2025-2026人教版八年级数学分层精练精析19.2二次根式的乘法与除法（含答案）

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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
19.2二次根式的乘法与除法
知识点1 二次根式乘法法则：
1． ； ．
2．计算：＝ ．
3．计算： ．
4．若，则 ．
5．若的值是整数，则整数的值为 ．
6．计算下列各题：
(1)．
(2)．
(3)．
知识点2 二次根式乘法法则逆用
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．化简： ．
9．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
①________，________，
②________，________；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简：________，②化简：________．
10．请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________．
11．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)若，则______，______．
(2)化简：①______，②______
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
12．观察式子：，
反过来：，
∴，
仿照上面的例子：
(1)化简
①；
②；
(2)如果，且，化简．
13．阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：
①=________，=_______．
②=________，=_______．
通过计算，我们可以发现=________（a>0，b>0）．
(2)运用（1）中的结果可以得到：________，________．
(3)通过（1）（2），完成下列问题：
①化简：
②计算：+
③化简∶的结果是___________．
14．化简：
(1)；
(2)．
知识点3 二次根式的除法法则（
15．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
16．化简： ．
17．化简：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
18．化简： ．
19．化简 ．
20．先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．
21．化简：．
22．化简：
(1)；
(2)．
知识点4 二次根式除法法则的逆用（）
23．化简的结果是 ．
24．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
25．计算、化简
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)．
26．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
知识点5 最简二次根式
27．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
28．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
29．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ．
31．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ．
32．二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ．
易错点：
忽略二次根式的被开方数是非负数
33．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
错解：
B
34．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
错解：
A
35．阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
已知为实数，化简．
解：．
错解：
解法正确
36．化简：
(1)．
(2)（m，）．
错解：
（1）
=
=-12（-10）
=120
（2）
=
=3m
1．计算：
2．计算、求值：
(1)；
(2)．
3．化简：
(1)；
(2)．
4．计算：
(1)．
(2)．
5．计算：
(1)．
(2)．
6．计算：（）．
7．阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
已知为实数，化简．
解：．
8．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根．
(1)求的平方根：
(2)若，求的值．
1．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为；
(1)数对的“衍生数对”是 ；
(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；
(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由．
2．小君想到了一种证明等式成立的方法．
证明过程如下：
设，，则，．
等号左边，等号右边；
∵，，
∴，
∴等号右边，
∴等号左边等号右边，
∴等式成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程的解为________．
3．已知，满足等式，求：
(1)，的值．
(2)的值．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
19.2二次根式的乘法与除法（解析版）
知识点1 二次根式乘法法则：
1． ； ．
【答案】 6
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，利用，再运用二次根式的性质进行化简，即可作答．
【详解】解：依题意，，
，
故答案为：6，．
2．计算：＝ ．
【答案】60
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分．
【详解】原式 =
=
．
故答案为：．
3．计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，
利用根式的乘法法则，将两个平方根合并为一个平方根，然后计算被开方数的乘积，最后求算术平方根．
【详解】解：．
故答案为：2．
4．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键．
通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式．
【详解】解：，
又 ，
，
解得：，
又 ，
，
解得：，
，
故答案为：．
5．若的值是整数，则整数的值为 ．
【答案】3或12
【分析】本题考查了二次根式的乘除法及性质，分式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
将原式化简为，根据其值为整数，设该整数为，列出方程求解，要求整除12，且为正整数．
【详解】解：原式＝=
设 （为正整数），则
∴
∵为整数，
为整数，即整除
的平方因数有和
∴或
解得： （舍负） 或 （舍负）
当 时，；当 时，
经检验，均符合题意．
故答案为：或．
6．计算下列各题：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键．
（1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
知识点2 二次根式乘法法则逆用
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则化简即可．
【详解】解：，
故选：D．
8．化简： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘法法则以及根式的性质是解题的关键．本题可先将被开方数进行因数分解，然后利用二次根式的乘法法则（）进行化简计算．
【详解】解：，
故答案为：．
9．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
①________，________，
②________，________；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简：________，②化简：________．
【答案】（1）①，；②，；（2）①；②
【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
（2）利用得出的规律化简各式即可．
【详解】解：（1）①，，
②，，
故答案为：①，；②，；
（2）①，②
故答案为：①；②．
10．请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________．
【答案】(1)①，②，③．
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．
（1）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可．
（2）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可．
【详解】（1）解：①，
②，
③．
（2），
故答案为：
11．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)若，则______，______．
