苏科版数学八下第九章 因式分解（提升卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知多项式可因式分解为，则的值为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2024八下·龙岗期中）课堂练习中，王莉同学做了如下4道因式分解题，你认为王莉做得不够完整的一道是( )
A． B．
C． D．
3．（2021八下·临漳期末）下列因式分解正确的有几个（ ）
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸+y+=
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020八下·乐山期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·深圳期末）已知，，则多项式的值为（ ）
A．30 B．11 C．1 D．
6．（2023八下·薛城期末）把因式分解的结果应为（ ）
A． B．
C． D．
7．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（ ）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
8．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.2.3因式分解法 同步练习）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
10．（2026八上·越秀月考）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取x=22，y=26，则有y=26，x-3=19，x+3=25，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（ ）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2023八下·贵溪期末）已知，，则代数式的值是 ．
12． 计算： .
13． 已知m≠n，若 则A B.（填“>”“<”或“=”）
14．（2026八上·海珠期末） 若 则 的值为 .
15．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ．
16．某串联电路中电流I（单位：A）、电阻 R1，R2，R3（单位：Ω）、时间t（单位：s）与热量 Q（单位：J）有下列关系： 如图，当I 24.9Ω，t=3s 时，电流流经电阻所产生的热量 Q 为 J.
17．（2025·浙江竞赛）已知正整数a，b，c，d满足：，，，则这样的4元数组（a，b，c，d）共有 组。
18．（2025八上·东坡期中） 已知a＝2025x+2024，b＝2025x+2025，c＝2025x+2026，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是 .
三、解答题（共8题，共90分）
19．（2026八上·安州期末）把下列各式因式分解：
（1）
（2） .
20．（广西贵港市港南区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 ）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
21．（2024八下·宁江开学考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
22．有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 请利用分组分解法解决下列问题：
（1）分解因式： .
（2）已知a，b，c分别是 的三边长，若 试判断 的形状，并说明理由.
23．（2018八上·大连期末）
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝ ，16x2+24x+9＝ ，9x2﹣12x+4＝
（2）观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系.
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值.
24．（2023八下·秦都期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：
①用配方法分解因式：．
解：原式：
②，利用配方法求M的最小值．
解：
∴当时，M有最小值4．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解；
（2）若，求M的最小值．
25．（2024八下·保定期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：
．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为 ，将此多项式分解因式为 ．
（4）有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 ．
26．（2024八下·禅城期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ；
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： ．
（5）【解决问题】分解因式：a3﹣8＝ ，a3+b3＝ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
，
多项式可因式分解为，
，，
，
故选：A．
【分析】先用整式乘法将 计算出来为，再将它与多项式 逐项比对，于是可知，，解得。
2．【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、∵，分解不彻底还可以继续分解，∴A符合题意；
B、∵，正确，∴B不符合题意；
C、∵，正确，∴C不符合题意；
D、∵，正确，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），符合题意；
（2），右边不是因式的乘积的形式，不符合题意；
（3），不符合题意；
（4），是整式乘法，不符合题意；
（5）+y+=，符合题意；
故正确的有（1）（5），有2个．
故答案为：B．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可求解。
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
5．【答案】A
【知识点】公因式的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵， ，
∴
故答案为：A.
【分析】多项式先提公因式ab，将 ，代入进行计算，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)必然是三个相邻的自然数相乘，最少存在一个偶数，一个3的倍数，所以一定能被6整除。
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
9．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
10．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；有理数混合运算法则（含乘方）；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：a4 16b4＝（a2 4b2）（a2＋4b2）＝（a 2b）（a＋2b）（a2＋4b2），
∵a，b分别取正整数，
∴a 2b＜a＋2b＜a2＋4b2，
∴a 2b＝4，a＋2b＝8，
解得a＝6，b＝1，
∴a2＋4b2＝40，
∴该多项式生成的密码为4084，
故答案为：B．
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再求出因式码即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-8．
【分析】先将代数式因式分解，然后整体代入即可求解．
12．【答案】4090
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：原式=(2025+2024)×(2025-2024)=4049×1=4049.
故答案为：4090.
【分析】本题利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），将原式进行变形，计算即可得出答案。
13．【答案】>
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-比较大小
【解析】【解答】解：
0，
即A-B>0，
∴A>B.
故答案为：>.
