(2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数．
24．（本题8分）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）请直接判断：______（填“”或“”）；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论．
25．（本题10分）如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N．
(1)求证：；
(2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：．
26．（本题10分）综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
参考答案
一．选择题
1．C
解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确；
∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确；
根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确；
矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误；
矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误；
综上，正确的说法有①②③，共3个，
故选：C．
2．C
解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．
对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误；
对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误；
对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确；
对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误；
故选：C．
3．B
解：小明每次前进相同距离后右转相同角度，最终回到出发点，
其行走路线是正多边形，且每个外角为，
多边形外角和为，
该正多边形的边数，
每条边长为10米，
路程为：（米）．
故选：B．
4．A
解：如图，连接、，设交于点，
由题意可知，是的角平分线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故选：A．
5．A
解：∵在中，，，
∴；
∵是边上的中线，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴在中，；
∴；
故选：A．
6．B
解：如图，过点作于点，
∵菱形的边长为5，且，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
7．D
解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求；
对于，将一个四边形补全为三角形，，，，，
，符合要求；
综上所述，个图形中的辅助线均可证明．
8．C
解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴在四边形中，．
故选：C．
9．A
解：四边形为正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
．
10．B
解：∵ ，分别是的中点，
∴ 是的中位线，
∴ ，．
∵ ，分别是的中点，
∴ 是的中位线．
∴ ，．
取的中点，连接．
∵ 是中点，是中点
∴ （三角形中位线定理）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴ ．
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∴,
∴ ．
结合已知，得 ．
在中，由勾股定理得．
故选：．
二．填空题
11．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：
12．
解：∵的周长为，
∴，
∵点、、分别为三边的中点，
∴、、为的中位线，
∴，，，
即，，，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
13．42
解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4，
∴三个正方形的面积和为,
∵三点分别是正方形的中心，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：42．
14．1
解∶ 四边形为正方形，
．
，，．
，．
，．
，
．
，
，
解得．
故答案为：1．
15．或
解：在正方形中，，
∴，，
∵点B落在边上的三等分点M处，
∴和，
设，则，
由折叠的性质得，
当时，则，
在中，，即，
解得；
当时，则，
在中，，即，
解得；
综上，线段的长为或．
16．
解：在正方形中，对角线、交于点O，
，，，
∵，
∴
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，取最小值，即取得最小值，
，，
，
∴
线段的最小值为．
17．
解：在菱形中，对角线、相交于点，
，
，
，
设，
∵ ，，
，
，
，
，
∴．
18．①②③④
解：∵正方形，，
∴，
，
∴，，
∴，，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，故③正确；
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
则正确的结论有①②③④．
三．解答题
19．证明：如图，连接，
∵E，M是的中点，
∴，
同理，，
∵，
∴．
∵，
∴.
20．（1）证明：∵，，
∴，
则，
∴，
∵，，
即，
（2）证明：依题意，如图所示：
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是的中点，
∴．
21．（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
即
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴．
22．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E、F、G分别为线段、、的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
23．（1）解：∵四边形的内角和为，，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
在中，；
故答案为：．
（2）解：的度数不会发生变化，理由如下：
在中，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
在中，；
答：的度数不变，为．
24．（1）解：∵，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
，即，
∴四边形为平行四边形，
，
；
（2）证明：如图②，连接，，．
正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点，
，．
垂直平分，
，
，
．
，
，
，
，
．
由（1），知，
，
．
26．解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．