苏科版数学八下第十章 分式（提升卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·江汉期末）在，，，，中，分式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2026八上·金平期末）下列分式变形正确的是（ )
A． B．
C． D．
3．（2024八下·金沙期末）已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
5．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（ ）
A．186 B．188 C．190 D．192
6．（2024八下·淮阳月考）如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
7．（2025八上·江汉期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026八上·越秀月考）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R1，R2，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为，则用R1，R2表示R，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．R=R1+R2
9．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．生产劳动情境水稻栽培试验为进一步改进水稻生产技术，提高水稻产量，农科院在一块正方形土地上进行试验，如图，小正方形是对照田，种植普通水稻；剩余部分为试验田，种植杂交水稻，已知对照田、试验田分别收获a，10a千克水稻.设试验田中杂交水稻的单位产量为 Q1，对照田中普通水稻的单位产量为Q2，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2025八上·北京市期末）有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ．
12．（2022八下·溧阳期末）若 ，则 ＝ .
13．（2024八下·射洪月考）不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是 .
14．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水mt.现改用喷灌方式，可使同样m t的水量多用5天.漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的 倍.
15．（2024八下·郸城月考）对于非零实数、，规定，若，则的值为 ．
16． 相机成像运用的成像公式是： 其中f表示相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示像到镜头的距离，若u≠f，则v= .(用含f，u的式子表示)
17．（2024八下·重庆市期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ．
18．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
三、解答题（共8题，共90分）
19．（2026八上·惠州期末）（1）化简：；
（2）解分式方程：
20．（2026八上·岷县期末）先化简 然后从-1，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a 的值代入求值.
21．（2025八下·杭州月考）数学项目化学习课上，要子牙和申公豹在讨论师父元始天尊出的一道求值问题：
已知非零实数x，y同时满足等式x2+4x=y+4，y2+4y=x+4，求的值.
申公豹：哈哈！x=y时结果为正数.
姜子牙：x，y不一定相等哦.
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当x=y时，求x的值：
（2）判断x和y之间的关系，并说明理由：
（3）的值.
22．（2025八下·深圳期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
23．（2024八下·姜堰期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．
（2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值；
（3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
24．（2024八下·泰兴月考）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
（1）分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ；
②用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
25．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
（3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
26．为了更好地调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”多元文化节的艺术活动，优秀者可以获得学校颁发的奖品，以下是该学校的奖品购买方案：
设计奖品购买方案
素材1 商店销售水杯和笔记本，已知水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240 元购买水杯的数量多6件.
素材2 学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校购买这些奖品共花费350元.
素材3 学校采购完后，商店赠送了a（a<10）张兑换券，兑换后，水杯和笔记本的数量之比为2：3.
问题解决
任务1 请求出水杯与笔记本的单价.
任务2 学校应设置优秀奖和参与奖各多少
任务3 学校的兑换方案是什么
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：是分式，不是分式，不是分式，不是分式，是分式，其中分式有，，共个，
故选：B．
【分析】根据分式的定义，对所给的式子逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】
解：
A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错，不符合题意；
C、，故C错，不符合题意；
D、，故D对，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据分式的性质：分子分母同乘或同除一个不为0的数或整式，分式的值不变，逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：给x+=3两边同时乘以x，
得x2+1=3x，
等式两边同时平方得（x2+1）2=9x2，
x4+2x2+1=9x2，
给等式两边同时减去4x2，
得x4-2x2+1=5x2，
所以==．
故答案为：B．
【分析】先给x+=3，两边同时乘以x，得x2+1=3x，再给等式两边同时平方得，x4+2x2+1=9x2，两边同时减去4x2，得x4-2x2+1=5x2，整体代入即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
6．【答案】C
【知识点】分式的化简求值；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴表示的值的点落在段③，
故选：C．
【分析】把代入分式，求出分式的值，解答即可．
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
8．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】先根据分式的加减法则计算等式的右边，即可得出R1，R2与R之间的关系．
9．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
10．【答案】A
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得 则
故答案为：A.
【分析】 结合图分析小正方形是对照田，剩余部分为试验田，试验田的面积为大正方形面积m2减去小正方形面积n2，10a千克水稻.试验田中杂交水稻的单位产量为Q1等于试验田总产量除以试验田的面积；对照田单位产量为Q2等于对照田总产量除以对照田的面积，代入用分式的除法求比值.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．
∴分式可以为，
故答案为：
【分析】
分式有意义的关键在于分母不为零。题目中要求当x≠0时，分式有意义，这就表明分母在x=0时的值为0，所以分母可以是x或者x的幂次项（比如x2等）；当分式的值为0时，需要满足分子为0，同时分母不为0。已知当x= 1时，分式的值为0，那么分子必须包含因式
(x+1)，这里我们先选取最简单的分子形式x+1，据此构建分式即可．
12．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入 ，得 ，
故答案为： .
