2025-2026人教版八年级数学分层精练精析19.3二次根式的加法与减法（含答案）

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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
19.3二次根式的加法与减法
知识点1 被开方数相同的最简二次根式
1．若最简二次根式与可以合并，则，的值为（）
A．， B．， C．， D．，
2．下列根式不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
5．若最简二次根式与能合并，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）．
7．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ．
8．若最简二次根式与可以合并，则 ．
知识点2二次根式的加减
9．计算： ．
10．计算： ．
11． ； ．
12．计算的结果为 ．
13．计算： ．
14．计算： ．
15．计算：
16．计算：
(1)．
(2)．
17．计算：．
18．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
知识点3二次根式的混合运算
19．若，，则代数式 ．
20．计算
21．计算：
(1)；
(2)．
22．计算
(1)
(2)
23．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
24．计算（其中，）：
(1)．
(2)．
25．计算：．
26．计算：
27．计算：
(1)
(2)
28．计算：
(1)
(2)．
易错点
错用运算法则
29．数学课上，老师布置一道计算题： 小红的解答过程如下：
解：原式
请判断她的解答是否正确 若是错误的，请你写出正确的解答过程．
错解：
正确
2．小明计算时，想起分配律，解答的过程如下：
解：原式．
他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．
错解
正确
1．计算：
(1)；
(2)；
2．计算：
3．已知实数m，n满足．
(1)求的平方根．
(2)求的值．
4．计算：
(1)；
(2)
5．计算：
(1)
(2)
6．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
7．根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________；（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高；（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
8．计算
(1)；
(2)．
9．计算：．
10．计算：．
1．如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）．
(1)若，则甲盒子的侧面积为________；
(2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长；
(3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：）
2．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
4．阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，
∵
∴，当且仅当“”时，等号成立．
例：已知，求函数的最小值．
解∶令，则有，
得
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题．
(1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______；
(2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
19.3二次根式的加法与减法（解析版）
知识点1 被开方数相同的最简二次根式
1．若最简二次根式与可以合并，则，的值为（）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．
两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同，
∴，
解得，，
经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并．
故选D．
2．下列根式不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的化简，同类二次根式才能进行合并，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．将选项中的二次根式进行化简，根据同类二次根式才能相加减选出答案即可．
【详解】解：，
A、能与合并，故此选项不符合题意；
B、能与合并，故此选项不符合题意；
C、能与合并，故此选项不符合题意；
D、不能与合并，故此选项符合题意；
故选：D．
3．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可.
【详解】解：A、∵ ，，
，被开方数为，能与合并，不符合题意；
B、∵ ，，
，被开方数为，能与合并，不符合题意；
C、∵ ，，
，不是二次根式，不能与合并，符合题意；
D、∵ ，，
，被开方数为，能与合并，不符合题意；
故选：C．
4．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出．
【详解】解：∵，
∴其被开方数为2，
∵与可进行加减运算，
∴它们为同类二次根式，故化简后被开方数也应为2，
又∵为最简二次根式，
∴，
解得：．
故选：B．
5．若最简二次根式与能合并，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵最简二次根式与能合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故选：A．
6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）．
【答案】②⑤
【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可．
【详解】解：=，被开方数为；
①=，被开方数为，可合并；
②=，被开方数为，不可合并；
③==，被开方数为，可合并；
④，被开方数为，可合并；
⑤=，被开方数为，不可合并．
故答案为：②⑤．
7．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解．
先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与 的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解．
【详解】解：．
∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到，
∴ 是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有：
．
故答案为：．
8．若最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解二元一次方程组，掌握最简二次根式的定义，同类二次根式的定义是解题的关键．
由于两个根式都是最简二次根式且可以合并，因此它们的根指数相同且被开方数相等，列方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得
解得
∴．
故答案为：．
知识点2二次根式的加减
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的减法．
根据运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可．
【详解】解：．
故答案为：
11． ； ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算.
【详解】解：，
.
故答案为 ；.
12．计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式．
先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
13．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式．
先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果．
【详解】解：原式
．
故答案为 ：．
14．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式．
先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果．
【详解】解：，
，
，
∴原式 .