【分析】本题比较A和B的大小，可以采用作差法，然后进行同类项合并，最后利用完全平方公式化简为（m-n）2，此时判断（m-n）2的正负性即可比较出大小。
14．【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=1+a（1+a+a2+a3+a4）+a6（1+a+a2+a3+a4）+......+a2021（1+a+a2+a3+a4）
=1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4）
=1.
故答案为：1.
【分析】把原式变形为1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4），根据即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为，
∴在中，是正确的，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值代入原多项式进行因式分解.
16．【答案】108
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：由题意得，
将 代入，
得 +42.4+24.9)=0.36×3×100=108(J).
故答案为：108.
【分析】本题首先对提取公因数I2t，然后将 代入计算即可得出答案。
17．【答案】504
【知识点】解一元一次不等式组；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵ ，且a， b，c，d 是正整数，
所以a+3≤b+2≤c+1≤d.
所以 (b-a)(b+a)≥(d+c)+(b+a).
因此d-c=1，b-a=1，即d=c+1，b=a+1.
所以a+b+c+d=a+(a+1)+c+(c+1)=2022，因此a+c=1010.又a+2≤c，
所以1010=a+c≥a+(a+2)，因此1≤a≤504.
所以符合条件的4元数组(a、b、c、d)为(a、a+1、1010-a、1011-a)，其中1≤a≤504.
所以符合条件的4元数组有504组.
故答案为：504.
【分析】根据题意得到2022=(d-c)(d+c)+(b-a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022，则d-c=1，b-a=1，代入a+b+c+d=2022得a+c=1010，又根据a+2≤c，得到1≤a≤504，求出正整数a的整数解的的个数解答即可.
18．【答案】3
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
故填：3
【分析】通过将整体扩大2倍又缩小2倍的方式，可以将原式分组凑成三个完全平方，再代入求值即可。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
(2)先提取公因式(x-y)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
20．【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
21．【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设，
则原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）写出是两个数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，．
故答案为：否，
【分析】本题考查因式分解的应用．
（1）式子可写成：，再根据完全平方公式的特点可选出选项；
（2）根据完全平方公式的特点可知：，据此可知分解不彻底，再利用积的乘方可分解出因式；
（3）先设，进行换元后括号展开，再利用完全平方公式可得，再换回原来的式子，再次利用完全平方公式可分解出因式．
22．【答案】（1）(2x-y+2)(2x-y-2)
（2）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
即
∴(a-c)(a-c+b)=0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a-c+b>0，
∴a-c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：(2x-y+2)(2x-y-2)
【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，平方差公式将等号坐标进行因式分解，根据三角形三边关系可得a-c+b>0，则a-c=0，即a=c，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）（x+2）2；（4x+3）2；（3x﹣2）2
（2）解：①b2=4ac，
故答案为：b2=4ac；
②∵多项式x2-2（m-3）x+（10-6m）是一个完全平方式，
∴[-2（m-3）]2=4×1×（10-6m），
m2-6m+9=10-6m
m2=1
m=±1.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）x2+4x+4=（x+2）2，16x2+24x+9=（4x+3）2，9x2-12x+4=（3x-2）2，
故答案为：（x+2）2，（4x+3）2，（3x-2）2
【分析】（1）根据完全平方公式分解即可；（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；②利用①的规律解题.
24．【答案】（1）解：
．
（2）解：
，
∴当时，M有最小值
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）通过完全平方公式将式子进行配方，再按照平方差公式进行因式分解；
（2）利用配方法将式子进行因式分解，根据一个数的非负性即可判断出最小值.
25．【答案】（1）
（2）如下图：
（3）6；=(a+b)(5a+b)
（4）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵，
∴只能因式分解为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；；
（4）解：∵拼成的正方形的边长最长，
∴拼成的正方形的面积最大，
∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，
∴满足题意的式子有，，
∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解在几何图形中的应用
（1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可列出式子；
（2）根据题意进行作图可求出图形；
（3）由于，则只能因式分解为，据此求出m的值，求出因式分解的答案；
（4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此可求出拼成的正方形的最长边长．
26．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）
＝132﹣2×46
＝77；
（3）15
（4）x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）
（5）（a﹣2）（a2+2a+4）；（a+b）（a2﹣ab+b2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
故答案为：
(3)∵
∴，，，
∴，
故答案为：.
(4)由题意可得：
故答案为：
(5)，
故答案为：；．
【分析】（1）根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和列式化简即可.
（2）利用（1）的结论直接带入计算即可.
（3）根据多项式乘多项式进行计算即可.