【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入中化简即可.
13．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
14．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，漫灌方式每天的用水量为 t，
∴喷灌方式每天的用水量为 t，
∵·，
∴漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的倍.
故答案为：.
【分析】根据题意，先分别表示出漫灌方式每天的用水量和喷灌方式每天的用水量，然后作除法即可.
15．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
解得
检验：当时，，
∴是分式方程的解，
故答案为．
【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】分式的通分；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故填：
【分析】 先移项用式子表示，再通分化为同分母分式的减法，分母不变分子相减，再写成倒数的形式.
17．【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
18．【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
19．【答案】解：（1）
；
（2）
方程两边乘以得，
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解一元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）根据分式的混合运算先计算除法约分后，再计算减法，解答即可；
（2）根据分式方程的解法先方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可解答．
20．【答案】解：原式
由题意得
∴a≠-2，0，1，2，
当a=-1时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
21．【答案】（1）解：当x=y时，则 x2+4x=x+4
即：x2+3x－4=0
答： 当x=y时， x的值为1或－4；
（2）解：
得：
或
（3）解：当时，；
当时，得：
即：
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）当x=y时，直接得到关于x或y的一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可验证结论；
（2）观察两个等式的特点，可利用等式的基本性质进行作差，从而对新的等式进行变形使等号右边变为0，再利用提公因式法对等式左边分解因式，从而得到可 x和y之间的关系 ；
（3）利用（2）中的结论进行分类讨论，当x=y时计算非常简单，但当时，需要利用等式的基本性质进行求和，可先求出与的平方和，再利用完全平方公式可求出与的乘积，则所求代数式的值可求.
22．【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【知识点】解分式方程；分式方程-同解问题
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
23．【答案】（1）解：不是的“差常分式”；理由：，
不是的“差常分式”；
（2）解：由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
（3）解：由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：0，2，4，6，
所以所有符合条件的的值为0，2，4，6．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的加减法．
（1）根据新定义先计算C-D可得：，利用“差常分式”的定义可作出判断；
（2）根据新定义可得，代入E和F进行计算可列出方程：，进而可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出a+b的值；
（3）根据新定义可得；，进而可推出，再根据为整数，为整数，可列出方程的值为：或，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
24．【答案】（1）是
（2）解：设分式的等和积分式为A，则
即分式的等和积分式为.
（3）①
②解：由规律可得的等和积分式为，
与互为等和积分式
由得：
将代入，得：
解得
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解二元一次方程组；列二元一次方程
【解析】【解答】(1)解：，
分式与分式是等和积分式
故答案为：是；
(3)①解：分式的等和积分式为，理由如下：
设分式的等和积分式为M，则
．
故答案为：.
【分析】 本题围绕等和积分式这一创新定义展开，着重考查分式的混合运算以及对新定义的理解和运用能力.
(1)判断两个分式是否为 等和积分式，需要根据定义分别计算它们的和与积，然后比较两者是否相等；
(2)求一个分式的等和积分式，需要设出这个等和积分式为一个未知数，再依据 等和积分式 的定义列出方程，通过分式的运算来求解。
(3)①通过观察前面(1)(2)的计算结果，总结出分式ab 的等和积分式的规律.②利用发现的规律，写出给定分式的等和积分式，然后根据两个分式互为等和积分式的条件，列出关于m和n的方程组，最后解方程组求出m和n的值．
25．【答案】（1）
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
（3）证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据分式的加减法运算求解即可；
（2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可；
（3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可．
26．【答案】解：任务1：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元，
根据题意，得 解得x=10，
经检验x=10是原方程的解，且符合题意，
则水杯的单价为2×10=20(元)，
答：笔记本的单价为10元，水杯的单价为20元；
任务2：设设置优秀奖 m个，则设置参与奖(25-m)个，
由(1)可知笔记本的单价为10元，水杯的单价为20元，
所以20m+10(25-m)=350，
解得m=10，
则设置参与奖25-m=25-10=15(个)，
答：学校应设置10个优秀奖和15个参与奖；
任务3：设学校用p张兑换券兑换了水杯，则用(a-p)张兑换券兑换了笔记本，
由(2)可知，学校购买了10个水杯和15个笔记本，根据题意可列方程，
解得
∵a和p都是正整数，且a<10，
∴a=7，p=4.