(2)化简：①______，②______
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)5，6
(2)①；②
(3)46或14
【分析】本题考查完全平方式的应用、二次根式的性质，理解题中运算方法是解答的关键．
（1）利用完全平方公式得到，进而可得a、b的值；
（2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可；
（3）利用完全平方公式得到，然后根据a，m，n为正整数求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：5，6；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：∵，
∴，即，
∵a，m，n为正整数，
∴或，
∴或，
故a的值为46或14．
12．观察式子：，
反过来：，
∴，
仿照上面的例子：
(1)化简
①；
②；
(2)如果，且，化简．
【答案】(1)①；②；
(2)
【分析】（1）①由，再化简即可；②由，再化简即可；
（2）由，且，可得，，，再化简即可．
【详解】（1）解：①∵，
；
②∵，
∴．
（2）∵，且，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘方运算，二次根式的化简，熟练地把二次根式化为最简二次根式是解本题的关键．
13．阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：
①=________，=_______．
②=________，=_______．
通过计算，我们可以发现=________（a>0，b>0）．
(2)运用（1）中的结果可以得到：________，________．
(3)通过（1）（2），完成下列问题：
①化简：
②计算：+
③化简∶的结果是___________．
【答案】(1)①6；6；②20；20；
(2)，；
(3)①；②；③．
【分析】（1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；根据上述算式得出一般性规律即可；
（2）根据计算即可；
（3）①利用得出的规律化简；
②利用得出的规律化简，再合并同类二次根式即可；
③利用得出的规律化简即可．
【详解】（1）①，．
②，．
（a>0，b>0）；
故答案为：①6；6；②20；20；；
（2），．
故答案为：，；
（3）①；
②；
③．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，根据材料找到规律是解本题的关键．
14．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)120
【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
知识点3 二次根式的除法法则（
15．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案．
【详解】解：；
故选：A．
16．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键．
利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解．
【详解】解：，
故答案为．
17．化简：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简；
（2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简；
（3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简．
【详解】解：（1）∵ = ，而 ，，
∴原式 = .
故答案为： .
（2），
.
故答案为：．
（3），
.
故答案为：．
18．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根．
根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
19．化简 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的除法，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】．
故答案为：．
20．先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．
【答案】答案不唯一，化简后为，当时，原式．
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，注意一定要先化简再代入求值．先根据二次根式的除法化简，再代入计算即可，注意x的值不能取0和2．
【详解】解：
x的值不能取0和2；
当时，原式．
21．化简：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式化简，二次根式除法，二次根式有意义的取值范围．根据题意利用二次根式有意义得范围得到，再利用二次根式除法计算即可．
【详解】解：要使有意义，必须且，
解得：，
所以，
，
，
，
．
22．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
知识点4 二次根式除法法则的逆用（）
23．化简的结果是 ．
【答案】
【分析】直接根据二次根式的除法法则进行化简即可得到答案．
【详解】＝＝．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解答此题的关键．
24．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．计算、化简
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)6
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的乘除混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）把化成，；
（2）根据二次根式乘法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式；
（3）根据二次根式乘法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式；
（4）根据二次根式除法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式；
（5）先把被开方数分解因式，再化简；
（6）根据商的算术平方根的性质：，进行计算，结果要化成最简二次根式；
（7）根据二次根式的除法法则进行计算；
（8）根据二次根式的乘除法法则进行计算；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：，
，
，
，
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解：
；
（8）解：
．
26．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解析：利用（，）化简即可．
答案：解：（1）．
（2）；
（3）；
（4）．
易错：（4）．
错因：没有注意a为任意实数时，．
满分备考：化简二次根式，要注意以下三点：（1）被开方数是带分数的要先化成假分数；（2）被开方数是小数（非平方数）的要先化成分数；（3）被开方数是多项式且能进行因式分解的要先进行因式分解．
知识点5 最简二次根式
27．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
28．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式；
、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；
、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式；
、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：．
29．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
30．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键．
根据同类二次根式的定义可得，即可求解．
【详解】解：，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：
31．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了同类二次根式的定义．
根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同．
【详解】解：由题意，与可以合并，
因此它们是同类二次根式，
故被开方数相等，
即，
解方程：，
移项得，
解得．
故答案为：4．
32．二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ．
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子，
【详解】解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式
故答案为：1（答案不唯一）．
易错点：
忽略二次根式的被开方数是非负数
33．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
错解：
B
正解：
【答案】A
【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0.
