2025-2026人教版八年级数学分层精练精析19.1二次根式及其性质（含答案）

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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
19.1二次根式及其性质
知识点1、.二次根式的概念
1．下列式子中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算：（ ）
A．25 B．35 C．45 D．55
5．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　）
A．9 B．10 C．13 D．16
6．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ．
7．当时，二次根式的值为 ．
知识点2二次根式有意义的条件
8．如果式子有意义，那么的取值范围是 ．
9．若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
10．对一切实数k，有成立，求k的最大值．
11．当 时，二次根式无意义．
12．若为实数，且，则的值为 ．
13．等式成立的的取值范围是 ．
知识点3二次根式的性质
14．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
15．化简： ．
16．对一切实数k，有成立，求k的最大值．
17．化简： ．
18．已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ．
19．已知，则的值为 ．
20．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：．
易错点：
1、.二次根式有意义的条件考虑问题不全
21．要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
错解
22．使式子有意义的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
错解：
2.、运用性质2=│a│时认为a
23．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（ ）
A． B．0 C． D．
错解：
B
24．实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：．
错解
3b-2
1．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
2．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若是整数，且是自然数，则的值是 ．
4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
5．已知，是实数，且满足，则的值为 ．
6．若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
7．已知，，，…，则 ．
8．若，化简 ．
三、解答题
9．已知二次根式，回答下列问题：
(1)当为何值时，该二次根式有意义？
(2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
10．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．
11．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：．
12．已知、满足，求的值．
．
1．已知，求的平方根.
2．解下列各题．
(1)已知，求的平方根；
(2)已知，求代数式的值．
3．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程．
(1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________．
(2)求代数式的值，其中．
4．阅读下列解题过程：
；
；
；
…
(1)__________，__________．
(2)利用这一规律计算：．
(3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）．
5．先化简，再求值：，其中．
6．已知，求的值．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
19.1二次根式及其性质（解析版）
知识点1、.二次根式的概念
1．下列式子中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数，
对于：，根指数为，不是二次根式；
对于：，被开方数，无意义，不是二次根式；
对于：，，，恒成立，是二次根式；
对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；
故选．
2．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．
结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误；
B：在中，，符合题意，故正确；
C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
3．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断．
【详解】解：A、，被开方数，符合定义；
B、，被开方数，符合定义；
C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义；
D、，被开方数，符合定义；
故选：C．
4．计算：（ ）
A．25 B．35 C．45 D．55
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可．
【详解】解：，
故选：C．
5．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　）
A．9 B．10 C．13 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案．
【详解】解:∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴；
①，即，
②，即，
③，即，
综上所述，自然数n的值可以是3，6，7，
∴自然数的所有可能取值的和为．
故选：D．
6．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ．
【答案】 0 1
【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键，
当最小时，的值最大，求出答案即可．
【详解】解：因为的值最大，
所以最小时，符合题意，
即当时，，此时的值最大，
所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1．
故答案为：0，1．
7．当时，二次根式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义．
将把代入，再化简即可．
【详解】解：把代入得：
原式；
故答案为：．
知识点2二次根式有意义的条件
8．如果式子有意义，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
9．若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，同时分母不能为零，因此需满足和，联立求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴被开方数，解得；
分母．
∴的取值范围是且．
故答案为且．
10．对一切实数k，有成立，求k的最大值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答．
【详解】解：由题意得 且 ，
解得且，
∴，
设，
则，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
11．当 时，二次根式无意义．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被开方数小于”，进而列不等式求解．
二次根式无意义的条件是被开方数小于，据此分析即可．
【详解】解：二次根式 有意义的条件是被开方数，反之，当被开方数时，二次根式无意义．
解不等式，得：
，即．
故答案为：．
12．若为实数，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键．
根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案．
【详解】解：中，，
，
解得，
则，
，
故答案为：．
13．等式成立的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘除法及二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，列出不等式，进而得出答案．
【详解】解：∵等式成立，
∴且，
解得：，
故答案为：．
知识点3二次根式的性质
14．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答．
【详解】解：由图知，，，
∴，，
∴
．
故选：A．
15．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，计算即可求解．
【详解】解：由二次根式的性质，．由于，故，因此．
故答案为：
16．对一切实数k，有成立，求k的最大值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答．
【详解】解：由题意得 且 ，
解得且，
∴，
设，
则，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
17．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，完全平方公式等知识，根据有意义，求出，然后根据完全平方公式和二次根式的性质等化简即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴原式
，
，
故答案为：．
18．已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合的范围化简绝对值，最后计算式子结果．
根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】解：由三角形三边关系，得．
，．
∴原式．
故答案为：．
19．已知，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可．
【详解】解：由 ，
移项得 ，
即 ．
， ，
， ，
解得 ，．
则 ．
故答案为：．
20．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键．
先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简．
【详解】解：由三角形的三边关系，得，
，，
原式
．
易错点：
1、.二次根式有意义的条件考虑问题不全
21．要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
错解
正解
【答案】D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得且．
故选：D．
22．使式子有意义的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
错解：
正解
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键．
根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得：．
故选B．
2.、运用性质2=│a│时认为a
23．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（ ）
A． B．0 C． D．
错解：
B
正解
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式．
【详解】解：∵ 是 的三边，
∴ ，即 ，
∴ .