（4）根据立体图形的体积等于分割后所有长方体的体积和，进行列式计算即可.
（5）根据（4）的结论进行因式分解即可．
1 / 1苏科版数学八下第九章 因式分解（提升卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知多项式可因式分解为，则的值为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
，
多项式可因式分解为，
，，
，
故选：A．
【分析】先用整式乘法将 计算出来为，再将它与多项式 逐项比对，于是可知，，解得。
2．（2024八下·龙岗期中）课堂练习中，王莉同学做了如下4道因式分解题，你认为王莉做得不够完整的一道是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、∵，分解不彻底还可以继续分解，∴A符合题意；
B、∵，正确，∴B不符合题意；
C、∵，正确，∴C不符合题意；
D、∵，正确，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）分析求解即可.
3．（2021八下·临漳期末）下列因式分解正确的有几个（ ）
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸+y+=
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），符合题意；
（2），右边不是因式的乘积的形式，不符合题意；
（3），不符合题意；
（4），是整式乘法，不符合题意；
（5）+y+=，符合题意；
故正确的有（1）（5），有2个．
故答案为：B．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可求解。
4．（2020八下·乐山期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
5．（2023八下·深圳期末）已知，，则多项式的值为（ ）
A．30 B．11 C．1 D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵， ，
∴
故答案为：A.
【分析】多项式先提公因式ab，将 ，代入进行计算，即可得出答案.
6．（2023八下·薛城期末）把因式分解的结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
7．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（ ）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)必然是三个相邻的自然数相乘，最少存在一个偶数，一个3的倍数，所以一定能被6整除。
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。
8．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.2.3因式分解法 同步练习）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
10．（2026八上·越秀月考）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取x=22，y=26，则有y=26，x-3=19，x+3=25，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（ ）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；有理数混合运算法则（含乘方）；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：a4 16b4＝（a2 4b2）（a2＋4b2）＝（a 2b）（a＋2b）（a2＋4b2），
∵a，b分别取正整数，
∴a 2b＜a＋2b＜a2＋4b2，
∴a 2b＝4，a＋2b＝8，
解得a＝6，b＝1，
∴a2＋4b2＝40，
∴该多项式生成的密码为4084，
故答案为：B．
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再求出因式码即可．
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2023八下·贵溪期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-8．
【分析】先将代数式因式分解，然后整体代入即可求解．
12． 计算： .
【答案】4090
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：原式=(2025+2024)×(2025-2024)=4049×1=4049.
故答案为：4090.
【分析】本题利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），将原式进行变形，计算即可得出答案。
13． 已知m≠n，若 则A B.（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-比较大小
【解析】【解答】解：
0，
即A-B>0，
∴A>B.
故答案为：>.
【分析】本题比较A和B的大小，可以采用作差法，然后进行同类项合并，最后利用完全平方公式化简为（m-n）2，此时判断（m-n）2的正负性即可比较出大小。
14．（2026八上·海珠期末） 若 则 的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=1+a（1+a+a2+a3+a4）+a6（1+a+a2+a3+a4）+......+a2021（1+a+a2+a3+a4）
=1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4）
=1.
故答案为：1.
【分析】把原式变形为1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4），根据即可得出答案。
15．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为，
∴在中，是正确的，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值代入原多项式进行因式分解.
16．某串联电路中电流I（单位：A）、电阻 R1，R2，R3（单位：Ω）、时间t（单位：s）与热量 Q（单位：J）有下列关系： 如图，当I 24.9Ω，t=3s 时，电流流经电阻所产生的热量 Q 为 J.
【答案】108
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：由题意得，
将 代入，
得 +42.4+24.9)=0.36×3×100=108(J).
故答案为：108.
【分析】本题首先对提取公因数I2t，然后将 代入计算即可得出答案。
17．（2025·浙江竞赛）已知正整数a，b，c，d满足：，，，则这样的4元数组（a，b，c，d）共有 组。
【答案】504
【知识点】解一元一次不等式组；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵ ，且a， b，c，d 是正整数，
所以a+3≤b+2≤c+1≤d.
所以 (b-a)(b+a)≥(d+c)+(b+a).
因此d-c=1，b-a=1，即d=c+1，b=a+1.
所以a+b+c+d=a+(a+1)+c+(c+1)=2022，因此a+c=1010.又a+2≤c，
所以1010=a+c≥a+(a+2)，因此1≤a≤504.
