2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的应用举例（含解析）

6.4.1平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
一．选择题
1． 在平面四边形ABCD中，＝(－2，3)，＝(6，4)，则该四边形的面积为(　　)
A． B．2
C．13 D．26
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
3．一艘船从河岸边出发向河对岸航行．已知船的速度v1＝(m，8)，水流速度v2＝(6，0)，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为(　　)
A．5 B．10
C．8 D．6
4．(多选题)在日常生活中，我们会看到如图所示的情景，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，下列结论中正确的是(　　)
A．θ越小越省力，θ越大越费力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
5.某人在高为h m的地方水平抛出一石块，速度为v，则石块的水平位移的大小是(　　)
A．v B．|v|
C．v D．|v|
6．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
7．(2024·福建厦门)平面上的三个力F1，F2，F3作用于同一点，且处于平衡状态．已知F1＝(1,0)，|F2|＝2，〈F1，F2〉＝120°，则|F3|＝( )
A． B．1
C． D．2
二．填空题
8．在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAC＝120°，AB＝3，AD＝，则AC的值为________.
9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，＝2，＝，CN与BM交于点P，则cos∠BPN的值为________.
10．如图，在倾斜角为37°(sin 37°的值取0.6)、高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力对物体m所做的功为________J.(g取9.8 m/s2)
11．在△ABC中，已知(＋)·＝0，＝，则此三角形为________.
三．解答题
12．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD．
13．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，点D在BC上，且BD＝2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于点O.
(1)求线段AD，BE的长；
(2)求∠EOD的余弦值．
6.4.1平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
一．选择题
1． C　解析：因为·＝－12＋12＝0，所以AC⊥BD，所以四边形ABCD面积为||·||＝××＝13.故选C．
2．D　解析：由＋＝0，可得＝，即AB綉CD，则四边形ABCD为平行四边形．又由·＝0，可得AC⊥BD，则 ABCD为菱形．故选D．
3．B　解析：如图所示．
A1是河对岸一点，且AA1与河岸垂直，那么当这艘船实际沿AA1的方向行驶时，航程最短，此时，|v|＝||＝8，|v2|＝||＝6，|v1|＝||＝＝10，所以当航程最短时船实际航行的速度大小为10.故选B．
4．AC　解析：对于A，根据题意，得|G|＝|F1＋F2|，
所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|×|F2|×cos θ＝2|F1|2(1＋cos θ)，
解得|F1|2＝，因为θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，
所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A正确；
对于B，由题意知θ的取值范围是(0，π)，故B错误；
对于C，因为|F1|2＝，所以当θ＝时，|F1|2＝|G|2，
所以|F1|＝|G|，故C正确；
对于D，因为|F1|2＝，所以当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故D错误．
故选AC．
5.B　解析：设石子的落地时间为t，则gt2＝h，解得t＝，所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小|s|＝|v|t＝|v|.故选B．
6．B　解析：因为⊙O的半径为1，＝2，所以 ||＝.又＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－.故选B．
7．[解析]　由已知，可得F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)．
因为F1＝(1,0)，所以|F1|＝1，
所以F1·F2＝|F1|·|F2|cos 〈F1，F2〉＝1×2×＝－1，
所以|F3|2＝F32＝(F1＋F2)2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝1＋4－2＝3，
所以|F3|＝.
故选C．
二．填空题
8． 5　解析：如图所示，由题意可得＝(＋)，则2＝(2＋2＋2·)＝，
即＋AC2－AC＝，解得AC＝5(负值已舍去)．
9． 　解析：由题意，以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，N(0，1)，C(3，0)，M(2，0)，
所以＝(－3，1)，＝(－2，2)，
所以cos∠BPN＝＝＝.
10．0　98　解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
11．等边三角形　解析：如图所示．
设M为AC的中点，则(＋)·＝2·＝0，所以⊥，即△ABC为等腰三角形．又＝，所以2＝3，即2＋2＋2·＝2＋2cos A＝3，所以cos A＝，可得A＝60°.综上可知三角形为等边三角形．
三．解答题
12．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD．
13．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，点D在BC上，且BD＝2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于点O.
(1)求线段AD，BE的长；
(2)求∠EOD的余弦值．
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