A、，成立，符合题意；
B、，但右边无意义，不成立，不符合题意；
C、和无意义，不成立，不符合题意；
D、，不成立，不符合题意；
故选：A.
34．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
错解：
A
正解：
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
35．阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
已知为实数，化简．
解：．
错解：
解法正确
正解：
【答案】不正确．正确的解答过程见解析
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理．
【详解】解：不正确．正确的解答过程如下：
，，
，
，
∴，
∴．
36．化简：
(1)．
(2)（m，）．
错解：
（1）
=
=-12（-10）
=120
（2）
=
=3m
正解
【答案】(1)120
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键．
可根据二次根式的乘法法则进行化简．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
= -3m．
1．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解．
【详解】解：
．
2．计算、求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则解答即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
3．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
由题意得，，
原式．
4．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算；
（2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算．
【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算：
原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算．
5．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果；
（2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：由题意得：，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键．
6．计算：（）．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
7．阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
已知为实数，化简．
解：．
【答案】不正确．正确的解答过程见解析
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理．
【详解】解：不正确．正确的解答过程如下：
，，
，
，
∴，
∴．
8．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根．
(1)求的平方根：
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义．
（1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可；
（2）把变形为，然后把代入计算即可．
【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴．
∵是8的立方根，
∴，
∴，
∴的平方根；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
1．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为；
(1)数对的“衍生数对”是 ；
(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；
(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)6
(4)，见解析
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键．
（1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和，
（2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y，
（3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算，
（4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小．
【详解】（1）解：根据定义：，，
故答案为：；
（2）解：数对的衍生数对：，，
数对的衍生数对：，，
由衍生数对相同得且，解得，
故答案为：3；
（3）解：由，得，故，
由，得，
；
（4）解：由定义得，，作差：
，
，且，，故分子，
2．小君想到了一种证明等式成立的方法．
证明过程如下：
设，，则，．
等号左边，等号右边；
∵，，
∴，
∴等号右边，
∴等号左边等号右边，
∴等式成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程的解为________．
【答案】(1)9；1；．
(2)
【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答；
（2）解法一：依据题意，由，从而，
则，故，然后整理后求解即可．
解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
联立，解得：
∴．
∴．
故答案为：9；1．
（2）解法一：∵，
∴，
∴，
∴．
∴，解得：．
经检验：是原方程的解．
解法二：设，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：．
经检验：是原方程的解．
故答案为：．
3．已知，满足等式，求：
(1)，的值．
(2)的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出关于m的不等式组，求解得到m的值，再代入等式求出n；
（2）将（1）中得到的的值代入式子，利用二次根式的乘法法则化简计算．
【详解】（1）解：由题意，得：
解得．
将代入等式，
得．
（2）解：由（1）可知，，，
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与二次根式的乘法运算，掌握二次根式的被开方数非负以确定字母取值，及二次根式的乘法法则是解题的关键．
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