2025-2026人教版八年级数学分层精练精析章末复习（一）二次根式（含答案）

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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（一）二次根式
考点1二次根式的概念及性质
1．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B．0 C．3 D．6
2．化简的值为（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
3．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是整数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．化简： ．
6．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ．
7．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
8．代数式的最小值为 ．
9．已知a、b是等腰的两边，且满足．
(1)求的算术平方根；
(2)求等腰的周长．
10．已知：的平方根是它本身，的立方根是的算术平方根是3．求：
(1)的平方根．
(2)c在数轴上的位置如图所示，化简：
考点2二次根式的运算
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．将化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
3．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A．7 B．21 C．5 D．6
4．计算：．
5．计算：；
6．计算：．
7．计算：．
8．计算：．
9．计算：．
10．计算：
(1)；
(2)．
11．先化简，再求值：已知，求的值．
12．已知，，求：
(1)的值．
(2)的值．
考点3二次根式的实际应用
1．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
2．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ．
3．（1）计算：
（2）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．求折断处离地面的高度（注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
4．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
5．根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________；（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高；（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
6．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号）
(2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号）
考点4二次根式中的规律问题
1．【观察思考】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简：．
2．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________；
(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________；
(3)应用运算规律：计算：的值．
3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
第5个等式_________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若（a，b均为正整数），则的值为_________．
4．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
5．小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：______（填写运算结果）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)应用运算规律．
若（均为正整数），则的值为______6．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：____________．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________．
(3)应用运算规律：
①化简：____________．
②若（均为正整数），则____________．
7．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
；
；
；
．
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．
(2)利用上面的规律，计算．
(3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程8．观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空：______＝______；
(2)利用以上规律计算：；
(3)求的值．
9．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
(1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
10．阅读下列解题过程：
，
，
，
．．．．．．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出______；
(2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3)利用上面的规律，请计算的值．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（一）二次根式（解析版）
考点1二次根式的概念及性质
1．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于，列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
∴．
选项中只有符合题意，
故选：D．
2．化简的值为（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则
，
故选：B．
3．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可．
【详解】解：由数轴可得，，，
，，
，
故选：A．
4．已知是整数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求二次根式中的参数．
根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为．
【详解】解：∵是整数，
∴是平方数，
∴，
∴，
∴实数n最大值为，
故选：A．
5．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握．
先确定，然后根据化简代数式，再化简绝对值即可．
【详解】解：
∴，
故答案为：．
6．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，即，取最小值，
此时的值最小，最小值为，
故答案为：，．
7．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
【答案】3
【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
由等腰三角形可知，第三条边为3或6，
当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去；
当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3，
综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键．
8．代数式的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
∴
，
∴的最小值为2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
9．已知a、b是等腰的两边，且满足．
(1)求的算术平方根；
(2)求等腰的周长．
【答案】(1)6
(2)11或13
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质．
（1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根；
（2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
将代入，
可得，
将，代入，
可得，
∴36的算术平方根是6，
即的算术平方根是6．
（2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3，
∵，，
∴能构成三角形，
此时周长为，
当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5，
∵，，
∴能构成三角形，
此时周长为，
∴等腰的周长为11或13．
10．已知：的平方根是它本身，的立方根是的算术平方根是3．求：
(1)的平方根．
(2)c在数轴上的位置如图所示，化简：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，整式的加减运算，实数与数轴等知识点．
（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义求解，再代入求值即可；
（2）先由数轴可得，则，再根据算术平方根、立方根的定义化简求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
，
，
∴其平方根为；
（2）解：由数轴可知
∵
∴
原式
由（1）知，
∴原式
考点2二次根式的运算
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简．
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，被开方数中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式；
C、，可化简，不是最简二次根式；
D、，可化简，不是最简二次根式．
故选：B．
2．将化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，利用二次根式的性质化简根式，并通过分母有理化得到最简形式即可.
【详解】解：；
故选A.
