1.5 角平分线与垂直平分线 复习题（含答案）

第1章《三角形的证明及其应用》复习题--角平分线与垂直平分线
一、单选题
1．下列说法，正确的是（ ）
A．若 ABC三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形
B．角的平分线上的点到角的两边距离相等
C．“若，则”此命题是真命题
D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于
2．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）

A．12 B．24 C．18 D．20
3．如图，在 ABC中，是 ABC的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
5．如图，线段的垂直平分线交于点C，且，则的度数为_______．
6．如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是_______．
7．如图，在 ABC中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有___________．(填序号)
8．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是 ABC的高；②是 ABC的中线；③；④．其中正确的有_________．（填序号）
三、解答题
9．某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

10．如图，，是中点，平分，求证：．
11．如图，在 ABC中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
12．如图，在 ABC中，，，是 ABC的角平分线．
(1)尺规作图：过D点作，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，证明；
(3)若，求点D到直线的距离．
13．如图，在 ABC中，，分别是与的角平分线，且相交于点O．

(1)求的长；
(2)求点O到边的距离：
(3)过点C作于点D，交于点P，求的值．
14．小颖有一个很好的学习习惯——日回顾．每天结束学习后，她都会主动梳理当天所学内容，认真反思学习过程中的收获与不足，让知识得到进一步巩固和升华．下面是她对某题的分析思考过程，请认真阅读并完成相关问题．
2025年×月×日 日回顾 例题呈现： 已知：如图1， ABC中，，平分交于点O，过点O作，垂足为E，交AC的延长线于点D．求证：． 条件分析： 直观判断图中存在多对全等三角形，逐一分析已知条件，整理后发现，要证明“”有多种方法，其中一种方法只需证明一次全等即可，从问题入手梳理思路如下…… 思路梳理： 拓展应用： 上题蕴含着丰富的结论，从“互逆命题”这个探索新知识的角度思考，发现一种用三角尺“画角平分线”的方法． 如图：已知． 1．在的两边上分别取点M，N，使； 2．分别过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； 3．画出射线OP，即为的平分线．
(1)按照小颖的“思路梳理”，补全方框①所需的条件，并写出②这一步推理的依据．
(2)结合图2，按照小颖画角平分线的方法，求证：射线平分．
(3)继续分析本题的图形结构及隐含的其它结论，仅利用格点及无刻度的直尺画出图3中 ABC的角平分线．（要求：保留画图痕迹，不写画法．）
参考答案
一、单选题
1．B
解：A、设三边为、、，验证是否满足勾股定理：不满足，故A错误，不符合题意；
B、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，故B正确，符合题意；
C、举反例：若，，则成立，但，命题不成立，是假命题，故C错误，不符合题意；
D、反证法应假设结论的反面，即“底角不小于”（包含等于和大于），而选项仅假设等于，不完整，故D错误，不符合题意，
故选：B．
2．A
解：在上取点G，使得，连结，
，，，
，
，
∵BD平分，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
即阴影部分面积为12．
故选：A．
3．C
解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图：
∵是 ABC的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即当的值最小时，的度数为．
故选：C．
4．D
①∵与的平分线相交于点E，
∴，
∴
，即，故①正确；
作于点H，作于点M，作交的延长线于点N，
∵与的平分线相交于点E，
∴．
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，故⑤正确．
故选D．
二、填空题
5．
解：连接，如图所示：
∵线段的垂直平分线交于点C，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
6．
解：连接，
中，，，，
，
垂直平分，
，过点F作于H，
若要使最大，则需要最小，
设，则，
，
，
（垂线段最短），
，
解得．
最小值为，的最大值为，
故答案为：．
7．①③④⑤
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，④正确；
，①正确；
∵，，
∴，，
∴，③正确；
∵于点，
∴，，
∴，即，②错误，
，⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
8．①②③④
解：∵平分，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是 ABC的高，故①正确；
∵，，
∴，
∴，，即是 ABC的中线，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
三、解答题
9．解：如图，点即为所求．

10．证明：过M作于E，
∵平分，，，
∴，，
∵M为的中点，
∴，
∵∠B=90 ，，
∴平分，
∴．
，
∴，
，
，
，
．
即．
11．（1）证明：为中点，
，
在与中，
，
，
（2），
，
，
，
、，
垂直平分，
，
．
12．（1）解：如图，为所作，
（2）解：∵，
∵，
∴，
是 ABC的角平分线，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：设，
由（2）得，，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，且，
，
，即，
点到直线的距离为．
13．（1）解；∵在 ABC中，，
∴；
（2）解：如图所示，过点O作，垂足分别为E、F、G，连接，

∵分别是与的角平分线，且相交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点O到边的距离为1；
（3）解：如图所示，过点P作于T，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵平分，，
∴，
∴，
∴，即．
14．（1）解：由题意可得，①应该填 BOE≌ DOC；②应该是：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等；
（2）证明：∵过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P；
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴射线平分．
（3）如图，即为所求，