(共15张PPT)
回扣6 立体几何与空间向量
1．空间旋转体的表面积与体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl S表＝2πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl S表＝πr(r＋l)
圆台 S侧＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)
2.空间多面体的表面积与体积(易错提醒：多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理，旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用)
几何体 侧面积 表面积 体积
直棱柱 S侧＝Ch(C为底面周长) S表＝S侧＋
S上＋S下
(棱锥的
S上＝0) V＝S底h
正棱锥
正棱台
4．利用空间向量求角和距离
异面直线a，b所成的角θ cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝，其中0°＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量
直线AB与平面α所成的角θ
二面角α-l-β的平面角θ |cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝，其中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量
点B到平面α的距离d
5.平行、垂直关系的转化
6．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有
(1)线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；
(2)线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；
(3)面面平行：α∥β u∥v u＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3；
(4)面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
B
A
D
B
B
6．(多选题)设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则下列命题正确的是( )
A．若u1·u2＝0，则l1⊥l2
B．若u1⊥n1，则l1∥α
C．若n1·n2＝0，则α⊥β
D．若 λ∈R，使得n1＝λn2，则α∥β
解析：ACD 对于A，若u1·u2＝0，则u1⊥u2，l1⊥l2，故A正确；对于B，若u1⊥n1，则l1∥α或l1 α，故B错误；对于C，若n1·n2＝0，则n1⊥n2，α⊥β，故C正确；对于D， λ∈R，使得n1＝λn2，则n1∥n2，而平面α，β不重合，因此α∥β，故D正确．故选ACD.
ACD(共18张PPT)
回扣3 三角函数、解三角形
1．几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}；
(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}；
(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}；
(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}；
(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．(易错提醒：忽视对角终边位置的讨论致误)
2．同角三角函数的基本关系式
商的关系
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
常见变形
4．三角函数的图象和性质(易错提醒：忽略隐含条件，如－1≤sin x≤1)
函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x
单
调性 单调递增区间 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
单调递减区间 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 无
对称性 对称轴 x＝kπ(k∈Z) 无
对称中心 (kπ，0)(k∈Z)
5.三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法：
6．正、余弦定理及其变形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径．(易错提醒：忽略大边对大角隐含条件)
定理 正弦定理(已知两角一边或两边及其中一边的对角) 余弦定理(已知三边或两边及其夹角)
内容 a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝a2＋c2－2ac cos B，
c2＝a2＋b2－2ab cos C
常见变形
B
B
D
D
A
C (共13张PPT)
回扣9 统计与成对数据的统计分析
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的中点的横坐标即众数
中位数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的面积相等
平均数 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和
2.方差与标准差
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
方差
标准差
1．(2025·山东威海三模)某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为( )
A．87.5 B．85
C．82.5 D．80
C
解析：C 成绩落在[60，70)的频率为0.01×10＝0.1，成绩落在[70，80)的频率为0.03×10＝0.3，成绩落在[80，90)的频率为0.04×10＝0.4，因为0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，所以中位数落在[80，90)内，设中位数为x，则0.1＋0.3＋(x－80)×0.04＝0.5，解得x＝82.5.故选C.
