【单元培优卷】第3单元 因数与倍数 单元高频易错培优卷-2025-2026学年五年级下册数学苏教版（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 【单元培优卷】第3单元 因数与倍数 单元高频易错培优卷-2025-2026学年五年级下册数学苏教版（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年五年级下册数学单元高频易错培优卷（苏教版）
第3单元 因数与倍数
考试时间：90分钟；试卷总分：100分；
学校： 班级： 姓名： 成绩：
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、选择题（共7分）
1．甲、乙两数的和是286，甲数的末尾是0，如果把这个0去掉，甲数和乙数相同，甲数是（ ）。
A．26 B．260 C．240
2．在2，3，5，6中，互质数有（ ）对。
A．4 B．3 C．2 D．1
3．王叔叔电脑的登录密码由六个数字组成，其中最后一个数既是奇数又是合数，这个数是（ ）。
A．2 B．3 C．9 D．4
4．若正方形的边长是奇数，则它的面积一定是（ ），它的周长一定是（ ）。
A．奇数，偶数 B．偶数，奇数 C．质数，奇数 D．无法确定
5．因为4×8=32，所以8是32的（ ）．
A．因数 B．质因数 C．倍数
6．下面哪道题的被除数不是除数的倍数。（ ）
A．80÷16 B．156÷39 C．92÷27 D．351÷27
7．12和36的最小公倍数是（ ）。
A．12 B．36 C．4
二、填空题（共21分）
8．a÷b=5，a、b是自然数，可以说 能被 整除， 是 的倍数， 是 的因数．
9．大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．那么彩灯至少有 盏．
10．从0，1，5，9中任选3个数字组成三位数，最大的三位数是 ，最小的三位数是 ，同时是2，3，5的倍数的数有 和 ．
11．王华和李明都在小提琴班学习，王华每3天去一次，李明每4天去一次，6月3日他们都去了一次，那么他们下次同去的时间是 ．
12．有一个数，用它去除36，42，正好都能整除，这个数最大是 ．
13．将某校六年级全体同学按每组4人、每组5人、每组6人分组，均多余3人，该校六年级至少有 位同学．
14．从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是25根电线杆，现在改成每隔6米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间有 根不必移动。
15．在下面计数器上至少再添上 颗珠子就能拨出3的倍数。
16．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，如果这两个数的差是54，那么这两个数的和是 。
17．a和b都是自然数，分解质因数后得到a=22×3×m，b=3×7×m，如果a和b的最小公倍数是924，那么m= ．
18．在拓展训练活动中，某个队伍分组做训练，不管是每3人一组，还是每5人一组，都剩余1人，这个队伍最少有 人。
19．一个数既是24的因数，又是4的倍数，这个数可能是 。（写三个）
三、判断题（共7分）
20．两个偶数的最大公因数可能是1． ( )
21．两个不同的非0自然数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 ( )
22．成为互质数的两个数，不一定都是质数。 ( )
23．两个数的公因数一定比这两个数都小． ( )
24．一个数的倍数是有限的，而它的因数却是无限的． ( )
25．甲数是乙数的7倍，甲数乙数的最小公倍数就是甲数． ( )
26．一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数． ( )
四、计算题（共30分）
27．我能直接写出结果。（共8分）
（1） （3） （5） （7）
（2） （4） （6） （8）
28．解方程。（共9分）
0.7x÷6＝2.8 0.9x—4＝13.1 0.82×7＋0.77x＝7.28
29．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。（共6分）
19和76 11和121 5和23
30．把下面各数分解质因数。（共6分）
18 30 56
五、解答题（共36分）
31．“六一”儿童节期间，李老师要将一根长24分米的黄彩带和一根长42分米的红彩带，剪成同样长的整分米数的短彩带，且没有剩余。
（1）每根短彩带最长是多少分米？
（2）一共可以剪成几根这样的短彩带？
