第四章 三角形 单元测试卷（含答案）初中数学北师大版（新教材）七年级下册

第四章《三角形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，5，5 B．3，5，9 C．2，3，5 D．5，12，7
2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．
3．石家庄滹沱河特大桥（如图）是国内首创的卷轴型空间索面独塔斜拉桥，于2023年10月主体建成通车．斜拉索是三角形的结构，主要利用的是（ ）
A．垂线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
4．作 ABC的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
6．如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
8．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
9．如图，在 ABC中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．2
10．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（ ）
①与的面积相等；②；③；④
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，，，要证明，还需要的条件是：_________．
12．如图，是 ABC的角平分线，，若，则___________．
13．如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且∠CBA=∠DEF，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）．
14．如图，为 ABC内一点，平分，，．若，，则的长为____________．
15．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________．
16．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与 CQP全等．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，已知，，，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
18．已知 ABC的三边分别为．若满足．
(1)___________，___________；
(2)若为整数，求的周长．
19．综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．
20．如图，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．在 ABC中和中，，是的中点，于，且．
(1)观察并猜想，与有何数量关系？并证明你猜想的结论．
(2)若，试求的长．
22．如图，在多边形中，，于点F，且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求 BDE的面积．
23．如图，在 ABC中，是上的中线，点是的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)若 ABC的面积为，，求线段的长度．
24．如图，已知 ABC中，厘米，厘米，点D为 的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
(1)当点P运动t秒时的长度为______（用含t的代数式表示）；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与 CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与 CQP全等？
25．【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？
【探究方法】
（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题拓展】
（2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证：
（3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A、较短两边为2和5，∵，
∴能组成三角形，符合题意
B、较短两边为3和5，∵，
∴不能组成三角形，不符合题意
C、较短两边为2和3，∵，不满足大于第三边，
∴不能组成三角形，不符合题意
D、较短两边为5和7，∵，不满足大于第三边，
∴不能组成三角形，不符合题意
2．B
解：等腰三角形两底角相等，
设底角为，
若为顶角，则，
解得：，
若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立，
只能是顶角，底角为，
故选：B．
3．B
解：很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，主要利用的是三角形具有稳定性.
4．C
解：、作出的是 ABC中边上的高，故本选项错误，不符合题意；
、不能作出 ABC中边上的高，故本选项错误，不符合题意；
、作出的是 ABC中边上的高，故本选项正确，符合题意；
、不能作出 ABC中边上的高，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
5．B
∵，，
∴，
∵，
∴．
6．D
解：∵ ，，
∴，
即，
选项： ，
∵，，，
满足判定定理，可证；
选项：，
∵，
满足判定定理，可证；
选项：，
∵，
满足判定定理，可证；
选项：，
即对顶角相等，无法直接得出，符合题意．
故选：．
7．D
解：由题意可知，、、，
，
则，
即射线是的角平分线，
依据的数学基本事实是“三边分别相等的两个三角形全等”．
8．C
解：连接，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．B
在和，
，
，
．
故选：B．
10．D
解：，是边的中线，．
，，
，所以成立；
，
．
，，
，所以成立；
，
错误，所以不成立；
平分，
．
，，
，
，所以成立．
故选：D.
二、填空题
11．（或或或）
解：∵，，
∴，
又∵，
∴添加或可根据得到，
添加或可根据得到，
即还需要的条件是（或或或）
12．
解：是 ABC的角平分线，即平分，
，
，
．
13．相等
解：由题意，得，，
．
在 ABC和中，
，
．
故答案为：相等．
14．10
解：延长交于点，如图．
平分，，
，．
在和中：
，
，．
，
，
．
故答案为：10．
15．
解：∵平分，
∴，
在 ABC和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．18或1.5
解：∵四边形是长方形，且边长，，
∴，，
∵，
∴．
设运动时间为，Q点的速度为，则，，．
①当时，，
∴，，
解得，．
①当时，，
∴,，
解得，．
综上，点运动速度为或．
故答案为：18或1.5．
三、解答题
17．（1）解：，
，
∴．
（2）解：∵，
，
，
，
．
18．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，即，
又∵为整数，
∴，
∴ ABC的周长．
19．解：此方案可行，理由如下：
在和中，
，
所以，
所以，
所以的长即是的距离．
20．（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
21．（1）解：．
证明：，
，
，
，，
，
在和中
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，，
为中点，
，即．
22．（1）证明：∵，，
∴，
在 BFA和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴∠CBD+∠DBE+∠EBF=2∠DBE，
即∠CBD+∠EBF=∠DBE，
∵，
∴∠ABF+∠EBF=∠DBE，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴S ABE= AE BF= ×4×3=6，
∴．
23．（1）解：，
，
，
，
，，
；
（2）解：是 ABC的中线，
，
点是的中点，
，
，
，
．
24．（1）解：，则；
（2）解：当时，，
∵，点D为的中点，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和 CQP中，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴当，时，，
∴点P，点Q运动的时间秒，
∴厘米/秒．
25．（1）解：∵，
∴（）
∴，
∵
∴
即：
∵
∴
故答案为：；
（2）证明：延长到，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴（），
，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴．