2026北师大版数学八年级下册全册教案（含反思）
文档属性
| 名称 | 2026北师大版数学八年级下册全册教案（含反思） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 10.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
第一章
三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和与全等三角形的性质与判定
教师备课 素材示例
●情景导入 在300多年前，法国有一位名叫布莱士·帕斯卡的天才数学家．传说他在12岁时，仅仅通过玩纸和线段，就独立发现了“任何三角形的三个内角加起来都是一个平角”这个伟大的规律．今天，我们就化身小帕斯卡，一起来重现这个伟大的发现，你们有信心吗？”
(1)提出问题：“请你们先在草稿纸上任意画一个三角形，用量角器量出三个角的度数，并加起来看看，你的发现是什么？”
·学生活动：动手测量、计算．结果可能会有微小误差(如179°，181°)．
(2)引发认知冲突：“同学们的结果非常接近180°，但为什么会有误差？测量是确定真理的方法吗？我们能否找到一种无可辩驳的方法来证明它？”
【教学与建议】教学：用历史故事激发兴趣和崇敬感．通过测量产生初步猜想，并立即用“测量误差”点出其局限性，为引入严谨证明做铺垫，制造“心求通而未得”的求知状态．建议：先让学生们自己动手操作，然后提出问题，引导学生们思考．
●悬念激趣 活动内容：如图，在打扫卫生时，小丽不小心把一块三角形的玻璃饰品打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．小东、小丽有不同的意见．
小东：把①②③全部带去才行．
小丽：没必要全带去，带①去就行了．
小东和小丽两人谁的意见更合理呢？你能说出理由吗？
【教学与建议】教学：通过回顾学过三角形全等的判定方法，引导学生思考证明，为后面利用三角形全等证明等腰三角形的性质定理做好铺垫．建议：先回顾学过的全等知识，再解决生活中的实际问题．
命题角度1 三角形的内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是 (B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【例2】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是图________(请填写序号)；
(2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．
(1)解：①②③
(2)证明：当选择图①时，如图①.
∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B.
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠2＋∠B＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
当选择图②时，
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B.
∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
当选择图③时，∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA，∠FDE＝∠AED＝∠C.
∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴三角形的内角和为180°.(答案不唯一，选择一种方法证明即可).
命题角度2 全等三角形的性质与判定
判定两个三角形全等的方法主要有SSS，SAS，ASA，AAS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为__65°__．
【例4】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，
∴∠BAD＝∠NAM.
在△BAD和△NAM中，
∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM.
高效课堂 教学设计
1．通过操作与探究，发现并理解三角形内角和等于180°.
2．掌握至少两种证明三角形内角和定理的方法(拼接法与平行线法)．
3．能运用定理解决简单的角度计算问题．
4．利用相关的基本事实和已经学过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，并掌握全等三角形的性质．
▲重点
探索三角形的内角和．
▲难点
三角形内角和定理及“AAS”定理的推导和论证．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
1．旧知回顾
(1)请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空：
已知：如图，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.求证：∠C＝∠2.
证明：∵∠1＝∠B(____________)，
∴AD∥BC(____________).
∴∠C＝∠2(____________).
(2)回顾七年级下册学过的全等三角形的判定方法
①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
③三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
2．课堂导入
实践出真知，想一想、议一议：如图，假如你正站在金字塔下．现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．(课件)
生：看图读题，并思考怎样做，在小组内交流．
师：需要什么知识来解决呢？
生：小组汇总意见，推荐代表发言——可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角．
3.提出问题
(1)我们已经知道三角形按角分类，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，那么三角形的三个内角和有什么关系呢？
(2)我们在七年级下册已经学过判定三角形全等的3种方法(SAS，ASA，SSS)，还有其他的方法可以判定三角形全等吗？全等三角形有哪些性质呢？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】三角形的内角和
1．量一量：一副三角尺的每个角各是多少度？每个三角尺的三个内角的和各是多少？
2．猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？
3．动动手，仔细观察：
(1)拼拼看：将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？
(2)观察；小组内观察比较，会得到什么结论？
4．你能行：你能设计一种方案来说明你的结论吗？
(课件出示两种基本的说理方法)
教师点拨：三角形的内角和定理的证明方法很多，但不管哪种方法其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题．
5．你真行：(课件演示)
几种常见的验证方法的辅助线作法．
经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：
【归纳】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
【探究2】三角形全等的性质及判定
证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
【归纳】1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)。
2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】课本P3例1
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数
解：在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)＝65°.
在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°.
【例3】如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.
(1)求证：△ABD≌△EDC；
(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．
【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明．
(2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解．
(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.
又∵AB＝ED，∠1＝∠C，
∴△ABD≌△EDC(AAS).
(2)解：∵△ABD≌△EDC，
∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，
∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.
◆活动4 随堂练习
1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶4∶5，则这个三角形是 (B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.
证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB＝DE.
3．课本P4随堂练习T1
4．课本P4随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课的收获是什么？
【教学说明】鼓励学生自己主动去猜想、推理、探究学习．
【作业】课本P10习题1.1中的T1、T2、T10.
本节课通过历史故事与生活实际的引入，观察、猜想、探索出三角形内角和定理及全等三角形的性质与判定，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．培养学生的一题多思、一题多解的创新精神．
第2课时 三角形内角和定理的推论
教师备课 素材示例
●复习导入 (1)三角形内角和为__180°__；
(2)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝70°，则∠C＝__50°__．
(3)若将边CB延长至D，则可以得到一个新角∠ABD，这个角还是三角形的内角吗？这个角叫作什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
【教学与建议】教学：让学生回忆三角形内角和定理，从三角形内角联想到三角形的外角，导入课题．建议：学生讨论后，引导学生从三角形的外角的角度进行思考．
●悬念激趣 赵师傅的“神机妙算”．
在一次飞机模型设计大赛上，小东与赵师傅在做最后的准备工作，其中需要一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，小东量得∠B＝32°，∠C＝21°，∠BDC＝143°，话音刚落，赵师傅就脱口而出：这个零件合格．
你知道赵师傅的判断依据是什么吗？
【教学与建议】教学：让学生在思想上做好准备，对所学内容产生兴趣，激发学生学习动力．建议：引导学生积极思考，寻找解决问题的方法，为本节课的学习埋下伏笔.
命题角度1 求三角形的外角的度数
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以求三角形外角的度数．
【例1】(1)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝120°，则∠C的度数是 (B)
A．60° B．70° C．80° D．90°
(2)如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为__48°__．
命题角度2 利用三角形内角与外角的关系求角的度数
在计算角的度数时，结合角平分线、三角形内角和定理、三角形外角与内角之间的关系等知识点，把问题转化．
【例2】(1)将一副直角三角尺如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为 (D)
A．75° B．105° C．135° D．165°
(2)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__95°__．
命题角度3 利用三角形外角与内角间的不等关系判断角的大小
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，再借助不等式的传递关系：若a>b，b>c，则a>c，即可得到两个角的不等关系．
【例3】(1)如图，下列结论正确的是 (D)
A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1
C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B
(2)如图，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B＋∠D；③∠B＋∠ACB＜180°；④∠AHE＞∠B.其中正确的是__②③④__．(填序号)
高效课堂 教学设计
1．理解掌握三角形的外角的概念，掌握外角的两个定理．
2．综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行证明和计算．
▲重点
三角形外角的两个定理．
▲难点
灵活运用三角形外角的性质、定理解决问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
我们都知道三角形的内角和是180°，那如果我们从三角形的一个顶点“走出去”
(如图)，这个三角形外的角应该怎么定义？一个三角形有几个类似的角呢？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】探究三角形的外角与内角的等量关系(多媒体展示)
(1)如图，∠1是由△ABC的边__CB__和△ABC的边__AB__的延长线组成的，故∠1是△ABC的一个__外__角．
(2)①△ABC的外角是__∠1__，△DEC的外角是__∠3__；(均用数字表示角)
②∠3＋∠4＋∠CBA＝__180°__；
③∠1与∠3，∠4的等量关系是__∠1＝∠3＋∠4__．
(3)三角形内角和定理的推论：
【归纳】三角形的一个外角等于__和它不相邻__的两个内角的和．
【探究2】探究三角形的外角与内角的不等关系(多媒体展示)
根据三角形内角和定理推论1，完成下面的问题：
(1)①如上图，可得∠1__＝__∠3＋∠4，
②∠1与∠3的大小关系是__∠1>∠3__，
∠1与∠4的大小关系是__∠1>∠4__．
(2)三角形内角和定理的推论：
【归纳】三角形的一个外角__大于__任何一个__和它不相邻__的内角．
你能证明这个结论吗？
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】课本P5例2
【方法指导】要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”．
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B＝∠C，
∴∠C＝____∠EAC.
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC＝____∠EAC.
∴∠DAC＝__∠C__．
∴AD∥BC.
【例2】如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度数．
【方法指导】先利用外角性质得到∠3＝∠1＋∠2，然后根据题目条件得出∠4＝2∠2，再在△ABC中利用三角形内角和定理求出结果．
解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝2∠2.
又∵∠4＝∠3，
∴∠4＝2∠2.
设∠2＝x°，则∠4＝2x°.
在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，
∴x°＋2x°＋78°＝180°，
解得x＝34.
∴∠3＝∠4＝68°.
∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝44°.
【例3】课本P5－6例3
【方法指导】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，
∴∠BPC__>__∠ PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴∠PDC__>__∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∴∠BPC>∠A.
◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，点D在边AC上(不与端点重合)，连接BD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是 (A)
A.∠1＜∠2＜∠3
B．∠3＜∠1＜∠2
C．∠3＜∠2＜∠1
D．∠2＜∠1＜∠3
2．课本P6随堂练习T1
3．课本P6随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课的主要收获是什么？
【教学说明】用辅助线解题在以后的学习中应用很广．
【作业】课本P10习题1.1中的T3、T11、T12.
针对本节课的重难点、学生的思维特点及新课标的要求，在板书中，用推理形式推出三角形内角和定理的两个推论，这样设计便于突出知识目标，能够使学生更好地掌握这两个推论．
第3课时 多边形的内角和
教师备课 素材示例
●情景导入 (出示五角大楼俯视图片)
问题1：大楼的俯视图是一个什么形状的图形？
问题2：你们想知道大楼的五个角的度数之和是多少吗？
【教学与建议】教学：从生活情境中引出多边形，并猜想多边形的内角和．建议：可由三角形内角和引出问题2中五边形的内角和，小组相互讨论探究的方法．
●归纳导入 问题1：如图①，三角形三个内角的和等于多少度？
问题2：如图②③，正方形、长方形的内角和等于多少度？
问题3：如图④，对于一般的四边形，它的内角和是否与正方形，长方形相同？你是怎么得到的？
问题4：假如是一个五边形，它的内角和是多少呢？
思路1：用量角器测量．
思路2：把四个角剪下来，可以拼成一个周角．
思路3：如图，连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.
问题4：可仿照思路3，将五边形分割成3个三角形，得到内角和．
【教学与建议】教学：利用三角形、正方形、长方形这些熟悉的图形入手，由特殊到一般，为接下来探究n边形的内角和起到了铺垫的作用．建议：出示问题后，学生可能通过测量、剪拼等方法来探究，发现把四边形转化为三角形更直接，继而用这种方法探究求五边形内角和．
命题角度1 求多边形内角和
已知边数求内角和，用(n－2)·180°直接代入公式．
【例1】一个六边形的内角和为 (A)
A．720° B．540° C．360° D．180°
【例2】七边形的内角和是__900°__．
命题角度2 已知内角和求边数
已知内角和求边数，只需根据内角和公式，列出方程即可求出多边形边数．
【例3】若一个凸多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为 (D)
A．5 B．6 C．7 D．8
【例4】一个多边形的内角和是540°，这是一个__五__边形．
命题角度3 正多边形与内角和的关系
正多边形的每条边相等，可以结合等腰三角形，三角形内角和是180°求角的度数．
【例5】如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是__144°__．
【例6】正六边形的每一个内角的度数是__120°__．
命题角度4 内角和公式与平行线、角平分线的综合
有关多边形中求角度问题，往往涉及内角和公式与平行线、角平分线等相关知识，要把握好题目所给条件，合理解题．
【例7】如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角∠BAF的平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP的度数为 (C)
A．80° B．60° C．40° D．30°
【例8】如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．
高效课堂 教学设计
1．了解多边形、正多边形的定义，能够结合图形识别它们的相关概念．
2．掌握多边形内角和定理，把多边形问题转化为三角形问题．
▲重点
多边形内角和公式的探索和应用．
▲难点
推导多边形内角和公式时，如何把多边形转化成三角形．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
课件：浙江金华兰溪诸葛八卦村．
它布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合．
你能算出八卦图的内角和吗？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】五边形的内角和
问题1：健身广场中心的边缘是一个五边形(如图)，你能类比求四边形内角和的方法求出它的五个内角的和吗？
问题2：八年级学生利用图①和图②中的图形求出了五边形的五个内角的和，他们是怎么做的？还可以怎么做？
解：图①：(5－2)×180°＝540°；
图②：5×180°－360°＝540°，
∴五边形的内角和是540°.
【探究2】探究多边形的内角和
多边形边数 图形 从一个顶点引出的对角线条数 分割成的三角形个数 多边形的内角和
三角形(n＝3) 0 1 180°
四边形(n＝4) 1 2 360°
五边形(n＝5) 2 3 540°
六边形(n＝6) 3 4 720°
…… …… …… …… ……
n边形 n－3 n－2 (n－2)×180°
【归纳】从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．从而得出多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.
练一练：
1．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成7个三角形，则n的值是 (D)
A．6 B．7 C．8 D．9
2．从n边形的一个顶点出发可以连接6条对角线，则n的值为 (B)
A．8 B．9 C．10 D．11
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B与∠D有怎样的关系？
【方法指导】四边形ABCD的内角和是360°，四个内角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，已知∠A＋∠C＝180°，求得∠B＋∠D＝180°，这两个角互补．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.
【例2】如图，四边形ABCD中，已知∠ABC，∠BCD的平分线相交于点O，∠A＋∠D＝200°，求∠BOC的度数．
【方法指导】由四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，可求出∠ABC＋∠BCD的度数，进而根据题目条件转化到△BOC中，利用三角形内角和定理求出∠BOC的大小．
解：在四边形ABCD中，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°.
∵∠A＋∠D＝200°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－200°＝160°.
∵BO，CO分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝×160°＝80°.
∵∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°－80°＝100°.
【例3】(课本P8“思考·交流”)剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流．
【方法指导】如图所示：
解：可能是五边形，内角和是540°，可能是四边形，内角和是360°，可能是三角形，内角和是180°.
◆活动4 随堂练习
1．一个多边形的边数是12，这个多边形的内角和是 (A)
A．1 800° B．1 440°
C．1 980° D．540°
2．一个多边形的内角和等于1 080°，则从它的一个顶点出发引出的对角线条数是 (A)
A．5 B．6
C．8 D．12
3．下列角度不可能是多边形的内角和的是 (B)
A．1 260° B．960°
C．1 440° D．540°
4．若一个正多边形的每一个内角都是150°，这个正多边形的边数是__12__．
5．课本P8随堂练习T1
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探究多边形内角和定理时，运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对多边形内角和定理的理解和运用．
【作业】课本P11习题1.1中的T5、T6.
这节课的学习内容通过创设情境问题得以构建和发展，体现了新课程目标理念的开放性原则．在新课讲授过程中注意探究从三角形、四边形到多边形内角和知识的形成，最后形成规律，有利于学生对多边形内角和的理解．教师提出问题，让学生积极地展开小组讨论、探究，对比方法的异同，学生学习兴趣更加高涨，同时也提升学生的语言组织能力及表达能力．
第4课时 多边形的外角和
教师备课 素材示例
●归纳导入 问题：
(1)三角形的外角是指三角形__内角__的一边与另一边的__反向延长线__所组成的角．
(2)三角形的外角等于与它不__相邻__的两个内角的和．
(3)如图，你能计算∠DAE＋∠ECF＋∠ABF的度数和吗？
解：∠DAE＋∠ECF＋∠ABF＝∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＋∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠BAC＋∠BCA)×2＝180°×2＝360°.
【教学与建议】教学：通过创设问题情境，激发学生探究的积极性．对比三角形的外角和，归纳得出多边形的外角和定义．建议：提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述．
●悬念激趣 展示一组图片，教师做简短介绍．
苏炳添为亚洲9 s关口第一人，是继刘翔之后中国田径赛场上的新纪录．
运动会上，你们在学校的跑道上尽情挥洒汗水，你们奋力拼搏的精神令人感动！
习惯了学校里的环形跑道，绕着这个多边形跑道(如图)跑步，你会有什么样的感觉？今天我们要探究的内容就和这些“多边形跑道”有关，让我们一起尽情体验吧！
【教学与建议】教学：借助热点人物引发学生共鸣，由学校操场环形跑道引出“多边形跑道”，导入课题．建议：先展示中国田径赛场新标志苏炳添的图片，紧接着展示学校跑道和比赛的相关图片，导入多边形的外角及外角和．
命题角度1 已知外角求正多边形边数
求正多边形边数，可利用外角和360°，用外角和除以一个外角的度数即可求出边数．
【例1】若正n边形的一个外角为36°，则n的值为__10__；若正n边形的一个外角为60°，则n的值为__6__．
命题角度2 内角和与外角和综合题
此类题目知道内角和与外角和的关系，往往通过列方程解决．
【例2】若一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__．
【例3】一个正多边形每个外角都是60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．
命题角度3 内角转化为外角
已知正多边形每个内角都相等，一般转化为外角，利用外角和定理求边数．
【例4】一个n边形变成(n＋1)边形，外角和将 (D)
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
【例5】正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n的值为__12__．
命题角度4 利用多边形内外角关系求角的度数
此类题目常用知识点有：①多边形相邻的内、外角为互补关系；②多边形外角和为360°.有时还要用到方程思想或者整体思想进行代换求角度．
【例6】如图所示的六边形花环是用六个大小和形状完全一样的直角三角形拼成的，则∠ABC的度数为__30°__．
【例7】如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于 (B)
A．90° B．180° C．120° D．270°
命题角度5 与多边形内角和及外角和有关的实际应用
解决这类题的关键是将角综合在一个或两个几何图形中，然后利用内角和公式、外角和公式求解．
【例8】将两张三角形纸片如图所示摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5的度数为__40°__．
【例9】如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后左转40°，再沿直线前进8 m后左转40°，照这样走下去，当他第一次回到出发点A时，请问：
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走的路线是正n边形．
由题意，得n＝＝9.
∴行走路线是正九边形．
(2)8×9＝72(m).
答：一共走了72 m．
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1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．
2．探索多边形的外角和定理，利用内角和与外角和定理解决实际问题．
▲重点
探索并掌握“多边形外角和等于360°”．
▲难点
灵活运用多边形内角和与外角和定理解决有关问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEA＝180°，
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
你的思路与小刚一样吗？与同伴交流．
想一想：如果广场的形状是六边形，八边形，那么结果会怎样？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究】多边形的外角和定理
阅读课本P8－9，完成两个问题：
(1)多边形的外角与外角和的定义是什么？你能够找出多边形的外角吗？
(2)多边形的外角和是多少度？
【归纳】①多边形内角的一边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．
②探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
方法1：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究；
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 …
图形 …
外角和 360° 360° 360° 360° …
方法2：由n边形的内角和等于(n－2)·180°出发，探究问题．
多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
【方法指导】多边形的内角和等于(n－2)×180°，外角和是360°.
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°.
根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°，
解得n＝8.
∴这个多边形是八边形．
【例2】(1)如图①，△ABC的各边长都大于2，分别以顶点A，B，C为圆心，以1为半径画圆，则阴影部分的面积为________；
(2)如图②，将(1)中的△ABC换成四边形ABCD，其他条件不变，则阴影部分的面积为________；
(3)如图③，将四边形换成五边形，则阴影部分的面积为________；
(4)根据(1)(2)(3)中的结论，你能总结n边形的情况吗？
【方法指导】图①②③中各个阴影扇形之和正好分别构成0.5个、1个、1.5个半径是1的圆，根据圆的面积公式即可求解，然后根据规律推导出n边形的面积．
解：(1)
(2)π
(3)
(4)n边形阴影部分的面积是.
◆活动4 随堂练习
1．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是 (D)
A．十一边形 B．十二边形
C．八边形 D．九边形
2．一个多边形的内角和与外角和之比是11∶2，那么这个多边形的边数是 (A)
A．13 B．12
C．11 D．10
3．一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是__720°__．
4．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__180°__．
5．如图，小亮从点A出发前进5 m，向右转15°，再前进5 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了__120__m.
6．课本P9随堂练习T1
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探索多边形的外角和定理时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P11－12习题1.1中的T7、T8、T9、T13、T14.
本课时应以学生为主，培养学生自主探究的能力，在课前的教学设计中应尽量围绕学生，发挥学生丰富的想象力，让学生自己总结出多边形的内角和与外角和定理，让学生体会到由自己探索从而成功得出定理的喜悦．
教师引导学生分组探究，让学生充分参与到活动中，训练学生的探究能力，合作能力以及语言组织表达能力，课堂气氛热烈，效果很好．
2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形与等边三角形的性质
教师备课 素材示例
●情景导入 我们欣赏下列两个建筑物和交通标志，如图，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？
从图中我们可以看到等腰三角形及等边三角形，这一节我们继续学习等腰三角形的一些性质，并学习等边三角形的有关知识．
【教学与建议】教学：通过观察发现等腰三角形和等边三角形，激发学生学习热情，对新课的导入作好铺垫．建议：先复习等腰三角形的“等边对等角”的性质，再理解等腰三角形的特殊性质．
●操作实验 如图，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？要求学生自己动手折一折．
(1)什么是等腰三角形？
(2)用折纸的办法探究等腰三角形，你能发现它有哪些性质？
【教学与建议】教学：从学生动手剪折等腰三角形入手，借助于适当的问题引导，激发学生的学习兴趣．建议：学生先动手剪出一个等腰三角形，再利用等腰三角形是轴对称图形，折纸发现等腰三角形的性质．
命题角度1 等边对等角的应用
等边对等角是等腰三角形的一个重要性质，相等线段对应相等的角，结合三角形内角和，利用方程求出角的度数．
【例1】如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为 (A)
A．60° B．70° C．75° D．90°
【例2】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．
解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.
设∠B＝∠BAD＝x°，则∠ADC＝2x°，∴∠C＝2x°，
∴∠B＋∠C＝3x°.
∵∠BAC＝102°，∴∠B＋∠C＝78°，∴3x＝78.
∴x＝26，∴∠ADC＝52°.
命题角度2 “三线合一”的应用
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，利用这个性质解决有关等腰三角形的计算或证明题．
【例3】在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，则BC边上的高是__12__cm.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD为∠BAC的平分线．
又∵在△ABC中，AB＝AC，点E在AD上，
∴AE⊥BC.
命题角度3 利用分类讨论思想解决等腰三角形性质问题
在等腰三角形性质的运用过程中，当此类题目没有给出相应的示意图时，要进行分类讨论，常采取的方式就是通过画图找到所有符合题意的情况．
【例5】如果等腰三角形有两条边长分别为4 cm和5 cm，那么它的周长是__13_cm或14_cm__．
当等腰三角形锐角与钝角不明确时，需要讨论高在三角形外部还是内部，一般画图解决．
【例6】在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__120°或60°__．
【例7】已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF＝AC，求∠ABC的度数．
解：先证△BDF≌△ADC.当∠ABC为锐角时，如答图①，∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如答图②，∠ABC＝135°.故∠ABC的度数为45°或135°.
命题角度4 等边三角形性质的应用
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．
【例8】如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么AB的长是 (B)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【例9】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__20°__．
命题角度5 等边三角形与“手拉手”模型的综合
由于等边三角形的边角特性，当出现“手拉手”模型时，要能联想到等角转换，进而借助全等三角形的判定与性质解决问题．
【例10】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△DBC≌△EAC(SAS).∴∠DBC＝∠EAC.
又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.
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1．理解作为证明基础的几条公理的内容，利用公理证明一般三角形和等腰三角形的性质定理．
2．能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理的推论．
3．让学生借助等腰三角形的轴对称性探索等边三角形的性质定理．
4．熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题．
▲重点
证明等腰(等边)三角形的性质定理．
▲难点
灵活利用等腰(等边)三角形的性质解决问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：
(1)∵AB＝AC，∴∠B＝__∠C__．根据是__等边对等角__；
(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝__4__．根据是__三线合一__；
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝__20°__；
(4)若BD＝CD，则AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__.
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等腰三角形的性质
议一议：
1．什么是等腰三角形？
2．你会画等腰三角形吗？请你画一个等腰三角形并把它裁剪下来．
3．试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)．
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(等腰三角形的“三线合一”)．
4．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
方法1：如图②，取BC的中点D，连接AD，构造三角形全等(SSS).
证明：取BC的中点D，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
方法2：如图③，作∠BAC的平分线，交BC边于点D，构造三角形全等(SAS).
证明：作∠BAC的平分线，交BC边于点D.
∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角．
想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
归纳推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合，简称“三线合一”．
【探究2】等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C(等边对等角).
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B(等边对等角)，
∴∠A＝∠B＝∠C.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
【归纳】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD.
【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.
【方法指导】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，
∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.
答案：15°
◆活动4 随堂练习
1．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为 (D)
A．3 B．6 C．3 D．3
2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为__25__．
3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是__70°和40°或55°和55°__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：(1)∵DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE.
又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°.
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°.
∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°.
∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B.
∴BC＝CE＝5.
5．课本P15随堂练习T1
6．课本P15随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索等腰三角形与等边三角形的性质时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P20－21习题1.2中的T1、T2、T3、T4.
本节课为了展示重点、突破难点，把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性，以使他们比较好地掌握知识、增强学习数学的兴趣．
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
教师备课 素材示例
●情景导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(点A)为目标，然后在这棵树的正南岸点B插一小旗作标志，沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得BC的长度是50 m，就可知河流宽度是50 m.
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
【教学与建议】教学：从生活中的问题出发，激发学习的兴趣和动力．建议：要求学生独立思考，进行大胆猜测，说明理由，为学习等腰三角形的判定作好铺垫．
●置疑导入 问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”；
(2)“三线合一”．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
问题3：如果把它的条件和结论反过来，还成立吗？也就是“一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”成立吗？
【教学与建议】教学：设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔．建议：学生口答问题1，2，3.学生各抒己见，教师引导，并导入新课．
命题角度1 等腰三角形的判定
等腰三角形的证明方法主要有：(1)定义，即直接证明两边相等；(2)等角对等边．这两种方法的目的都是说明有两条线段相等．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 (C)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【例2】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝__40°__，则△ABC是等腰三角形．
命题角度2 反证法的应用
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题结论正确．
【例3】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设 (D)
A．a【例4】求证：三角形中至少有一个角不大于60°.
证明：假设△ABC中，∠A，∠B，∠C都大于60°，则∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与三角形的内角和等于180°相矛盾，
∴假设不成立．
∴三角形中至少有一个角不大于60°.
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1．理解并证明等腰三角形的判定定理，会解决实际问题．
2．初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题．
▲重点
等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义．
▲难点
运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
出示填空．
(1)等腰三角形的两底角__相等__．
(2)等腰三角形__顶角的平分线__、__底边上的中线__及__底边上的高__重合．
(3)等边三角形的三个内角都__相等__，并且每个内角都是__60°__．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等腰三角形的判定
已知：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.
证明一：如答图①，作顶角的平分线AD，则∠1＝∠2.
在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等).
证明二：如答图②，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ABD和△ACD中，∵∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等).
【归纳】定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称为“等角对等边”)
【探究2】反证法
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
【归纳】先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
“反证法”的一般步骤：
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，AB＝DC，BD＝CA.求证：△AED是等腰三角形．
【方法指导】要证明△AED是等腰三角形，可以通过△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE.
证明：在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC，
∴AE＝DE，∴△AED是等腰三角形．
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形．
【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，
∴∠1＝∠C.
又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.
又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
【例3】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是钝角．
【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是钝角，不妨设∠A和∠B是钝角，即∠A＞90°，∠B＞90°，
于是∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾．
因此“∠A和∠B是钝角”的假设不成立，
所以，一个三角形中不能有两个角是钝角．
◆活动4 随堂练习
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为 (B)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为 (B)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．用反证法证明结论“a，b，c至少有一个是正数”，应先假设 (B)
A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都不是正数
C．a，b，c至多有一个正数 D．a，b，c至多有两个正数
4．课本P17随堂练习T1
5．课本P18随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．你还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，掌握等腰三角形的判定以及“反证法”的运用．
【作业】课本P21习题1.2中的T6、T7.
本课时的教学要点是通过探索、证明，让学生掌握等腰三角形的判定定理和反证法的一般步骤，熟悉反证法证明的基本思路．运用反证法进行命题的证明，需多加强练习．
第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
教师备课 素材示例
●置疑导入 问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？等边三角形的三条边相等，三个角相等，每个内角都等于60°.
问题2：(1)具备什么条件的三角形是等边三角形？
(2)具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？
【教学与建议】教学：开门见山，利用问题直接导入新课．建议：提出问题，让学生自由发言，教师适当补充．
●复习导入 复习等腰三角形，提出问题：
(1)等腰三角形的定义是什么？
(2)等腰三角形的性质中“三线合一”指哪三线？试着画出来．
(3)等边三角形的“三线合一”中的线有几条，每条都能把三角形分成两个具有什么特征的三角形，分成的三角形的边有何关系？
【教学与建议】教学：采用“复习旧知识，诱导新内容”导入课题．建议：学生口答后教师总结等腰三角形和等边三角形的性质．
命题角度1 等边三角形的判定
三条边相等的三角形，三个角都是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形均是等边三角形，根据题意灵活运用．
【例1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__①②③④__．(填序号)
【例2】如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形．
证明：∵OA＝OB，∠A＝60°，
∴∠B＝∠A＝60°.
又∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，
∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
命题角度2 含30°角的直角三角形的应用
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，主要用于解决直角三角形中的计算和证明问题．
【例3】如图，∠B＝90°，AB＝6 cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝__12__cm.
【例4】如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为__26__s.
命题角度3 等腰三角形性质与30°角定理的综合应用
把等腰三角形的性质(“等边对等角”、“三线合一”)，与30°角定理结合考查，检验学生对定理的熟练及灵活应用程度．
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为__2__．
【例6】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝20，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝4，则OM的长度为 (D)
A．3 B．4 C．6 D．8
命题角度4 等边三角形与30°角定理的综合运用
当在等边三角形中出现垂直条件时，结合等边三角形的内角为60°转化成含30°角的直角三角形，再利用其边长间的关系进行计算即可．
【例7】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝8 cm，则BD＝__4__cm，BE＝__2__cm.
【例8】如图，等边三角形ABC中，AD＝BD，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝4，则线段BE的长为__10__．
高效课堂 教学设计
1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形的性质定理及其证明．
2．能利用等边三角形的两个判定定理解决问题．
▲重点
等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
▲难点
含30°角的直角三角形的性质定理的探索与证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
欣赏几组图片(多媒体展示)：
同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．
(1)图中的三角形都是__等边__三角形．
(2)等边三角形与等腰三角形的关系是__等边三角形是特殊的等腰三角形__．
(3)等边三角形的特点是三条边相等、三个角相等、三线合一．
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？这节课让我们一起来学习等边三角形的判定定理及证明．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等边三角形的判定方法
问题1：一个三角形满足什么条件时就是等边三角形？
问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
问题3：你能证明你的结论吗？
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.
∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
方法一：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
方法二：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°.
∴∠A＝180°－60°×2＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
【归纳】等边三角形的判定定理：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
名称 性质 判定
等边三角形 三条边都相等 三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【探究2】含30°角的直角三角形的性质
问题：请同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？因此你能发现什么结论？说明理由．
发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝AB.
证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴BC＝BD＝AB.
【归纳】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.
求证：△ABC是等边三角形．
【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．
证明：∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠F.
又∵∠CDF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F.
∵DE⊥AB，
∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ABC是等腰三角形．
又∵∠F＝30°，
∴∠B＝90°－∠F＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝AC.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝AB.
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴CD＝AC.
∴CD＝AB.
◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正确的有 (D)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是 (A)
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是__5__．
4．课本P20随堂练习T1
5．课本P20随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有什么收获？
2．在探索等边三角形的判定与含30°角的直角三角形性质的过程中，你掌握了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P21－22习题1.2中的T8、T9.
本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，学生热情很高，参与积极．本节课的难点在于对30°角定理的理解及应用，让学生充分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧．解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力．
3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教师备课 素材示例
●复习导入 1.什么是勾股定理？
定理：__直角__三角形__两条直角边__的平方和等于__斜边__的平方．
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝3，c＝5，则b＝__4__．
(2)若a＝6，∠A＝30°，则b＝__6__．
(3)若a＝6，∠A＝45°，则c＝__6__．
3．下面几组数中，不能组成直角三角形的是 (B)
A．5，12，13 B．4，6，8
C．2，3， D．，4，5
【教学与建议】教学：复习旧知，激发学生的学习兴趣．建议：问题1，2口答，问题3进行小组合作讨论解决．
●悬念激趣 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
学了今天的知识，我们就能明白其中的道理了．
【教学与建议】教学：由古代埃及数学问题，创设问题情境，激发学生的学习兴趣．建议：学生思考回答后导入课题．
命题角度1 判定直角三角形
判断直角三角形的方法：(1)有一个角为直角；(2)两个锐角互余；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【例1】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 (B)
A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长分别为5，12，14
C．三边长之比为3∶4∶5 D．三角形三个内角中有两个角互余
【例2】若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为__4.8__．
命题角度2 折叠问题
理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．
【例3】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是 (D)
A．AF＝AE B．EF＝2
C．△ABE≌△AGF D．AF＝EF
【例4】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC＝__3__cm.
命题角度3 勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题，先构建直角三角形，再利用勾股定理解决问题．
【例5】如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是 (B)
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
【例6】如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为__2.9__m(结果精确到0.1)．
命题角度4 最短路程
此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．
【例7】图①所示的正方体木块的棱长为4 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为__(2＋2)__cm.
,(例7题图))Ｂ
【例8】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)
解：×(2×3)×3＝9(cm)，＝＝15(cm).
∴需要爬行的最短路程是15 cm.
命题角度5 互逆命题(定理)的识别
交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．
【例9】下列说法正确的是 (A)
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
【例10】下列定理中，没有逆定理的是 (B)
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
高效课堂 教学设计
1．掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理．
2．了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义．
▲重点
掌握直角三角形的性质定理及判定定理、勾股定理及判定定理的证明方法、会识别互逆命题、互逆定理．
▲难点
勾股定理及其逆定理的证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
出示填空．
(1)每个命题都是由__条件__、__结论__两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__对顶角__，结论是__相等__；
(2)“对顶角相等”是__真__命题；“我们是小学生”是__假__命题；(填“真”或“假”)
(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：__如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等__；
(4)直角三角形的两个锐角__互余__；有两个角互余的三角形是__直角三角形__；
(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：__直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方__．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.
性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【探究2】勾股定理及其逆定理
问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？
问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？
性质定理2：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图①，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形．
分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：作Rt△A′B′C′(如图②)，使∠A′＝90°，
A′B′＝AB，A′C′＝AC，
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理).
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形．
【探究3】互逆命题和互逆定理
观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？
(1)
(2)
(3)
想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题．
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】若a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可能为 ( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶6
C．5∶12∶13 D．4∶6∶7
【方法指导】勾股定理逆定理的运用．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，选项C中，52＋122＝132，所以答案是C.
答案：C
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【方法指导】给出△ABC是直角三角形，同时给出两边的长，我们会想到利用勾股定理来解题，再利用面积作为桥梁，求CD的长．
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，
∴由勾股定理，得AC＝＝＝40.
又∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝24.
【例3】(1)写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题，并判断这个逆命题是真命题还是假命题；
(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题，并判断其是否是原定理的逆定理．
【方法指导】(1)该命题的条件与结论很清楚，只要将条件与结论互换即可得逆命题，然后判断其真假；(2)此定理的条件与结论都是略写的形式，要注意写出的逆命题必须是完整的，不能简单地说成“相等是对顶角”．
解：(1)逆命题：如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题．
(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．这个命题是假命题，所以它不是原定理的逆定理，即原定理没有逆定理．
◆活动4 随堂练习
1．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为__5或__cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为__144__．
3．课本P26随堂练习T1
4．课本P27随堂练习T2
5．课本P27随堂练习T3
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课你有什么收获？还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P31习题1.3中的T1、T2.
本节课学生对于命题和逆命题中题设和结论的分析把握不太准确，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导，注意学生个体差异．
第2课时 直角三角形全等的判定
教师备课 素材示例
●复习导入 出示问题：
1．前面我们学习了判定两个三角形全等的方法，方法有：SSS，SAS，ASA，AAS.
2．通过这些方法我们可以看出判定两个三角形全等时，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以确定这两个三角形全等？(附加一边相等或两边的夹角相等，可以确定这两个三角形全等．)
3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？(如图，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，△ABC与△ABD不全等．)
【教学与建议】教学：通过复习全等三角形的判定方法，利用反例对应用“边边角”判定三角形全等进行“批判”，激发学生的求知欲．建议：教师提问，留出足够的时间让学生思考并回答．
●悬念激趣 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．
【教学与建议】教学：检验两个直角三角形，因为直角边和斜边相等得到两个直角三角形全等，制造悬念，激发学生学习兴趣．建议：可让学生动手操作画图验证，培养学生的创新精神．
命题角度1 直角三角形全等的判定
在证明两直角三角形全等时，要首先想到“HL”．至于选择哪种方法证明全等，要以题目条件而定．
【例1】如图，CB⊥AE于点B，AF＝CE，BF＝BE.若AB＝6，BF＝4，则CF＝__2__．
【例2】如图，已知PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD.求证：OC＝OD.
证明：连接OP.
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).
∴OC＝OD.
命题角度2 运用“HL”定理解决问题
HL定理与其他判定定理的最大不同就是，只需找一组直角边和一组斜边相等即可．在某些时候，到底是哪组直角边对应相等需要分类讨论．
【例3】如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A同时出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__5或10__时，△ABC与△APQ全等．
【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明．
解：BF⊥AE.
证明如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
在Rt△BDC和Rt△AEC中，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠CBD＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
命题角度3 方格作图问题
在方格中作图要明确方格的特点：(1)每个小方格的边长都是1；(2)出现很多直角．可以利用勾股定理求得图形的边长．
【例5】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为 (D)
A． B． C． D．
高效课堂 教学设计
1．熟练掌握“HL”定理，并利用“HL”定理解决实际问题．
2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．
▲重点
掌握并利用“HL”定理解决问题．
▲难点
证明“斜边、直角边(HL)”定理的思路的探究和分析．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
填一填：
(1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？__SSS，SAS，ASA，AAS__
(2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．
添加__AC＝BD__，利用__SAS__证明△ACB≌△BDA；
添加__∠ABC＝∠DAB__，利用__ASA__证明△ACB≌△BDA；
添加__∠C＝∠D__，利用__AAS__证明△ACB≌△BDA.
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】做一做(小组合作完成)
如图，已知线段a，c(a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.
解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；
(2)在射线CM截取CB＝a；
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；
(4)连接AB，得到Rt△ABC.
【探究2】证明定理
请证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．
同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.
∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，两条长度为12 m的绳子，一端系在旗杆的同一点上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
【方法指导】根据题意可知AB＝AC，AD边共用，利用HL可证Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.
解：BD＝CD.理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴BD＝CD.
【例2】课本P30例题
◆活动4 随堂练习
1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 (A)
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是__①②③__．(填序号)
3．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
4．课本P30随堂练习T1
5．课本P30随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有哪些收获？
2．探索“HL”定理，用它解决数学问题时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加强对三角形全等的理解．
【作业】课本P31－32习题1.3中的T4、T5、T6.
本节课得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力.
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
教师备课 素材示例
●情景导入 某小区为了安全管理，准备在A，B两幢楼房之间增加一处节能灯，要求节能灯与两楼之间的距离相等，灯到A，B幢楼所在直线的垂直距离为20 m，你能确定节能灯的位置吗？
【教学与建议】教学：通过学生对生活中一个实际问题的探究，导入本节课题．建议：导入新课后，让学生体会到生活中处处充满数学，然后，回顾旧知识提出新知识．
●置疑导入 问题1：什么是线段的垂直平分线？经过某一条线段的__中点__，并且__垂直__于这条线段的__直线__是线段的垂直平分线．
问题2：如图，在幸福路的同侧有两个村庄A，B，政府部门计划在幸福路边上修建一个储水塔．为了使储水塔到两个村庄一样远，地址应选在何处？小明想到的解决方案是：连接A，B，然后作线段AB的垂直平分线与道路交于点P，点P即为所求的地址，你能解释一下他这样做的理由吗？
【教学与建议】教学：通过复习回顾垂直平分线的定义，然后利用问题自然引出新课．建议：问题1学生口答，问题2学生独立思考后小组讨论．
命题角度1 理解线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，注意分析基本图形，读透图形包含的重要信息，解决有关线段相等的问题．
【例1】如图，线段AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，则下列结论一定成立的是 (B)
A．ED＝CD B．AD＝BD C．AB＝AC D．BD＝AC
【例2】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 (C)
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
命题角度2 利用线段垂直平分线的性质求值
利用线段垂直平分线的性质，先要找准线段垂直平分线上的关键点，再看是否与线段两个端点相连，如果不相连，要把关键点与线段两端点相连，从而找出相等的线段．
【例3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为 (B)
A．8 B．11 C．16 D．17
【例4】如图，已知CD是AB的垂直平分线，AC＝4 cm，BD＝2 cm，则四边形ADBC的周长为__12_cm__．
命题角度3 线段垂直平分线的判定
证明一条直线是某线段的垂直平分线，既可以用定义证明，也可以用判定定理证明．
【例5】如图，P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则 (D)
A.点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上
【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠D.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D，
∴∠CFD＝∠A.
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A，
∴EF＝EA，
∴点E在AF的垂直平分线上．
高效课堂 教学设计
1．掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．
2．能够利用线段的垂直平分线性质定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
▲重点
垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解和应用．
▲难点
垂直平分线的性质定理及判定定理的证明和应用．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成，这节课我们将继续学习线段垂直平分线的性质．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】线段垂直平分线的性质
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
请用公理或定理求证线段垂直平分线的性质．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)，
∴PA＝PB.
【探究2】线段垂直平分线的判定
写出线段垂直平分线性质定理的逆命题，并证明．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
证明：∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，
∴AC＝BC，
即点P在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．
证明：∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA＝∠PCB.
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
即PC⊥AB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
【方法指导】线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
同理，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BEC的周长．
【方法指导】由AD＝AB，AB＝AC和AD＋AC＝24 cm，可求出AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.由BD＋BC＝20 cm得BC＝12 cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周长．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝AB.
∵AB＝AC，∴AD＝AC.
∵AD＋AC＝24 cm，
∴AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.
∵BD＋BC＝20 cm，
∴BC＝12 cm.
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).
即△BEC的周长为28 cm.
◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为 (C)
A．4 B．5 C．9 D．13
2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5，BD＝4，则AC＝__5__，CD＝__4__，AD＝__3__．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝__40°__，∠C＝__70°__，∠3＝__30°__，∠2＝__80°__；若△ABC的周长为16 cm，BC＝4 cm，则AC＝__6__cm，△BCE的周长为__10__cm.
4．课本P34随堂练习T1
5．课本P34随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有什么收获？
2．线段垂直平分线的性质定理与判定定理有哪些区别？
【教学说明】梳理本节课的知识和方法，巩固和加深对知识的理解．
【作业】课本P38习题1.4中的T4、T5.
本节课引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，先得出猜想，然后再进行证明．本节课的难点在于探究线段垂直平分线的逆定理，由于设计了小组讨论交流与教师启发引导相结合的环节，使学生能更好地掌握本节课的教学重难点．
第2课时 三角形三边的垂直平分线
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，看这些漂亮的折纸，是多么精致的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？
【教学与建议】教学：通过漂亮的折纸图片导入课题，为下一步通过折纸来验证三角形三边的垂直平分线相交于一点做好了铺垫．建议：利用折纸作品的对称性导入新课．
●置疑导入 问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议．
【教学与建议】教学：复习问题1，为本节课的学习做知识铺垫，问题2是为了引起学生的学习兴趣．建议：问题1找学生直接说出答案，问题2先让学生画出三边的垂直平分线，再小组讨论猜测平分线的性质．
命题角度1 利用三角形的三边垂直平分线的性质求角
利用三角形三边垂直平分线的性质，结合等边对等角、三角形内角和等于180°等知识，求角的度数．
【例1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝__30°__．
【例2】如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝__25°__．
命题角度2 利用三边垂直平分线的性质求线段长度
根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题．
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD∶BD＝3∶5，则CD的长为__6_cm__．
【例4】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E.若AE＝3，△ABC的周长为15，则△ABD的周长等于__9__．
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
解：DE＝BF，DE⊥BF.
理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G.
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC.
又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴△ECD≌△FCB(SAS)，
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.
∵∠CFB＋∠CBF＝90°，
∴∠CED＋∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.
命题角度3 三角形三边垂直平分线的交点
锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据．
【例6】如果三角形的两条边的垂直平分线交点在第三条边上，那么这个三角形是 (C)
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【例7】如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点位于三角形的内部，那么这个三角形是__锐角__(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．
命题角度4 三角形三边的垂直平分线的应用与作图
三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．常常利用这个定理解决一些选址问题．
【例8】如图，A，B，C三个村庄的位置成三角形，现决定在三个村庄之间修建一所学校，使学校到三个村庄的距离相等，则村庄应建在 (D)
A.△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
命题角度5 几何作图
用尺规作等腰三角形及其底边的垂线其实质都是作线段的垂直平分线．
【例9】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为__105°__．
【例10】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，线段a和h
求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，且BC边上的高AD＝h.
解：如图所示．
【例11】如图，作出△ABC的BC边上的高．(用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)
解：如图，线段AD即为所求．
高效课堂 教学设计
1．能够证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点这一命题．
2．会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的等腰三角形，提高尺规作图的技能．
3．会用尺规作“过直线外一点作已知直线的垂线”．
▲重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形．
▲难点
会用所学知识按要
三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和与全等三角形的性质与判定
教师备课 素材示例
●情景导入 在300多年前，法国有一位名叫布莱士·帕斯卡的天才数学家．传说他在12岁时，仅仅通过玩纸和线段，就独立发现了“任何三角形的三个内角加起来都是一个平角”这个伟大的规律．今天，我们就化身小帕斯卡，一起来重现这个伟大的发现，你们有信心吗？”
(1)提出问题：“请你们先在草稿纸上任意画一个三角形，用量角器量出三个角的度数，并加起来看看，你的发现是什么？”
·学生活动：动手测量、计算．结果可能会有微小误差(如179°，181°)．
(2)引发认知冲突：“同学们的结果非常接近180°，但为什么会有误差？测量是确定真理的方法吗？我们能否找到一种无可辩驳的方法来证明它？”
【教学与建议】教学：用历史故事激发兴趣和崇敬感．通过测量产生初步猜想，并立即用“测量误差”点出其局限性，为引入严谨证明做铺垫，制造“心求通而未得”的求知状态．建议：先让学生们自己动手操作，然后提出问题，引导学生们思考．
●悬念激趣 活动内容：如图，在打扫卫生时，小丽不小心把一块三角形的玻璃饰品打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．小东、小丽有不同的意见．
小东：把①②③全部带去才行．
小丽：没必要全带去，带①去就行了．
小东和小丽两人谁的意见更合理呢？你能说出理由吗？
【教学与建议】教学：通过回顾学过三角形全等的判定方法，引导学生思考证明，为后面利用三角形全等证明等腰三角形的性质定理做好铺垫．建议：先回顾学过的全等知识，再解决生活中的实际问题．
命题角度1 三角形的内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是 (B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【例2】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是图________(请填写序号)；
(2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．
(1)解：①②③
(2)证明：当选择图①时，如图①.
∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B.
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠2＋∠B＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
当选择图②时，
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B.
∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
当选择图③时，∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA，∠FDE＝∠AED＝∠C.
∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴三角形的内角和为180°.(答案不唯一，选择一种方法证明即可).
命题角度2 全等三角形的性质与判定
判定两个三角形全等的方法主要有SSS，SAS，ASA，AAS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为__65°__．
【例4】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，
∴∠BAD＝∠NAM.
在△BAD和△NAM中，
∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM.
高效课堂 教学设计
1．通过操作与探究，发现并理解三角形内角和等于180°.
2．掌握至少两种证明三角形内角和定理的方法(拼接法与平行线法)．
3．能运用定理解决简单的角度计算问题．
4．利用相关的基本事实和已经学过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，并掌握全等三角形的性质．
▲重点
探索三角形的内角和．
▲难点
三角形内角和定理及“AAS”定理的推导和论证．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
1．旧知回顾
(1)请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空：
已知：如图，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.求证：∠C＝∠2.
证明：∵∠1＝∠B(____________)，
∴AD∥BC(____________).
∴∠C＝∠2(____________).
(2)回顾七年级下册学过的全等三角形的判定方法
①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
③三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
2．课堂导入
实践出真知，想一想、议一议：如图，假如你正站在金字塔下．现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．(课件)
生：看图读题，并思考怎样做，在小组内交流．
师：需要什么知识来解决呢？
生：小组汇总意见，推荐代表发言——可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角．
3.提出问题
(1)我们已经知道三角形按角分类，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，那么三角形的三个内角和有什么关系呢？
(2)我们在七年级下册已经学过判定三角形全等的3种方法(SAS，ASA，SSS)，还有其他的方法可以判定三角形全等吗？全等三角形有哪些性质呢？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】三角形的内角和
1．量一量：一副三角尺的每个角各是多少度？每个三角尺的三个内角的和各是多少？
2．猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？
3．动动手，仔细观察：
(1)拼拼看：将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？
(2)观察；小组内观察比较，会得到什么结论？
4．你能行：你能设计一种方案来说明你的结论吗？
(课件出示两种基本的说理方法)
教师点拨：三角形的内角和定理的证明方法很多，但不管哪种方法其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题．
5．你真行：(课件演示)
几种常见的验证方法的辅助线作法．
经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：
【归纳】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
【探究2】三角形全等的性质及判定
证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
【归纳】1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)。
2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】课本P3例1
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数
解：在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)＝65°.
在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°.
【例3】如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.
(1)求证：△ABD≌△EDC；
(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．
【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明．
(2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解．
(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.
又∵AB＝ED，∠1＝∠C，
∴△ABD≌△EDC(AAS).
(2)解：∵△ABD≌△EDC，
∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，
∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.
◆活动4 随堂练习
1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶4∶5，则这个三角形是 (B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.
证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB＝DE.
3．课本P4随堂练习T1
4．课本P4随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课的收获是什么？
【教学说明】鼓励学生自己主动去猜想、推理、探究学习．
【作业】课本P10习题1.1中的T1、T2、T10.
本节课通过历史故事与生活实际的引入，观察、猜想、探索出三角形内角和定理及全等三角形的性质与判定，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．培养学生的一题多思、一题多解的创新精神．
第2课时 三角形内角和定理的推论
教师备课 素材示例
●复习导入 (1)三角形内角和为__180°__；
(2)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝70°，则∠C＝__50°__．
(3)若将边CB延长至D，则可以得到一个新角∠ABD，这个角还是三角形的内角吗？这个角叫作什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
【教学与建议】教学：让学生回忆三角形内角和定理，从三角形内角联想到三角形的外角，导入课题．建议：学生讨论后，引导学生从三角形的外角的角度进行思考．
●悬念激趣 赵师傅的“神机妙算”．
在一次飞机模型设计大赛上，小东与赵师傅在做最后的准备工作，其中需要一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，小东量得∠B＝32°，∠C＝21°，∠BDC＝143°，话音刚落，赵师傅就脱口而出：这个零件合格．
你知道赵师傅的判断依据是什么吗？
【教学与建议】教学：让学生在思想上做好准备，对所学内容产生兴趣，激发学生学习动力．建议：引导学生积极思考，寻找解决问题的方法，为本节课的学习埋下伏笔.
命题角度1 求三角形的外角的度数
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以求三角形外角的度数．
【例1】(1)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝120°，则∠C的度数是 (B)
A．60° B．70° C．80° D．90°
(2)如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为__48°__．
命题角度2 利用三角形内角与外角的关系求角的度数
在计算角的度数时，结合角平分线、三角形内角和定理、三角形外角与内角之间的关系等知识点，把问题转化．
【例2】(1)将一副直角三角尺如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为 (D)
A．75° B．105° C．135° D．165°
(2)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__95°__．
命题角度3 利用三角形外角与内角间的不等关系判断角的大小
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，再借助不等式的传递关系：若a>b，b>c，则a>c，即可得到两个角的不等关系．
【例3】(1)如图，下列结论正确的是 (D)
A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1
C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B
(2)如图，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B＋∠D；③∠B＋∠ACB＜180°；④∠AHE＞∠B.其中正确的是__②③④__．(填序号)
高效课堂 教学设计
1．理解掌握三角形的外角的概念，掌握外角的两个定理．
2．综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行证明和计算．
▲重点
三角形外角的两个定理．
▲难点
灵活运用三角形外角的性质、定理解决问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
我们都知道三角形的内角和是180°，那如果我们从三角形的一个顶点“走出去”
(如图)，这个三角形外的角应该怎么定义？一个三角形有几个类似的角呢？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】探究三角形的外角与内角的等量关系(多媒体展示)
(1)如图，∠1是由△ABC的边__CB__和△ABC的边__AB__的延长线组成的，故∠1是△ABC的一个__外__角．
(2)①△ABC的外角是__∠1__，△DEC的外角是__∠3__；(均用数字表示角)
②∠3＋∠4＋∠CBA＝__180°__；
③∠1与∠3，∠4的等量关系是__∠1＝∠3＋∠4__．
(3)三角形内角和定理的推论：
【归纳】三角形的一个外角等于__和它不相邻__的两个内角的和．
【探究2】探究三角形的外角与内角的不等关系(多媒体展示)
根据三角形内角和定理推论1，完成下面的问题：
(1)①如上图，可得∠1__＝__∠3＋∠4，
②∠1与∠3的大小关系是__∠1>∠3__，
∠1与∠4的大小关系是__∠1>∠4__．
(2)三角形内角和定理的推论：
【归纳】三角形的一个外角__大于__任何一个__和它不相邻__的内角．
你能证明这个结论吗？
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】课本P5例2
【方法指导】要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”．
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B＝∠C，
∴∠C＝____∠EAC.
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC＝____∠EAC.
∴∠DAC＝__∠C__．
∴AD∥BC.
【例2】如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度数．
【方法指导】先利用外角性质得到∠3＝∠1＋∠2，然后根据题目条件得出∠4＝2∠2，再在△ABC中利用三角形内角和定理求出结果．
解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝2∠2.
又∵∠4＝∠3，
∴∠4＝2∠2.
设∠2＝x°，则∠4＝2x°.
在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，
∴x°＋2x°＋78°＝180°，
解得x＝34.
∴∠3＝∠4＝68°.
∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝44°.
【例3】课本P5－6例3
【方法指导】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，
∴∠BPC__>__∠ PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴∠PDC__>__∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∴∠BPC>∠A.
◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，点D在边AC上(不与端点重合)，连接BD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是 (A)
A.∠1＜∠2＜∠3
B．∠3＜∠1＜∠2
C．∠3＜∠2＜∠1
D．∠2＜∠1＜∠3
2．课本P6随堂练习T1
3．课本P6随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课的主要收获是什么？
【教学说明】用辅助线解题在以后的学习中应用很广．
【作业】课本P10习题1.1中的T3、T11、T12.
针对本节课的重难点、学生的思维特点及新课标的要求，在板书中，用推理形式推出三角形内角和定理的两个推论，这样设计便于突出知识目标，能够使学生更好地掌握这两个推论．
第3课时 多边形的内角和
教师备课 素材示例
●情景导入 (出示五角大楼俯视图片)
问题1：大楼的俯视图是一个什么形状的图形？
问题2：你们想知道大楼的五个角的度数之和是多少吗？
【教学与建议】教学：从生活情境中引出多边形，并猜想多边形的内角和．建议：可由三角形内角和引出问题2中五边形的内角和，小组相互讨论探究的方法．
●归纳导入 问题1：如图①，三角形三个内角的和等于多少度？
问题2：如图②③，正方形、长方形的内角和等于多少度？
问题3：如图④，对于一般的四边形，它的内角和是否与正方形，长方形相同？你是怎么得到的？
问题4：假如是一个五边形，它的内角和是多少呢？
思路1：用量角器测量．
思路2：把四个角剪下来，可以拼成一个周角．
思路3：如图，连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.
问题4：可仿照思路3，将五边形分割成3个三角形，得到内角和．
【教学与建议】教学：利用三角形、正方形、长方形这些熟悉的图形入手，由特殊到一般，为接下来探究n边形的内角和起到了铺垫的作用．建议：出示问题后，学生可能通过测量、剪拼等方法来探究，发现把四边形转化为三角形更直接，继而用这种方法探究求五边形内角和．
命题角度1 求多边形内角和
已知边数求内角和，用(n－2)·180°直接代入公式．
【例1】一个六边形的内角和为 (A)
A．720° B．540° C．360° D．180°
【例2】七边形的内角和是__900°__．
命题角度2 已知内角和求边数
已知内角和求边数，只需根据内角和公式，列出方程即可求出多边形边数．
【例3】若一个凸多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为 (D)
A．5 B．6 C．7 D．8
【例4】一个多边形的内角和是540°，这是一个__五__边形．
命题角度3 正多边形与内角和的关系
正多边形的每条边相等，可以结合等腰三角形，三角形内角和是180°求角的度数．
【例5】如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是__144°__．
【例6】正六边形的每一个内角的度数是__120°__．
命题角度4 内角和公式与平行线、角平分线的综合
有关多边形中求角度问题，往往涉及内角和公式与平行线、角平分线等相关知识，要把握好题目所给条件，合理解题．
【例7】如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角∠BAF的平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP的度数为 (C)
A．80° B．60° C．40° D．30°
【例8】如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．
高效课堂 教学设计
1．了解多边形、正多边形的定义，能够结合图形识别它们的相关概念．
2．掌握多边形内角和定理，把多边形问题转化为三角形问题．
▲重点
多边形内角和公式的探索和应用．
▲难点
推导多边形内角和公式时，如何把多边形转化成三角形．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
课件：浙江金华兰溪诸葛八卦村．
它布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合．
你能算出八卦图的内角和吗？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】五边形的内角和
问题1：健身广场中心的边缘是一个五边形(如图)，你能类比求四边形内角和的方法求出它的五个内角的和吗？
问题2：八年级学生利用图①和图②中的图形求出了五边形的五个内角的和，他们是怎么做的？还可以怎么做？
解：图①：(5－2)×180°＝540°；
图②：5×180°－360°＝540°，
∴五边形的内角和是540°.
【探究2】探究多边形的内角和
多边形边数 图形 从一个顶点引出的对角线条数 分割成的三角形个数 多边形的内角和
三角形(n＝3) 0 1 180°
四边形(n＝4) 1 2 360°
五边形(n＝5) 2 3 540°
六边形(n＝6) 3 4 720°
…… …… …… …… ……
n边形 n－3 n－2 (n－2)×180°
【归纳】从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．从而得出多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.
练一练：
1．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成7个三角形，则n的值是 (D)
A．6 B．7 C．8 D．9
2．从n边形的一个顶点出发可以连接6条对角线，则n的值为 (B)
A．8 B．9 C．10 D．11
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B与∠D有怎样的关系？
【方法指导】四边形ABCD的内角和是360°，四个内角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，已知∠A＋∠C＝180°，求得∠B＋∠D＝180°，这两个角互补．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.
【例2】如图，四边形ABCD中，已知∠ABC，∠BCD的平分线相交于点O，∠A＋∠D＝200°，求∠BOC的度数．
【方法指导】由四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，可求出∠ABC＋∠BCD的度数，进而根据题目条件转化到△BOC中，利用三角形内角和定理求出∠BOC的大小．
解：在四边形ABCD中，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°.
∵∠A＋∠D＝200°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－200°＝160°.
∵BO，CO分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝×160°＝80°.
∵∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°－80°＝100°.
【例3】(课本P8“思考·交流”)剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流．
【方法指导】如图所示：
解：可能是五边形，内角和是540°，可能是四边形，内角和是360°，可能是三角形，内角和是180°.
◆活动4 随堂练习
1．一个多边形的边数是12，这个多边形的内角和是 (A)
A．1 800° B．1 440°
C．1 980° D．540°
2．一个多边形的内角和等于1 080°，则从它的一个顶点出发引出的对角线条数是 (A)
A．5 B．6
C．8 D．12
3．下列角度不可能是多边形的内角和的是 (B)
A．1 260° B．960°
C．1 440° D．540°
4．若一个正多边形的每一个内角都是150°，这个正多边形的边数是__12__．
5．课本P8随堂练习T1
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探究多边形内角和定理时，运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对多边形内角和定理的理解和运用．
【作业】课本P11习题1.1中的T5、T6.
这节课的学习内容通过创设情境问题得以构建和发展，体现了新课程目标理念的开放性原则．在新课讲授过程中注意探究从三角形、四边形到多边形内角和知识的形成，最后形成规律，有利于学生对多边形内角和的理解．教师提出问题，让学生积极地展开小组讨论、探究，对比方法的异同，学生学习兴趣更加高涨，同时也提升学生的语言组织能力及表达能力．
第4课时 多边形的外角和
教师备课 素材示例
●归纳导入 问题：
(1)三角形的外角是指三角形__内角__的一边与另一边的__反向延长线__所组成的角．
(2)三角形的外角等于与它不__相邻__的两个内角的和．
(3)如图，你能计算∠DAE＋∠ECF＋∠ABF的度数和吗？
解：∠DAE＋∠ECF＋∠ABF＝∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＋∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠BAC＋∠BCA)×2＝180°×2＝360°.
【教学与建议】教学：通过创设问题情境，激发学生探究的积极性．对比三角形的外角和，归纳得出多边形的外角和定义．建议：提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述．
●悬念激趣 展示一组图片，教师做简短介绍．
苏炳添为亚洲9 s关口第一人，是继刘翔之后中国田径赛场上的新纪录．
运动会上，你们在学校的跑道上尽情挥洒汗水，你们奋力拼搏的精神令人感动！
习惯了学校里的环形跑道，绕着这个多边形跑道(如图)跑步，你会有什么样的感觉？今天我们要探究的内容就和这些“多边形跑道”有关，让我们一起尽情体验吧！
【教学与建议】教学：借助热点人物引发学生共鸣，由学校操场环形跑道引出“多边形跑道”，导入课题．建议：先展示中国田径赛场新标志苏炳添的图片，紧接着展示学校跑道和比赛的相关图片，导入多边形的外角及外角和．
命题角度1 已知外角求正多边形边数
求正多边形边数，可利用外角和360°，用外角和除以一个外角的度数即可求出边数．
【例1】若正n边形的一个外角为36°，则n的值为__10__；若正n边形的一个外角为60°，则n的值为__6__．
命题角度2 内角和与外角和综合题
此类题目知道内角和与外角和的关系，往往通过列方程解决．
【例2】若一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__．
【例3】一个正多边形每个外角都是60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．
命题角度3 内角转化为外角
已知正多边形每个内角都相等，一般转化为外角，利用外角和定理求边数．
【例4】一个n边形变成(n＋1)边形，外角和将 (D)
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
【例5】正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n的值为__12__．
命题角度4 利用多边形内外角关系求角的度数
此类题目常用知识点有：①多边形相邻的内、外角为互补关系；②多边形外角和为360°.有时还要用到方程思想或者整体思想进行代换求角度．
【例6】如图所示的六边形花环是用六个大小和形状完全一样的直角三角形拼成的，则∠ABC的度数为__30°__．
【例7】如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于 (B)
A．90° B．180° C．120° D．270°
命题角度5 与多边形内角和及外角和有关的实际应用
解决这类题的关键是将角综合在一个或两个几何图形中，然后利用内角和公式、外角和公式求解．
【例8】将两张三角形纸片如图所示摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5的度数为__40°__．
【例9】如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后左转40°，再沿直线前进8 m后左转40°，照这样走下去，当他第一次回到出发点A时，请问：
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走的路线是正n边形．
由题意，得n＝＝9.
∴行走路线是正九边形．
(2)8×9＝72(m).
答：一共走了72 m．
高效课堂 教学设计
1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．
2．探索多边形的外角和定理，利用内角和与外角和定理解决实际问题．
▲重点
探索并掌握“多边形外角和等于360°”．
▲难点
灵活运用多边形内角和与外角和定理解决有关问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEA＝180°，
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
你的思路与小刚一样吗？与同伴交流．
想一想：如果广场的形状是六边形，八边形，那么结果会怎样？
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究】多边形的外角和定理
阅读课本P8－9，完成两个问题：
(1)多边形的外角与外角和的定义是什么？你能够找出多边形的外角吗？
(2)多边形的外角和是多少度？
【归纳】①多边形内角的一边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．
②探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
方法1：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究；
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 …
图形 …
外角和 360° 360° 360° 360° …
方法2：由n边形的内角和等于(n－2)·180°出发，探究问题．
多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
【方法指导】多边形的内角和等于(n－2)×180°，外角和是360°.
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°.
根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°，
解得n＝8.
∴这个多边形是八边形．
【例2】(1)如图①，△ABC的各边长都大于2，分别以顶点A，B，C为圆心，以1为半径画圆，则阴影部分的面积为________；
(2)如图②，将(1)中的△ABC换成四边形ABCD，其他条件不变，则阴影部分的面积为________；
(3)如图③，将四边形换成五边形，则阴影部分的面积为________；
(4)根据(1)(2)(3)中的结论，你能总结n边形的情况吗？
【方法指导】图①②③中各个阴影扇形之和正好分别构成0.5个、1个、1.5个半径是1的圆，根据圆的面积公式即可求解，然后根据规律推导出n边形的面积．
解：(1)
(2)π
(3)
(4)n边形阴影部分的面积是.
◆活动4 随堂练习
1．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是 (D)
A．十一边形 B．十二边形
C．八边形 D．九边形
2．一个多边形的内角和与外角和之比是11∶2，那么这个多边形的边数是 (A)
A．13 B．12
C．11 D．10
3．一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是__720°__．
4．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__180°__．
5．如图，小亮从点A出发前进5 m，向右转15°，再前进5 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了__120__m.
6．课本P9随堂练习T1
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探索多边形的外角和定理时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P11－12习题1.1中的T7、T8、T9、T13、T14.
本课时应以学生为主，培养学生自主探究的能力，在课前的教学设计中应尽量围绕学生，发挥学生丰富的想象力，让学生自己总结出多边形的内角和与外角和定理，让学生体会到由自己探索从而成功得出定理的喜悦．
教师引导学生分组探究，让学生充分参与到活动中，训练学生的探究能力，合作能力以及语言组织表达能力，课堂气氛热烈，效果很好．
2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形与等边三角形的性质
教师备课 素材示例
●情景导入 我们欣赏下列两个建筑物和交通标志，如图，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？
从图中我们可以看到等腰三角形及等边三角形，这一节我们继续学习等腰三角形的一些性质，并学习等边三角形的有关知识．
【教学与建议】教学：通过观察发现等腰三角形和等边三角形，激发学生学习热情，对新课的导入作好铺垫．建议：先复习等腰三角形的“等边对等角”的性质，再理解等腰三角形的特殊性质．
●操作实验 如图，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？要求学生自己动手折一折．
(1)什么是等腰三角形？
(2)用折纸的办法探究等腰三角形，你能发现它有哪些性质？
【教学与建议】教学：从学生动手剪折等腰三角形入手，借助于适当的问题引导，激发学生的学习兴趣．建议：学生先动手剪出一个等腰三角形，再利用等腰三角形是轴对称图形，折纸发现等腰三角形的性质．
命题角度1 等边对等角的应用
等边对等角是等腰三角形的一个重要性质，相等线段对应相等的角，结合三角形内角和，利用方程求出角的度数．
【例1】如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为 (A)
A．60° B．70° C．75° D．90°
【例2】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．
解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.
设∠B＝∠BAD＝x°，则∠ADC＝2x°，∴∠C＝2x°，
∴∠B＋∠C＝3x°.
∵∠BAC＝102°，∴∠B＋∠C＝78°，∴3x＝78.
∴x＝26，∴∠ADC＝52°.
命题角度2 “三线合一”的应用
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，利用这个性质解决有关等腰三角形的计算或证明题．
【例3】在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，则BC边上的高是__12__cm.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD为∠BAC的平分线．
又∵在△ABC中，AB＝AC，点E在AD上，
∴AE⊥BC.
命题角度3 利用分类讨论思想解决等腰三角形性质问题
在等腰三角形性质的运用过程中，当此类题目没有给出相应的示意图时，要进行分类讨论，常采取的方式就是通过画图找到所有符合题意的情况．
【例5】如果等腰三角形有两条边长分别为4 cm和5 cm，那么它的周长是__13_cm或14_cm__．
当等腰三角形锐角与钝角不明确时，需要讨论高在三角形外部还是内部，一般画图解决．
【例6】在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__120°或60°__．
【例7】已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF＝AC，求∠ABC的度数．
解：先证△BDF≌△ADC.当∠ABC为锐角时，如答图①，∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如答图②，∠ABC＝135°.故∠ABC的度数为45°或135°.
命题角度4 等边三角形性质的应用
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．
【例8】如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么AB的长是 (B)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【例9】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__20°__．
命题角度5 等边三角形与“手拉手”模型的综合
由于等边三角形的边角特性，当出现“手拉手”模型时，要能联想到等角转换，进而借助全等三角形的判定与性质解决问题．
【例10】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△DBC≌△EAC(SAS).∴∠DBC＝∠EAC.
又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.
高效课堂 教学设计
1．理解作为证明基础的几条公理的内容，利用公理证明一般三角形和等腰三角形的性质定理．
2．能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理的推论．
3．让学生借助等腰三角形的轴对称性探索等边三角形的性质定理．
4．熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题．
▲重点
证明等腰(等边)三角形的性质定理．
▲难点
灵活利用等腰(等边)三角形的性质解决问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：
(1)∵AB＝AC，∴∠B＝__∠C__．根据是__等边对等角__；
(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝__4__．根据是__三线合一__；
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝__20°__；
(4)若BD＝CD，则AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__.
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等腰三角形的性质
议一议：
1．什么是等腰三角形？
2．你会画等腰三角形吗？请你画一个等腰三角形并把它裁剪下来．
3．试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)．
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(等腰三角形的“三线合一”)．
4．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
方法1：如图②，取BC的中点D，连接AD，构造三角形全等(SSS).
证明：取BC的中点D，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
方法2：如图③，作∠BAC的平分线，交BC边于点D，构造三角形全等(SAS).
证明：作∠BAC的平分线，交BC边于点D.
∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角．
想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
归纳推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合，简称“三线合一”．
【探究2】等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C(等边对等角).
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B(等边对等角)，
∴∠A＝∠B＝∠C.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
【归纳】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD.
【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.
【方法指导】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，
∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.
答案：15°
◆活动4 随堂练习
1．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为 (D)
A．3 B．6 C．3 D．3
2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为__25__．
3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是__70°和40°或55°和55°__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：(1)∵DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE.
又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°.
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°.
∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°.
∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B.
∴BC＝CE＝5.
5．课本P15随堂练习T1
6．课本P15随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索等腰三角形与等边三角形的性质时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P20－21习题1.2中的T1、T2、T3、T4.
本节课为了展示重点、突破难点，把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性，以使他们比较好地掌握知识、增强学习数学的兴趣．
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
教师备课 素材示例
●情景导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(点A)为目标，然后在这棵树的正南岸点B插一小旗作标志，沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得BC的长度是50 m，就可知河流宽度是50 m.
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
【教学与建议】教学：从生活中的问题出发，激发学习的兴趣和动力．建议：要求学生独立思考，进行大胆猜测，说明理由，为学习等腰三角形的判定作好铺垫．
●置疑导入 问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”；
(2)“三线合一”．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
问题3：如果把它的条件和结论反过来，还成立吗？也就是“一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”成立吗？
【教学与建议】教学：设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔．建议：学生口答问题1，2，3.学生各抒己见，教师引导，并导入新课．
命题角度1 等腰三角形的判定
等腰三角形的证明方法主要有：(1)定义，即直接证明两边相等；(2)等角对等边．这两种方法的目的都是说明有两条线段相等．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 (C)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【例2】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝__40°__，则△ABC是等腰三角形．
命题角度2 反证法的应用
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题结论正确．
【例3】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设 (D)
A．a【例4】求证：三角形中至少有一个角不大于60°.
证明：假设△ABC中，∠A，∠B，∠C都大于60°，则∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与三角形的内角和等于180°相矛盾，
∴假设不成立．
∴三角形中至少有一个角不大于60°.
高效课堂 教学设计
1．理解并证明等腰三角形的判定定理，会解决实际问题．
2．初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题．
▲重点
等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义．
▲难点
运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
出示填空．
(1)等腰三角形的两底角__相等__．
(2)等腰三角形__顶角的平分线__、__底边上的中线__及__底边上的高__重合．
(3)等边三角形的三个内角都__相等__，并且每个内角都是__60°__．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等腰三角形的判定
已知：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.
证明一：如答图①，作顶角的平分线AD，则∠1＝∠2.
在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等).
证明二：如答图②，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ABD和△ACD中，∵∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等).
【归纳】定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称为“等角对等边”)
【探究2】反证法
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
【归纳】先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
“反证法”的一般步骤：
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，AB＝DC，BD＝CA.求证：△AED是等腰三角形．
【方法指导】要证明△AED是等腰三角形，可以通过△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE.
证明：在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC，
∴AE＝DE，∴△AED是等腰三角形．
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形．
【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，
∴∠1＝∠C.
又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.
又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
【例3】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是钝角．
【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是钝角，不妨设∠A和∠B是钝角，即∠A＞90°，∠B＞90°，
于是∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾．
因此“∠A和∠B是钝角”的假设不成立，
所以，一个三角形中不能有两个角是钝角．
◆活动4 随堂练习
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为 (B)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为 (B)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．用反证法证明结论“a，b，c至少有一个是正数”，应先假设 (B)
A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都不是正数
C．a，b，c至多有一个正数 D．a，b，c至多有两个正数
4．课本P17随堂练习T1
5．课本P18随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．你还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，掌握等腰三角形的判定以及“反证法”的运用．
【作业】课本P21习题1.2中的T6、T7.
本课时的教学要点是通过探索、证明，让学生掌握等腰三角形的判定定理和反证法的一般步骤，熟悉反证法证明的基本思路．运用反证法进行命题的证明，需多加强练习．
第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
教师备课 素材示例
●置疑导入 问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？等边三角形的三条边相等，三个角相等，每个内角都等于60°.
问题2：(1)具备什么条件的三角形是等边三角形？
(2)具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？
【教学与建议】教学：开门见山，利用问题直接导入新课．建议：提出问题，让学生自由发言，教师适当补充．
●复习导入 复习等腰三角形，提出问题：
(1)等腰三角形的定义是什么？
(2)等腰三角形的性质中“三线合一”指哪三线？试着画出来．
(3)等边三角形的“三线合一”中的线有几条，每条都能把三角形分成两个具有什么特征的三角形，分成的三角形的边有何关系？
【教学与建议】教学：采用“复习旧知识，诱导新内容”导入课题．建议：学生口答后教师总结等腰三角形和等边三角形的性质．
命题角度1 等边三角形的判定
三条边相等的三角形，三个角都是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形均是等边三角形，根据题意灵活运用．
【例1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__①②③④__．(填序号)
【例2】如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形．
证明：∵OA＝OB，∠A＝60°，
∴∠B＝∠A＝60°.
又∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，
∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
命题角度2 含30°角的直角三角形的应用
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，主要用于解决直角三角形中的计算和证明问题．
【例3】如图，∠B＝90°，AB＝6 cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝__12__cm.
【例4】如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为__26__s.
命题角度3 等腰三角形性质与30°角定理的综合应用
把等腰三角形的性质(“等边对等角”、“三线合一”)，与30°角定理结合考查，检验学生对定理的熟练及灵活应用程度．
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为__2__．
【例6】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝20，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝4，则OM的长度为 (D)
A．3 B．4 C．6 D．8
命题角度4 等边三角形与30°角定理的综合运用
当在等边三角形中出现垂直条件时，结合等边三角形的内角为60°转化成含30°角的直角三角形，再利用其边长间的关系进行计算即可．
【例7】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝8 cm，则BD＝__4__cm，BE＝__2__cm.
【例8】如图，等边三角形ABC中，AD＝BD，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝4，则线段BE的长为__10__．
高效课堂 教学设计
1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形的性质定理及其证明．
2．能利用等边三角形的两个判定定理解决问题．
▲重点
等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
▲难点
含30°角的直角三角形的性质定理的探索与证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
欣赏几组图片(多媒体展示)：
同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．
(1)图中的三角形都是__等边__三角形．
(2)等边三角形与等腰三角形的关系是__等边三角形是特殊的等腰三角形__．
(3)等边三角形的特点是三条边相等、三个角相等、三线合一．
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？这节课让我们一起来学习等边三角形的判定定理及证明．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等边三角形的判定方法
问题1：一个三角形满足什么条件时就是等边三角形？
问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
问题3：你能证明你的结论吗？
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.
∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
方法一：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
方法二：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°.
∴∠A＝180°－60°×2＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
【归纳】等边三角形的判定定理：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
名称 性质 判定
等边三角形 三条边都相等 三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【探究2】含30°角的直角三角形的性质
问题：请同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？因此你能发现什么结论？说明理由．
发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝AB.
证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴BC＝BD＝AB.
【归纳】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.
求证：△ABC是等边三角形．
【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．
证明：∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠F.
又∵∠CDF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F.
∵DE⊥AB，
∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ABC是等腰三角形．
又∵∠F＝30°，
∴∠B＝90°－∠F＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝AC.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝AB.
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴CD＝AC.
∴CD＝AB.
◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正确的有 (D)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是 (A)
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是__5__．
4．课本P20随堂练习T1
5．课本P20随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有什么收获？
2．在探索等边三角形的判定与含30°角的直角三角形性质的过程中，你掌握了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P21－22习题1.2中的T8、T9.
本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，学生热情很高，参与积极．本节课的难点在于对30°角定理的理解及应用，让学生充分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧．解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力．
3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教师备课 素材示例
●复习导入 1.什么是勾股定理？
定理：__直角__三角形__两条直角边__的平方和等于__斜边__的平方．
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝3，c＝5，则b＝__4__．
(2)若a＝6，∠A＝30°，则b＝__6__．
(3)若a＝6，∠A＝45°，则c＝__6__．
3．下面几组数中，不能组成直角三角形的是 (B)
A．5，12，13 B．4，6，8
C．2，3， D．，4，5
【教学与建议】教学：复习旧知，激发学生的学习兴趣．建议：问题1，2口答，问题3进行小组合作讨论解决．
●悬念激趣 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
学了今天的知识，我们就能明白其中的道理了．
【教学与建议】教学：由古代埃及数学问题，创设问题情境，激发学生的学习兴趣．建议：学生思考回答后导入课题．
命题角度1 判定直角三角形
判断直角三角形的方法：(1)有一个角为直角；(2)两个锐角互余；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【例1】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 (B)
A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长分别为5，12，14
C．三边长之比为3∶4∶5 D．三角形三个内角中有两个角互余
【例2】若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为__4.8__．
命题角度2 折叠问题
理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．
【例3】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是 (D)
A．AF＝AE B．EF＝2
C．△ABE≌△AGF D．AF＝EF
【例4】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC＝__3__cm.
命题角度3 勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题，先构建直角三角形，再利用勾股定理解决问题．
【例5】如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是 (B)
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
【例6】如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为__2.9__m(结果精确到0.1)．
命题角度4 最短路程
此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．
【例7】图①所示的正方体木块的棱长为4 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为__(2＋2)__cm.
,(例7题图))Ｂ
【例8】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)
解：×(2×3)×3＝9(cm)，＝＝15(cm).
∴需要爬行的最短路程是15 cm.
命题角度5 互逆命题(定理)的识别
交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．
【例9】下列说法正确的是 (A)
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
【例10】下列定理中，没有逆定理的是 (B)
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
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1．掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理．
2．了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义．
▲重点
掌握直角三角形的性质定理及判定定理、勾股定理及判定定理的证明方法、会识别互逆命题、互逆定理．
▲难点
勾股定理及其逆定理的证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
出示填空．
(1)每个命题都是由__条件__、__结论__两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__对顶角__，结论是__相等__；
(2)“对顶角相等”是__真__命题；“我们是小学生”是__假__命题；(填“真”或“假”)
(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：__如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等__；
(4)直角三角形的两个锐角__互余__；有两个角互余的三角形是__直角三角形__；
(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：__直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方__．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.