A
3．(2025·天津一模)某学校一同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数y(单位：人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
C
4．(2025·辽宁大连三模)已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下2×2列联表：
组别 去云南旅游 去河南旅游 合计
东小组 60 40 100
西小组 70 30 100
合计 130 70 200
由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为__________(用百分数表示)，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，__________(填“能”或“不能”)认为游客的选择与所在的小组有关．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828(共13张PPT)
回扣8 计数原理、概率
2．二项式系数的三个性质(易错提醒：混淆二项式系数和项的系数)
对称性
增减性与最大值
各二项式系数的和
(7)全概率公式：P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)(A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，B Ω)．
4．期望与方差的性质
(1)均值的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p．
(2)方差的性质：①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
5．二项分布与超几何分布(易错提醒：混淆超几何分布与二项分布)
二项分布 超几何分布
定义
期望 E(X)＝np
D
A
B
A
A
对称性
当0≤k≤n(n∈N*,k∈N)时，C与C-k的关系是：Ch=C-k
二
项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大；
增减性
当n为偶数时，第号+1项的二项式系数最大，最大值为C元
与最大
当为奇数时，第项和第+3项的二项式系数最大，最大值
值
m+1
m+1
为Cn2(或
各二项
各二项式系数的和：C%十C十C7十…十C=2”:
式系数
奇数项的二项式系数的和=偶数项的二项式系数的和=2-1，
的和
即C%十C7+…=C7十C%十
3.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式：
事件A包含的样本点个数
P()一样本空间包含的样本点个数
(2)互斥事件的概率计算公式：P(AUB)=P(4)十P(B):
(3)对立事件的概率计算公式：P(A=1一P(4):
(4)独立事件同时发生的概率计算公式：P(AB)=P(4)P(B):
⑤条件概率公式：BA)-架
P(A)>0:
(6)概率的乘法公式：P(AB)=P(4)P(B4),
PA)>0:
二项分布
超几何分布
在重伯努利试验中，设每次试验如果随机变量X的分布列为
中事件A发生的概率为p(OP1PX=)=CMCN-M,
用X表示事件A发生的次数，则
km,m
CN
定义
的分布列为PX=)=Cp(1一p),m十2，…，r,其中n,N,
k,k=0,1,2,,n.如果随机M∈N，M≤V,n≤N,m
变量X的分布列具有上述形式，则max{0,n一N十M,r=min{n
称随机变量X服从二项分布，记作M,那么称随机变量X服从超
XB(n,p)
几何分布
期望
,表示N
E(X)np
E)=即，其中p-N
件产品的次品率(共12张PPT)
回扣1 集合与常用逻辑用语、不等式
1．集合间的关系与运算：A∪B＝A B A；A∩B＝B B A；(易错提醒：代表元素意义不清致错)
2．元素与子集的个数：若集合A有n(n∈N*)个元素，则A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．(易错提醒：忽视空集是任何集合的子集)
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，它们之间的关系如下表所示：
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
4.充分条件与必要条件的两种判定方法
(1)定义法：若p q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p q，且q / p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)；
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，条件p：x∈A，结论q：x∈B，若A B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A?B，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．
1．已知集合A＝{x∈N|x3<27}，则A的子集的个数是( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：B 由x3<27，解得x<3，所以A＝{x∈N|x3<27}＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8(个)．故选B.
B
2．(2025·湖北黄冈二模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{x|2x－y＝3}，则A∩B等于( )
A．{1，－1} B．{(－1，1)}
C．{(1，－1)} D．
解析：D 因为集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上所有点的集合，其元素是点，集合B＝{x|2x－y＝3}表示直线2x－y＝3上所有点的横坐标的集合，其元素是数，所以A∩B＝ .故选D.
D
3．(2025·黑龙江哈尔滨三模)命题“ x∈R，x2－3x＋4≤0”的否定是
( )
A． x∈R，x2－3x＋4≥0
B． x∈R，x2－3x＋4>0
C． x∈R，x2－3x＋4≤0
D． x∈R，x2－3x＋4>0
解析：D 根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：命题“ x∈R，x2－3x＋4≤0”的否定是“ x∈R，x2－3x＋4>0”．故选D.
D
A (共15张PPT)
回扣2 函数与导数
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过点(0，1)；y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过点(1，0)；
(2)单调性：当a＞1时，y＝ax在R上单调递增，y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，y＝ax在R上单调递减，y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递减．
D
D
3．(2025·江西赣州二模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)等于( )
A．－5 B．0
C．2 D．5
解析：B 因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)，又因为f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0，
即f(－5)＝f(1)＝0.故选B.
B
4．(2025·四川成都三模)已知函数f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x＋2)＋2的图象
( )
A．关于点(－2，2)对称
B．关于点(2，－2)对称
C．关于直线x＝2对称
D．关于直线x＝－2对称
A
解析：A 因为f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x＋2)＋2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，所以函数y＝f(x＋2)＋2的图象关于点(－2，2)对称．故选A.
5．(2025·黑龙江哈尔滨二模)函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间为
( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，0)
解析：A 由已知得x2－2x>0，解得x<0，或x>2，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，因为y＝log2t总为增函数，要求函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间，由同增异减可得即求函数y＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的增区间，由二次函数的性质可得y＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的增区间为(2，＋∞)，故函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选A.