3．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A．7 B．21 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析．
先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值．
【详解】解：，其被开方数为2．
∵最简二次根式与可以合并，
∴，则
故选：C．
4．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
5．计算：；
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键．先将除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
6．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可．
【详解】解：原式
．
7．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
8．计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．
先计算完全平方公式，二次根式的乘法，立方根，最后计算加减法．
【详解】解：原式
．
9．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简各二次根式，然后进行乘除运算，最后合并同类二次根式．
【详解】解：原式
．
10．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题方法是关键．
（1）根据二次根式混合运算的法则，计算即可解答；
（2）根据二次根式的混合运算法则运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
11．先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可．
【详解】解：，
∴，
，
把代入，原式．
12．已知，，求：
(1)的值．
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算．
（1）将字母的值代入，即可求解．
（2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
考点3二次根式的实际应用
1．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可．
【详解】解：中间正方形纸片的面积为，
中间正方形的边长为，
最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．
故选：D．
2．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ．
【答案】60
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积．
【详解】解：∵长方形的长为，面积为，
∴长方形的宽为，
∵，，，
∴，
∴正方形的最大边长为长方形的宽，
∴正方形的最大面积为．
故答案为：60．
3．（1）计算：
（2）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．求折断处离地面的高度（注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
【答案】（1）2；（2）折断处离地面的高度为4.55尺
【分析】（1）对二次根式依次化简，再根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【点睛】本题考查二次根式的化简和乘除混合运算，勾股定理的运用．
4．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
(2)花坛的绿化面积变成平方米．
【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简．
（1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解；
（2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米，
花坛的边长为米．
所以周长一共是：（米）
答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
（2）解：新喷水池的边长为米，
新喷水池的面积为（平方米），
花坛的绿化面积变成（平方米），
答：花坛的绿化面积变成平方米．
5．根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________；（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高；（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式．
（1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解；
（2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可；
（3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可．
【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为
团扇面积为，
∴，
解得（舍负）
故答案为：9．
（2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装
∴可设长为，高为，
∵，
解得（舍负），
∴该长方体盒子的长为，高为；
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
6．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号）
(2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号）
【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米
(2)购买装饰画大约需要花费元
【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可；
（2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求．
【详解】（1）解：由题得，
（米），
答：该长方形的文化长廊区域的周长为米；
（2）解：由题意得，其余区域的面积为
平方米，
∴总花费为元，
答：购买装饰画大约需要花费元．
考点4二次根式中的规律问题
1．【观察思考】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简：．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可；
②利用前面规律写出第个等式，
（2）根据二次根式的性质证明即可；
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①
故答案为：．
②
故答案为：．
（2）证明：等式左边
又，
右边，
等式成立
（3）原式
2．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________；
(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________；
(3)应用运算规律：计算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)22
【分析】本题考查了二次根式的规律探索，二次根式的加减运算，分母有理化等知识，得到规律是解题的关键．
（1）根据前面3个等式的规律，可写出第4个等式；
（2）根据规律即可得出第n个等式；
（3）根据规律，利用二次根式的加减计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由前面规律得：；
故答案为：；
（3）解：
．
3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
第5个等式_________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若（a，b均为正整数），则的值为_________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
故答案为：；
（3）证明：
；
（4）解：根据和，得
，
解得，
∴，
故答案为：．
4．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
（1）根据前个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：等式④：；
（2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，
证明如下：等式左边右边；
（3）解：∵（均为正整数），
∴，，
∴
．
5．小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：______（填写运算结果）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)应用运算规律．
若（均为正整数），则的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．
（1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可；
（2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可；
（3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可．
【详解】（1）解：特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：，
故答案为：；
（2）解：特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：，
，
特例n：，
故答案为：；
（3）解：由可知：，
均为正整数，
，，
，
故答案为：．
6．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：____________．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________．
(3)应用运算规律：
①化简：____________．
②若（均为正整数），则____________．
【答案】(1)
(2)（为正整数）
(3)①；②22
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键．
（1）观察特例可得结论；
（2）观察特例与结果间及数字间关系得结论；
（3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论；
②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果．
【详解】（1）解：．
故答案为：；
（2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为，
（3）解: ①
；
②∵(a，b均为正整数)，
∴，，
解得，，
∴．
7．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
；
；
；
．
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．
(2)利用上面的规律，计算．
(3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程
【答案】(1)
(2)9
(3)，过程见解析
【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可；
（2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可；
（3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可．
【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：设，，
则，
，
，
，
即，
8．观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空：______＝______；
(2)利用以上规律计算：；
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算，
（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴，
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：
．
9．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
(1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可；
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，
（3）解：
．
10．阅读下列解题过程：
，
，
，
．．．．．．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出______；
(2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3)利用上面的规律，请计算的值．
【答案】(1)29
(2)
(3)2025
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，乘法公式的应用，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键．
（1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可；
（2）根据运算规律结合乘法公式即可求解；
（3）利用（2）的结论，再运用乘法公式即可求解．
【详解】（1）解：．
故答案为：29．
（2）解：由题意得
．
∴上述各式子的变形规律为．
（3）解：原式
．
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