性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【探究2】勾股定理及其逆定理
问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？
问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？
性质定理2：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图①，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形．
分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：作Rt△A′B′C′(如图②)，使∠A′＝90°，
A′B′＝AB，A′C′＝AC，
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理).
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形．
【探究3】互逆命题和互逆定理
观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？
(1)
(2)
(3)
想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题．
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】若a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可能为 ( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶6
C．5∶12∶13 D．4∶6∶7
【方法指导】勾股定理逆定理的运用．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，选项C中，52＋122＝132，所以答案是C.
答案：C
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【方法指导】给出△ABC是直角三角形，同时给出两边的长，我们会想到利用勾股定理来解题，再利用面积作为桥梁，求CD的长．
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，
∴由勾股定理，得AC＝＝＝40.
又∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝24.
【例3】(1)写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题，并判断这个逆命题是真命题还是假命题；
(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题，并判断其是否是原定理的逆定理．
【方法指导】(1)该命题的条件与结论很清楚，只要将条件与结论互换即可得逆命题，然后判断其真假；(2)此定理的条件与结论都是略写的形式，要注意写出的逆命题必须是完整的，不能简单地说成“相等是对顶角”．
解：(1)逆命题：如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题．
(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．这个命题是假命题，所以它不是原定理的逆定理，即原定理没有逆定理．
◆活动4 随堂练习
1．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为__5或__cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为__144__．
3．课本P26随堂练习T1
4．课本P27随堂练习T2
5．课本P27随堂练习T3
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课你有什么收获？还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．
【作业】课本P31习题1.3中的T1、T2.
本节课学生对于命题和逆命题中题设和结论的分析把握不太准确，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导，注意学生个体差异．
第2课时 直角三角形全等的判定
教师备课 素材示例
●复习导入 出示问题：
1．前面我们学习了判定两个三角形全等的方法，方法有：SSS，SAS，ASA，AAS.
2．通过这些方法我们可以看出判定两个三角形全等时，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以确定这两个三角形全等？(附加一边相等或两边的夹角相等，可以确定这两个三角形全等．)
3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？(如图，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，△ABC与△ABD不全等．)
【教学与建议】教学：通过复习全等三角形的判定方法，利用反例对应用“边边角”判定三角形全等进行“批判”，激发学生的求知欲．建议：教师提问，留出足够的时间让学生思考并回答．
●悬念激趣 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．
【教学与建议】教学：检验两个直角三角形，因为直角边和斜边相等得到两个直角三角形全等，制造悬念，激发学生学习兴趣．建议：可让学生动手操作画图验证，培养学生的创新精神．
命题角度1 直角三角形全等的判定
在证明两直角三角形全等时，要首先想到“HL”．至于选择哪种方法证明全等，要以题目条件而定．
【例1】如图，CB⊥AE于点B，AF＝CE，BF＝BE.若AB＝6，BF＝4，则CF＝__2__．
【例2】如图，已知PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD.求证：OC＝OD.
证明：连接OP.
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).
∴OC＝OD.
命题角度2 运用“HL”定理解决问题
HL定理与其他判定定理的最大不同就是，只需找一组直角边和一组斜边相等即可．在某些时候，到底是哪组直角边对应相等需要分类讨论．
【例3】如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A同时出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__5或10__时，△ABC与△APQ全等．
【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明．
解：BF⊥AE.
证明如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
在Rt△BDC和Rt△AEC中，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠CBD＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
命题角度3 方格作图问题
在方格中作图要明确方格的特点：(1)每个小方格的边长都是1；(2)出现很多直角．可以利用勾股定理求得图形的边长．
【例5】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为 (D)
A． B． C． D．
高效课堂 教学设计
1．熟练掌握“HL”定理，并利用“HL”定理解决实际问题．
2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．
▲重点
掌握并利用“HL”定理解决问题．
▲难点
证明“斜边、直角边(HL)”定理的思路的探究和分析．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
填一填：
(1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？__SSS，SAS，ASA，AAS__
(2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．
添加__AC＝BD__，利用__SAS__证明△ACB≌△BDA；
添加__∠ABC＝∠DAB__，利用__ASA__证明△ACB≌△BDA；
添加__∠C＝∠D__，利用__AAS__证明△ACB≌△BDA.
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】做一做(小组合作完成)
如图，已知线段a，c(a
解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；
(2)在射线CM截取CB＝a；
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；
(4)连接AB，得到Rt△ABC.
【探究2】证明定理
请证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．
同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.
∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，两条长度为12 m的绳子，一端系在旗杆的同一点上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
【方法指导】根据题意可知AB＝AC，AD边共用，利用HL可证Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.
解：BD＝CD.理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴BD＝CD.
【例2】课本P30例题
◆活动4 随堂练习
1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 (A)
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是__①②③__．(填序号)
3．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
4．课本P30随堂练习T1
5．课本P30随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有哪些收获？
2．探索“HL”定理，用它解决数学问题时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加强对三角形全等的理解．
【作业】课本P31－32习题1.3中的T4、T5、T6.
本节课得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力.
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
教师备课 素材示例
●情景导入 某小区为了安全管理，准备在A，B两幢楼房之间增加一处节能灯，要求节能灯与两楼之间的距离相等，灯到A，B幢楼所在直线的垂直距离为20 m，你能确定节能灯的位置吗？
【教学与建议】教学：通过学生对生活中一个实际问题的探究，导入本节课题．建议：导入新课后，让学生体会到生活中处处充满数学，然后，回顾旧知识提出新知识．
●置疑导入 问题1：什么是线段的垂直平分线？经过某一条线段的__中点__，并且__垂直__于这条线段的__直线__是线段的垂直平分线．
问题2：如图，在幸福路的同侧有两个村庄A，B，政府部门计划在幸福路边上修建一个储水塔．为了使储水塔到两个村庄一样远，地址应选在何处？小明想到的解决方案是：连接A，B，然后作线段AB的垂直平分线与道路交于点P，点P即为所求的地址，你能解释一下他这样做的理由吗？
【教学与建议】教学：通过复习回顾垂直平分线的定义，然后利用问题自然引出新课．建议：问题1学生口答，问题2学生独立思考后小组讨论．
命题角度1 理解线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，注意分析基本图形，读透图形包含的重要信息，解决有关线段相等的问题．
【例1】如图，线段AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，则下列结论一定成立的是 (B)
A．ED＝CD B．AD＝BD C．AB＝AC D．BD＝AC
【例2】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 (C)
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
命题角度2 利用线段垂直平分线的性质求值
利用线段垂直平分线的性质，先要找准线段垂直平分线上的关键点，再看是否与线段两个端点相连，如果不相连，要把关键点与线段两端点相连，从而找出相等的线段．
【例3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为 (B)
A．8 B．11 C．16 D．17
【例4】如图，已知CD是AB的垂直平分线，AC＝4 cm，BD＝2 cm，则四边形ADBC的周长为__12_cm__．
命题角度3 线段垂直平分线的判定
证明一条直线是某线段的垂直平分线，既可以用定义证明，也可以用判定定理证明．
【例5】如图，P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则 (D)
A.点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上
【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠D.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D，
∴∠CFD＝∠A.
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A，
∴EF＝EA，
∴点E在AF的垂直平分线上．
高效课堂 教学设计
1．掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．
2．能够利用线段的垂直平分线性质定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
▲重点
垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解和应用．
▲难点
垂直平分线的性质定理及判定定理的证明和应用．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成，这节课我们将继续学习线段垂直平分线的性质．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】线段垂直平分线的性质
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
请用公理或定理求证线段垂直平分线的性质．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)，
∴PA＝PB.
【探究2】线段垂直平分线的判定
写出线段垂直平分线性质定理的逆命题，并证明．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
证明：∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，
∴AC＝BC，
即点P在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．
证明：∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA＝∠PCB.
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
即PC⊥AB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
【方法指导】线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
同理，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BEC的周长．
【方法指导】由AD＝AB，AB＝AC和AD＋AC＝24 cm，可求出AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.由BD＋BC＝20 cm得BC＝12 cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周长．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝AB.
∵AB＝AC，∴AD＝AC.
∵AD＋AC＝24 cm，
∴AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.
∵BD＋BC＝20 cm，
∴BC＝12 cm.
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).
即△BEC的周长为28 cm.
◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为 (C)
A．4 B．5 C．9 D．13
2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5，BD＝4，则AC＝__5__，CD＝__4__，AD＝__3__．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝__40°__，∠C＝__70°__，∠3＝__30°__，∠2＝__80°__；若△ABC的周长为16 cm，BC＝4 cm，则AC＝__6__cm，△BCE的周长为__10__cm.
4．课本P34随堂练习T1
5．课本P34随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有什么收获？
2．线段垂直平分线的性质定理与判定定理有哪些区别？
【教学说明】梳理本节课的知识和方法，巩固和加深对知识的理解．
【作业】课本P38习题1.4中的T4、T5.
本节课引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，先得出猜想，然后再进行证明．本节课的难点在于探究线段垂直平分线的逆定理，由于设计了小组讨论交流与教师启发引导相结合的环节，使学生能更好地掌握本节课的教学重难点．
第2课时 三角形三边的垂直平分线
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，看这些漂亮的折纸，是多么精致的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？
【教学与建议】教学：通过漂亮的折纸图片导入课题，为下一步通过折纸来验证三角形三边的垂直平分线相交于一点做好了铺垫．建议：利用折纸作品的对称性导入新课．
●置疑导入 问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议．
【教学与建议】教学：复习问题1，为本节课的学习做知识铺垫，问题2是为了引起学生的学习兴趣．建议：问题1找学生直接说出答案，问题2先让学生画出三边的垂直平分线，再小组讨论猜测平分线的性质．
命题角度1 利用三角形的三边垂直平分线的性质求角
利用三角形三边垂直平分线的性质，结合等边对等角、三角形内角和等于180°等知识，求角的度数．
【例1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝__30°__．
【例2】如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝__25°__．
命题角度2 利用三边垂直平分线的性质求线段长度
根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题．
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD∶BD＝3∶5，则CD的长为__6_cm__．
【例4】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E.若AE＝3，△ABC的周长为15，则△ABD的周长等于__9__．
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
解：DE＝BF，DE⊥BF.
理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G.
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC.
又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴△ECD≌△FCB(SAS)，
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.
∵∠CFB＋∠CBF＝90°，
∴∠CED＋∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.
命题角度3 三角形三边垂直平分线的交点
锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据．
【例6】如果三角形的两条边的垂直平分线交点在第三条边上，那么这个三角形是 (C)
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【例7】如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点位于三角形的内部，那么这个三角形是__锐角__(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．
命题角度4 三角形三边的垂直平分线的应用与作图
三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．常常利用这个定理解决一些选址问题．
【例8】如图，A，B，C三个村庄的位置成三角形，现决定在三个村庄之间修建一所学校，使学校到三个村庄的距离相等，则村庄应建在 (D)
A.△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
命题角度5 几何作图
用尺规作等腰三角形及其底边的垂线其实质都是作线段的垂直平分线．
【例9】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为__105°__．
【例10】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，线段a和h
求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，且BC边上的高AD＝h.
解：如图所示．
【例11】如图，作出△ABC的BC边上的高．(用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)
解：如图，线段AD即为所求．
高效课堂 教学设计
1．能够证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点这一命题．
2．会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的等腰三角形，提高尺规作图的技能．
3．会用尺规作“过直线外一点作已知直线的垂线”．
▲重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形．
▲难点
会用所学知识按要
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