所以符合条件的4元数组(a、b、c、d)为(a、a+1、1010-a、1011-a)，其中1≤a≤504.
所以符合条件的4元数组有504组.
故答案为：504.
【分析】根据题意得到2022=(d-c)(d+c)+(b-a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022，则d-c=1，b-a=1，代入a+b+c+d=2022得a+c=1010，又根据a+2≤c，得到1≤a≤504，求出正整数a的整数解的的个数解答即可.
18．（2025八上·东坡期中） 已知a＝2025x+2024，b＝2025x+2025，c＝2025x+2026，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是 .
【答案】3
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
故填：3
【分析】通过将整体扩大2倍又缩小2倍的方式，可以将原式分组凑成三个完全平方，再代入求值即可。
三、解答题（共8题，共90分）
19．（2026八上·安州期末）把下列各式因式分解：
（1）
（2） .
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
(2)先提取公因式(x-y)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
20．（广西贵港市港南区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 ）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
21．（2024八下·宁江开学考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设，
则原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）写出是两个数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，．
故答案为：否，
【分析】本题考查因式分解的应用．
（1）式子可写成：，再根据完全平方公式的特点可选出选项；
（2）根据完全平方公式的特点可知：，据此可知分解不彻底，再利用积的乘方可分解出因式；
（3）先设，进行换元后括号展开，再利用完全平方公式可得，再换回原来的式子，再次利用完全平方公式可分解出因式．
22．有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 请利用分组分解法解决下列问题：
（1）分解因式： .
（2）已知a，b，c分别是 的三边长，若 试判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）(2x-y+2)(2x-y-2)
（2）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
即
∴(a-c)(a-c+b)=0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a-c+b>0，
∴a-c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：(2x-y+2)(2x-y-2)
【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，平方差公式将等号坐标进行因式分解，根据三角形三边关系可得a-c+b>0，则a-c=0，即a=c，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．（2018八上·大连期末）
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝ ，16x2+24x+9＝ ，9x2﹣12x+4＝
（2）观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系.
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值.
【答案】（1）（x+2）2；（4x+3）2；（3x﹣2）2
（2）解：①b2=4ac，
故答案为：b2=4ac；
②∵多项式x2-2（m-3）x+（10-6m）是一个完全平方式，
∴[-2（m-3）]2=4×1×（10-6m），
m2-6m+9=10-6m
m2=1
m=±1.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）x2+4x+4=（x+2）2，16x2+24x+9=（4x+3）2，9x2-12x+4=（3x-2）2，
故答案为：（x+2）2，（4x+3）2，（3x-2）2
【分析】（1）根据完全平方公式分解即可；（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；②利用①的规律解题.
24．（2023八下·秦都期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：
①用配方法分解因式：．
解：原式：
②，利用配方法求M的最小值．
解：
∴当时，M有最小值4．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解；
（2）若，求M的最小值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
，
∴当时，M有最小值
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）通过完全平方公式将式子进行配方，再按照平方差公式进行因式分解；
（2）利用配方法将式子进行因式分解，根据一个数的非负性即可判断出最小值.
25．（2024八下·保定期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：
．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为 ，将此多项式分解因式为 ．
（4）有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 ．
【答案】（1）
（2）如下图：
（3）6；=(a+b)(5a+b)
（4）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵，
∴只能因式分解为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；；
（4）解：∵拼成的正方形的边长最长，
∴拼成的正方形的面积最大，
∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，
∴满足题意的式子有，，
∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解在几何图形中的应用
（1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可列出式子；
（2）根据题意进行作图可求出图形；
（3）由于，则只能因式分解为，据此求出m的值，求出因式分解的答案；
（4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此可求出拼成的正方形的最长边长．
26．（2024八下·禅城期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ；
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： ．
（5）【解决问题】分解因式：a3﹣8＝ ，a3+b3＝ ．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）
＝132﹣2×46
＝77；
（3）15
（4）x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）
（5）（a﹣2）（a2+2a+4）；（a+b）（a2﹣ab+b2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
故答案为：
(3)∵
∴，，，
∴，
故答案为：.
(4)由题意可得：
故答案为：
(5)，
故答案为：；．
【分析】（1）根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和列式化简即可.
（2）利用（1）的结论直接带入计算即可.
（3）根据多项式乘多项式进行计算即可.
（4）根据立体图形的体积等于分割后所有长方体的体积和，进行列式计算即可.
（5）根据（4）的结论进行因式分解即可．
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