2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：6.4.3.1余弦定理（含解析）

6.4.3.1余弦定理
一．选择题
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B＝(　　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝bc，则角A为(　　)
A． B．
C． D．
4．(多选题)在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则(　　)
A．△ABC为锐角三角形
B．A＝30°
C．cos B＝
D．·＝5
5．(多选题)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
6．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝a－1＝b－2，且cos A＝，则△ABC的面积为(　　)
A．5 B．6
C．10 D．12
7．(多选题)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝－ab，且2bcos A＝c，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．在钝角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(2，)
C．(，2) D．(，3)
二．填空题
9．在△ABC中，已知a＝，b＝2，c＝＋1，则A＝________.
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状是________.
11．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________，cos∠MAC＝________.
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是________.
三．解答题
13．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4a2＝bccos A＋accos B．
(1)求的值；
(2)若a＝1，cos B＝，D是AC的中点，求BD的长．
6.4.3.1余弦定理
一．选择题
1．B　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，将 A＝，a＝，b＝1代入，得3＝12＋c2－2ccos ，则有c2－c－2＝0，且c>0，解得c＝2.故选B．
2．B　解析：因为b2＝ac，c＝2a，所以b2＝2a2，
所以cos B＝＝＝.故选B．
3．B　解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.故选B．
4．AC　解析：由题设可知，三角形最大角的余弦值cos B＝＝，所以△ABC为锐角三角形，故A，C正确；又因为cos A＝＝，所以A＝60°，故B错误；·＝||||cos(180°－B)＝－5，故D错误．故选AC．
5．BD　解析：由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4.又A＝30°，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，整理得c2－12c＋32＝0，解得c＝4或c＝8.故选BD．
6．B　解析：因为c＝a－1＝b－2，所以a＝c＋1，b＝c＋2，所以由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，解得c＝－5(舍去)或c＝3，所以a＝4，b＝5，所以a2＋c2＝b2，所以B＝90°，所以△ABC的面积为S＝ac＝6.故选B．
7．CD　解析：因为a2＋b2－c2＝－ab，所以由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝－.
因为0又2bcos A＝c，根据余弦定理的推论得cos A＝＝，整理可得b2＝a2，即b＝a.
结合C＝，从而可知△ABC为钝角等腰三角形．故选CD．
8．D　解析：因为△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，所以由余弦定理的推论可得cos C＝<0，于是可得c2>a2＋b2＝5，且c>0，解得c>.又c二．填空题
9．60°　解析：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝.又0°＜A＜180°，所以A＝60°.
10．直角三角形　解析：在△ABC中，acos B＋acos C＝b＋c，所以a·＋a·＝b＋c.所以＝b＋c，所以a2－b2－c2＋2bc＝2bc，所以a2＝b2＋c2，则A＝，所以△ABC是直角三角形．
11． 2　　解析：在△ABM中，由余弦定理，得AM2＝AB2＋BM2－2BM·ABcos B，即(2)2＝22＋BM2－2BM·2cos 60°，化简得BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4(负值已舍去)．又点M是BC的中点，所以BC＝2BM＝8.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝22＋82－2×2×8×cos 60°＝52，
所以AC＝2(负值已舍去)．
在△AMC中，MC＝BM＝4，由余弦定理的推论，
得cos∠MAC＝＝＝＝.
12． 　解析：cos B＝＝＝＋≥.
因为0三．解答题
13．
解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝32＋c2－2×3×c×.
又因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)因为cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
在△ABC中，B＋C＝π－A，
所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝.
14．
解：(1)根据余弦定理的推论可得4a2＝bc·＋ac·，即8a2＝b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2，即4a2＝c2，
所以＝.
(2)由(1)可知＝，所以c＝2.
因为D是AC的中点，所以＝＋，
则||2＝2＋2＋·＝×22＋×12＋×2×1×＝2，
所以BD＝.
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