答：学校用4张兑换券兑换了水杯，用3张兑换券兑换了笔记本.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设设置优秀奖 m个，则设置参与奖(25-m)个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设学校用p张兑换券兑换了水杯，则用(a-p)张兑换券兑换了笔记本，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1苏科版数学八下第十章 分式（提升卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·江汉期末）在，，，，中，分式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：是分式，不是分式，不是分式，不是分式，是分式，其中分式有，，共个，
故选：B．
【分析】根据分式的定义，对所给的式子逐一判断即可．
2．（2026八上·金平期末）下列分式变形正确的是（ )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】
解：
A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错，不符合题意；
C、，故C错，不符合题意；
D、，故D对，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据分式的性质：分子分母同乘或同除一个不为0的数或整式，分式的值不变，逐一判断即可解答.
3．（2024八下·金沙期末）已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：给x+=3两边同时乘以x，
得x2+1=3x，
等式两边同时平方得（x2+1）2=9x2，
x4+2x2+1=9x2，
给等式两边同时减去4x2，
得x4-2x2+1=5x2，
所以==．
故答案为：B．
【分析】先给x+=3，两边同时乘以x，得x2+1=3x，再给等式两边同时平方得，x4+2x2+1=9x2，两边同时减去4x2，得x4-2x2+1=5x2，整体代入即可得出答案。
4．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（ ）
A．186 B．188 C．190 D．192
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
6．（2024八下·淮阳月考）如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】C
【知识点】分式的化简求值；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴表示的值的点落在段③，
故选：C．
【分析】把代入分式，求出分式的值，解答即可．
7．（2025八上·江汉期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
8．（2026八上·越秀月考）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R1，R2，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为，则用R1，R2表示R，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．R=R1+R2
【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】先根据分式的加减法则计算等式的右边，即可得出R1，R2与R之间的关系．
9．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
10．生产劳动情境水稻栽培试验为进一步改进水稻生产技术，提高水稻产量，农科院在一块正方形土地上进行试验，如图，小正方形是对照田，种植普通水稻；剩余部分为试验田，种植杂交水稻，已知对照田、试验田分别收获a，10a千克水稻.设试验田中杂交水稻的单位产量为 Q1，对照田中普通水稻的单位产量为Q2，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得 则
故答案为：A.
【分析】 结合图分析小正方形是对照田，剩余部分为试验田，试验田的面积为大正方形面积m2减去小正方形面积n2，10a千克水稻.试验田中杂交水稻的单位产量为Q1等于试验田总产量除以试验田的面积；对照田单位产量为Q2等于对照田总产量除以对照田的面积，代入用分式的除法求比值.
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2025八上·北京市期末）有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．
∴分式可以为，
故答案为：
【分析】
分式有意义的关键在于分母不为零。题目中要求当x≠0时，分式有意义，这就表明分母在x=0时的值为0，所以分母可以是x或者x的幂次项（比如x2等）；当分式的值为0时，需要满足分子为0，同时分母不为0。已知当x= 1时，分式的值为0，那么分子必须包含因式
(x+1)，这里我们先选取最简单的分子形式x+1，据此构建分式即可．
12．（2022八下·溧阳期末）若 ，则 ＝ .
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入 ，得 ，
故答案为： .
【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入中化简即可.
13．（2024八下·射洪月考）不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是 .
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
14．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水mt.现改用喷灌方式，可使同样m t的水量多用5天.漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的 倍.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，漫灌方式每天的用水量为 t，
∴喷灌方式每天的用水量为 t，
∵·，
∴漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的倍.
故答案为：.
【分析】根据题意，先分别表示出漫灌方式每天的用水量和喷灌方式每天的用水量，然后作除法即可.
15．（2024八下·郸城月考）对于非零实数、，规定，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
解得
检验：当时，，
∴是分式方程的解，
故答案为．
【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.
16． 相机成像运用的成像公式是： 其中f表示相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示像到镜头的距离，若u≠f，则v= .(用含f，u的式子表示)
【答案】
【知识点】分式的通分；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故填：
【分析】 先移项用式子表示，再通分化为同分母分式的减法，分母不变分子相减，再写成倒数的形式.
17．（2024八下·重庆市期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
18．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
三、解答题（共8题，共90分）
19．（2026八上·惠州期末）（1）化简：；
（2）解分式方程：
【答案】解：（1）
；
（2）
方程两边乘以得，
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解一元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）根据分式的混合运算先计算除法约分后，再计算减法，解答即可；
（2）根据分式方程的解法先方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可解答．
20．（2026八上·岷县期末）先化简 然后从-1，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a 的值代入求值.
【答案】解：原式
由题意得
∴a≠-2，0，1，2，
当a=-1时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
21．（2025八下·杭州月考）数学项目化学习课上，要子牙和申公豹在讨论师父元始天尊出的一道求值问题：
已知非零实数x，y同时满足等式x2+4x=y+4，y2+4y=x+4，求的值.