故答案为：．
15．计算：
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先证明，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：∵式子和有意义，且，
∴，
∴
．
16．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的性质，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
17．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式．
先分母有理化，化简二次根式，再进行加减计算．
【详解】解：
．
18．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式是解题的关键．
（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）把所有二次根式化为最简形式，去括号后合并同类二次根式；
（3）先化简绝对值，再将二次根式化为最简，去括号后合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
知识点3二次根式的混合运算
19．若，，则代数式 ．
【答案】/
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．可先求出，，的值，然后用平方差公式将所求代数式进行变形，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故答案为．
20．计算
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先结合二次根式的性质化简，再运算乘除法，即可作答．
【详解】解：
．
21．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算乘法公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可；
（2）先去绝对值和利用平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)19
【分析】本题主要考查了分式的加减运算、完全平方公式、二次根式的加法运算、二次根式的乘法运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先求出，再根据分式的加法运算可得，然后将代入计算即可；
（2）利用完全平方公式可得，然后将代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）解：
．
24．计算（其中，）：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确化简．
（1）根据二次根式的运算法则化简计算即可；
（2）根据二次根式的运算法则化简计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
故答案为：．
25．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘除，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
26．计算：
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用平方差公式，完全平方公式，二次根式的性质进行计算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
27．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)3
(2)1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的性质和平方差公式化简，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
28．计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可；
（2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
易错点
错用运算法则
29．数学课上，老师布置一道计算题： 小红的解答过程如下：
解：原式
请判断她的解答是否正确 若是错误的，请你写出正确的解答过程．
错解：
正确
正解
【答案】她的解答是错误的，正确的解答见解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可解答．
【详解】解：她的解答是错误的，正确的解答如下：
．
2．小明计算时，想起分配律，解答的过程如下：
解：原式．
他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．
错解
正确
正解
【答案】不正确，正确的解答见解析
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
除法没有分配律，所以小明的解法错误；把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算．
【详解】解：他的解法不正确，正确解答过程为：
原式
．
1．计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2）先运用分配律进行计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
2．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号，合并同类二次根式即可．
【详解】解：
3．已知实数m，n满足．
(1)求的平方根．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根、二次根式的性质及化简求值，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质及其运算法则．
（1）先由二次根式有意义的条件可得，解得．再代入得，最后求其平方根即可；
（2）将代入进行化简求值即可．
【详解】（1）解：要使有意义，则，
解得．
将代入得，
则，
因为，
所以的平方根是；
（2）解：将代入得：
．
4．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式的除法，再合并即可；
（2）利用完全平方公式、二次根式的乘法法则化简，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
5．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式与完全平方公式，掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差和完全平方公式计算，再进行加减运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)18
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可；
（2）原式根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并即可；
（3）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可；
（4）原式先化简二次根式，再合并即可；
（5）原式先化简二次根式，再合并即可；
（6）原式根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
7．根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________；（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高；（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式．
（1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解；
（2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可；
（3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可．
【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为
团扇面积为，
∴，
解得（舍负）
故答案为：9．
（2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装
∴可设长为，高为，
∵，
解得（舍负），
∴该长方体盒子的长为，高为；
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
8．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据算术平方根和立方根的定义、二次根式的性质分别化简，再相加减即可；
（）利用二次根式的性质对分子进行化简，同时利用乘法分配律去括号，然后进行除法运算，最后进行加减运算即可；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
9．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
10．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简各二次根式，然后进行乘除运算，最后合并同类二次根式．
【详解】解：原式
．
1．如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）．
(1)若，则甲盒子的侧面积为________；
(2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长；
(3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：）
【答案】(1)
(2)
(3)甲的侧面积更小，理由见解析
【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键．
（1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解；
（2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解；
（3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解．
【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同，
∴甲、乙底面积相同．
∴．
∴，
∴甲盒子的侧面积为：，
故答案为： ；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵甲，乙两个盒子侧面积和为，
∴，
又，
∴．
∴．
（3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．
∴
∵（）
∴
又
∴
∴，即
∴当时，甲的侧面积更小，
2．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
(2)花坛的绿化面积变成平方米．
【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简．
（1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解；
（2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米，
花坛的边长为米．
所以周长一共是：（米）
答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
（2）解：新喷水池的边长为米，
新喷水池的面积为（平方米），
花坛的绿化面积变成（平方米），
答：花坛的绿化面积变成平方米．
3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数．
（1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算；
（2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小；
（3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
，
；
（3）解：
．
4．阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，
∵
∴，当且仅当“”时，等号成立．
例：已知，求函数的最小值．
解∶令，则有，
得
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题．
(1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______；
(2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值．
【答案】(1)6，4
(2)
(3)100
【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示得到，设，由此即可求解；
（2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解；
（3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解．
【详解】（1）解：函数，
令，
∴，
∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6，
设，
当且仅当，即时，的最小值是4，
故答案为：6，．
（2）解：∵，
又∵，
当且仅当时，有最小值，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴此时有最大值，最大值为：；
∴当时，函数取到最大值，最大值为．
（3）解：设，则，
∵，
∴，
∴；
当且仅当时，；
此时，，
故．
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