又 ∵，即，
∴.
∴ 原式
.
故选：D．
24．实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：．
错解
3b-2
正解
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子的正负，再利用和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键．
先从数轴确定的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简规则去掉符号，最后合并同类项．
【详解】解：由图可知，，，
，，，
原式
．
1．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案．
【详解】解：∵a是正整数，的值是整数，
∴
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的a之和为．
2．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键．
先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果．
【详解】解：由数轴可知，，且，因此，
故，
∵，
∴ 原式
．
故选：A．
3．若是整数，且是自然数，则的值是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设（为自然数），则，整理得关于的二次方程，其判别式，需为完全平方数．令，得，因式分解后根据整数解条件求解和，再代入求根公式得的值即可解答．
【详解】解：设自然数满足（为自然数），
则，整理得，
将方程看作关于的二次方程，
其判别式需为完全平方数：，
设（为整数），
则，
因式分解得，
由于为质数，其整数因式分解为或，
故有：①， ，解得，，
②，，解得，，
③， ，解得（舍去，因为为自然数），
④，，解得（舍去，因为为自然数），
将代入原方程，解得，即或，
验证这两个解均满足原方程，
故答案为：或．
4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件．
式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答．
【详解】解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件：
①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即，
∴．
②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零，
，即 ．
综合以上，的取值范围是且．
故答案为：且．
5．已知，是实数，且满足，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可．
【详解】解：由二次根式有意义条件，
得
解得，
当时，．
∴．
故答案为：1．
6．若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据已知条件把用表示出来，再根据，再分两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵，
，
①当时，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
②当时，，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴此种情况无解，
综上可知：的值为 2 ，
故答案为：2．
7．已知，，，…，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．
仔细观察所给的式子，发现对于正整数，有，然后依据规律得到答案即可．
【详解】解：已知，，，…，
可知规律为，
当时，，
则．
故答案为：．
8．若，化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】解：原式，
，
，，
原式
．
故答案为：．
三、解答题
9．已知二次根式，回答下列问题：
(1)当为何值时，该二次根式有意义？
(2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，值为；当值为时，
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件解答即可．
（2）将代入即可求解，令时，求解即可
【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足，
解得：，
∴当时，该二次根式有意义．
（2）解：当时，则，
令时，则，
解得：．
10．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】（1） (2)
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键．
（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
（2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴原式，
，
，
．
（2）∵实数在数轴上的位置如图所示，
∴，，
∴原式，
，
．
11．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：．
【答案】，
【分析】本题考查了二次根式被开方数非负性，绝对值的非负性、分式的混合运算、二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用非负性求出a、b的值，利用分式和根式的运算进行化简，再将a、b的值代入求解即可．
【详解】解：
，
，
解得：
代入原式
．
12．已知、满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得．
【详解】解：，
，
解得，
．
1．已知，求的平方根.
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，，
∴，
则，
∴，
则的平方根为．
2．解下列各题．
(1)已知，求的平方根；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程．
（1）根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算后求平方根．
（2）由变形得，两边平方得到降幂式，代入代数式逐步化简求值．
【详解】（1）解：，
，，
，
，
，
的平方根为．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程．
(1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________．
(2)求代数式的值，其中．
【答案】(1)小亮 因式分解错误
(2)
【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法；
（2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算．
【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，
错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号．
（2）解：原式．
根据二次根式性质，已知，则，故：
代入化简：
原式．
将代入，
解得：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简．
4．阅读下列解题过程：
；
；
；
…
(1)__________，__________．
(2)利用这一规律计算：．
(3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简；
（2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积；
（3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简．
【详解】（1）解：对于：
∵，
∴．
对于：
∵，
∴．
（2）解：
．
（3）解：对被开方数通分并化简：
∵为正整数
∴，即．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算．
5．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的性质以及分式的混合运算法则是解题的关键．
先根据完全平方公式和二次根式的性质化简，再运用分式的混合运算法则化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：
∵，
∴
则原式
，
当时，
原式．
6．已知，求的值．
【答案】的值为．
【分析】本题考查了配方法，二次根式的性质，非负性的性质，代数式求值，由，配方为，然后通过非负性质求出，，，然后代入即可求解，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴的值为．
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