申公豹：哈哈！x=y时结果为正数.
姜子牙：x，y不一定相等哦.
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当x=y时，求x的值：
（2）判断x和y之间的关系，并说明理由：
（3）的值.
【答案】（1）解：当x=y时，则 x2+4x=x+4
即：x2+3x－4=0
答： 当x=y时， x的值为1或－4；
（2）解：
得：
或
（3）解：当时，；
当时，得：
即：
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）当x=y时，直接得到关于x或y的一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可验证结论；
（2）观察两个等式的特点，可利用等式的基本性质进行作差，从而对新的等式进行变形使等号右边变为0，再利用提公因式法对等式左边分解因式，从而得到可 x和y之间的关系 ；
（3）利用（2）中的结论进行分类讨论，当x=y时计算非常简单，但当时，需要利用等式的基本性质进行求和，可先求出与的平方和，再利用完全平方公式可求出与的乘积，则所求代数式的值可求.
22．（2025八下·深圳期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【知识点】解分式方程；分式方程-同解问题
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
23．（2024八下·姜堰期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．
（2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值；
（3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
【答案】（1）解：不是的“差常分式”；理由：，
不是的“差常分式”；
（2）解：由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
（3）解：由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：0，2，4，6，
所以所有符合条件的的值为0，2，4，6．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的加减法．
（1）根据新定义先计算C-D可得：，利用“差常分式”的定义可作出判断；
（2）根据新定义可得，代入E和F进行计算可列出方程：，进而可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出a+b的值；
（3）根据新定义可得；，进而可推出，再根据为整数，为整数，可列出方程的值为：或，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
24．（2024八下·泰兴月考）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
（1）分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ；
②用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
【答案】（1）是
（2）解：设分式的等和积分式为A，则
即分式的等和积分式为.
（3）①
②解：由规律可得的等和积分式为，
与互为等和积分式
由得：
将代入，得：
解得
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解二元一次方程组；列二元一次方程
【解析】【解答】(1)解：，
分式与分式是等和积分式
故答案为：是；
(3)①解：分式的等和积分式为，理由如下：
设分式的等和积分式为M，则
．
故答案为：.
【分析】 本题围绕等和积分式这一创新定义展开，着重考查分式的混合运算以及对新定义的理解和运用能力.
(1)判断两个分式是否为 等和积分式，需要根据定义分别计算它们的和与积，然后比较两者是否相等；
(2)求一个分式的等和积分式，需要设出这个等和积分式为一个未知数，再依据 等和积分式 的定义列出方程，通过分式的运算来求解。
(3)①通过观察前面(1)(2)的计算结果，总结出分式ab 的等和积分式的规律.②利用发现的规律，写出给定分式的等和积分式，然后根据两个分式互为等和积分式的条件，列出关于m和n的方程组，最后解方程组求出m和n的值．
25．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
（3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
【答案】（1）
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
（3）证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据分式的加减法运算求解即可；
（2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可；
（3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可．
26．为了更好地调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”多元文化节的艺术活动，优秀者可以获得学校颁发的奖品，以下是该学校的奖品购买方案：
设计奖品购买方案
素材1 商店销售水杯和笔记本，已知水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240 元购买水杯的数量多6件.
素材2 学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校购买这些奖品共花费350元.
素材3 学校采购完后，商店赠送了a（a<10）张兑换券，兑换后，水杯和笔记本的数量之比为2：3.
问题解决
任务1 请求出水杯与笔记本的单价.
任务2 学校应设置优秀奖和参与奖各多少
任务3 学校的兑换方案是什么
【答案】解：任务1：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元，
根据题意，得 解得x=10，
经检验x=10是原方程的解，且符合题意，
则水杯的单价为2×10=20(元)，
答：笔记本的单价为10元，水杯的单价为20元；
任务2：设设置优秀奖 m个，则设置参与奖(25-m)个，
由(1)可知笔记本的单价为10元，水杯的单价为20元，
所以20m+10(25-m)=350，
解得m=10，
则设置参与奖25-m=25-10=15(个)，
答：学校应设置10个优秀奖和15个参与奖；
任务3：设学校用p张兑换券兑换了水杯，则用(a-p)张兑换券兑换了笔记本，
由(2)可知，学校购买了10个水杯和15个笔记本，根据题意可列方程，
解得
∵a和p都是正整数，且a<10，
∴a=7，p=4.
答：学校用4张兑换券兑换了水杯，用3张兑换券兑换了笔记本.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设设置优秀奖 m个，则设置参与奖(25-m)个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设学校用p张兑换券兑换了水杯，则用(a-p)张兑换券兑换了笔记本，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1