A
6．(2025·山东枣庄二模)已知函数f(x)＝ax－1＋loga2(a>0，且a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为________．
解析：函数f(x)＝ax-1·aloga2＝2ax-1，由x＝1，得f(x)＝2恒成立，所以点A的坐标为(1，2)．
答案：(1，2)
7． x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋3ax＋4没有极值的充要条件为______．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3a，注意到f′(x)是开口向上的二次函数，
若f(x)没有极值，则只能是f′(x)≥0恒成立，即Δ＝4a2－36a≤0，解得0≤a≤9.
答案：0≤a≤9(共17张PPT)
回扣5 数列
1．等差、等比数列的通项公式与前n项和公式(易错提醒：忽略公比q＝1致错)
数列 等差数列 等比数列
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn-1(q≠0)
前n项和公式
4．判断等差数列的常用方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列；
(2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列；
(4)前n项和公式法：
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列．(易错提醒：已知Sn求an时，易忽略n＝1致错)
(4)形如{an·bn}的数列(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)，利用错位相减法求和；
(5)通项公式形如an＝(－1)n·n，an＝a·(－1)n或an＝(－1)n(2n＋1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
A
D
3．(2025·吉林长春二模)已知{an}为正项等比数列，若lg a2，lg a2024是函数f(x)＝3x2－12x＋9的两个零点，则a1a2025等于( )
A．10 B．104
C．108 D．1012
解析：B 由题意可得lg a2，lg a2024为方程3x2－12x＋9＝0的两个解，则lg a2＋lg a2024＝4，解得a2a2024＝104，易知a1a2025＝a2a2024＝104.故选B.
B
A
ABD(共17张PPT)
回扣7 平面解析几何
1．直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
①两直线平行：l1∥l2 k1＝k2；
②两直线垂直：l1⊥l2 k1k2＝－1．
提醒：当不重合的两条直线斜率都不存在时，两条直线也平行；当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
(2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－B1A2＝0且A1C2－A2C1≠0；
②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
提醒：无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便．
3．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 y2＝2px(p＞0)
图形
4．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质(易错提醒：忽视焦点位置致误)
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b —
离心率 e＝1
准线 — —
渐近线 —
1．(2025·山东济南一模)若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则m等于( )
A．4 B．－4
C．1或－4 D．－1或4
解析：D 若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则(m－2)(m－1)＝3×2＝6，整理可得m2－3m－4＝0，解得m＝4，或m＝－1，若m＝4，直线l1：2x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋3y＋2＝0平行，符合题意；若m＝－1，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x－y＋1＝0平行，符合题意；综上所述：m＝4或m＝－1.故选D.
D
B
A
4．(2025·北京朝阳区二模)若抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，则抛物线C的准线方程为( )
A．x＝2 B．x＝1
C．y＝2 D．y＝1
解析：D 因为抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，所以抛物线方程为x2＝－4y，准线方程为y＝1.故选D.
D
B
B (共13张PPT)
回扣4 平面向量、复数
3．复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝(其中a，b，c，d∈R)．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(易错提醒：数量积运算时弄错两个向量的夹角)
名称 几何表示 坐标表示
模
数量积 a·b＝|a||b|·cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角的余弦值
cos θ＝
名称 几何表示 坐标表示
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a与b共线时等号成立)
C
A
A
B
B
1.
复数相等的充要条件：a十bi=c十di→a=c且b=d(a,b,c,
d∈R).特别地，a十bi=0→a=0且b=0(a,b∈R).(易错提醒：如果没
有a,b∈R的条件，则不能直接按复数相等求解
2.复数的几个常用结论
(1)(1±)2=±2i:
2-i0-i
(3)i4m=1,i4+1=
in+2=1,j4mt3=i,jon+j4ntl+j4n2+j4n+3
0(n∈N).
名称
几何表示
坐标表示
模
la=va·a
数量积
ab=ab外cos0
ab-xx2 Eyy2
夹角的余弦值
cos 0=
ab
cos0θ=
lal b
名称
几何表示
坐标表示
aLb的充要
条件
ab=0
x1x2+Vy2=0
lah与allbl labl≤ab(当且仅当a与bx2十y2≤Vx子+yVx2+y2
的关系
共线时等号成立){
当且仅当x=xy时等号成立)
6三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则
10为△4BC的外心OA=|0B=0C-2sn
(2)O为△ABC的重心台0A+OB+OC=0:
(3)O为△ABC的垂心=0A.OB=OB.OC=OC.0A;
(4)O为△ABC的内心台aOA+b0B+c0C=0.