32．三根铁丝的长分别是15米，18米和24米，现在把它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？
33．五（1）班学生参加跳绳比赛，进行分组．按每组6人或每组8人，都正好多1人．参加跳绳比赛的至少有多少人？
34．焰火晚会上每6秒出现一次星星图案的礼花，每10秒出现一次花朵图案的礼花．在同时看到这两种礼花后，至少还要多少秒才能再同时看到这两种礼花？
35．五（1）班学生人数不足50人，排队时，每排3人，结果多1人；每排4人，结果多3人；每排7人，结果多1人．五（1）班共有多少人．
36．体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水，把它们分别平均分给了几个训练小组，正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？
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参考答案与试题解析
1．B
【分析】由题意可知，甲数的末尾是0，如果把这个0去掉，甲数和乙数相同，那就说明甲数是乙数的10倍，已知甲、乙两数的和是286，利用和倍公式：两数和÷（倍数＋1）＝较小数，以此解答即可。
【解析】286÷（10＋1）
＝286÷11
＝26
286－26＝260
故答案为：B
【点评】解答此题的关键是利用和倍公式进行解答。需要理解当甲数的末尾是0，如果把这个0去掉，甲数和乙数相同，那么甲数就是乙数的十倍。
2．A
【分析】根据互质数的意义：只有公因数1的两个数叫做互质数，找出这四个数可组成的互质数，数数一共几组即可。
【解析】这四个数互质数有：2和3，2和5，3和5，5和6，共有4组。
故答案为：A
【点评】本题主要考查互质数的意义。
3．C
【分析】由于最后一个数既是奇数又是合数，由此即可知道最后一个数是一位数，一位数里面：1、3、5、7、9这几个数是奇数，再根据合数的判断方法：除了1和它本身之外，还有其他因数的数是合数，由此即可判断。
【解析】通过分析可知，最后一个数是1位数，即1位数里1、3、5、7、9这几个数是奇数；同时这里面只有9是合数。
故答案为：C。
【点评】本题主要考查奇数和合数的意义，熟练掌握奇数和合数的意义并灵活运用。
4．A
【解析】奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此解答。
【解析】正方形的面积＝边长×边长＝奇数×奇数＝奇数；正方形的周长＝边长×4＝奇数×偶数＝偶数。
故答案为：A
【点评】奇数和偶数的运算性质是解答此题的关键，学生应熟练掌握。
5．A
6．C
【分析】先根据整数除法的计算方法，求出各个算式的结果，再找出算式中没有余数的，这样的算式被除数就是除数的倍数。
【解析】A．80÷16＝5
B．156÷39＝4
C．92÷27＝3……11
D．351÷27＝13
故答案为：C
【点评】本题考查了整数除法的计算方法，以及因数和倍数的关系。
7．B
【解析】略
8．a，b，a，b，b，a
【解析】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．
解：因为a÷b=5，可以说a能被b整除，a是b的倍数，b是a的因数；
故答案为a，b，a，b，b，a．
【点评】此题主要考查了因数与倍数的意义，应明确因数和倍数是相互依存的概念．
9．21
【解析】试题分析：由三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三，可知：彩灯的数量是3和7的公倍数，是5的倍数加一盏，是8的倍数减3盏，要求那么彩灯至少有多少盏，从3和7的公倍数中找出被5整除余1、被8整除少3的最小的数即可．
解：3和7是互质数，它们的最小公倍数是它们乘积3×7=21，21被5整除余1，21被8整除少3，所以那么彩灯至少有21盏；
答：彩灯至少有21盏．
故答案为21．
【点评】本题主要考查能被3、5、7、8整除的数的特征，注意先求出3和7的最小公倍数，然后分析找出被5整除余1、被8整除少3数即可．
10．951 105 150 510
【分析】要使组成的数字最大，就要把最大的数字放在最高位上；要使组成的数字最小，就把最小的数字放在最高位上；同时是2，3，5的数的末位数字是0，且各个数位上数字之和是3的倍数.
【解析】最大的三位数的百位数字是9，十位数字是5，个位数字是1，最大的三位数是951；
最小的三位数的百位数字是1，十位数字是0，个位数字是5，最小的三位数是105；
同时是2，3，5的倍数的数的末位数字是0，这样的数有150，510.
故答案为951；105；150；510
11．6月15日
【解析】试题分析：先求出3和4的最小公倍数，再通过日期推算出下次同去的时间．
解：因为3×4=12，3+12=15，
所以他们下次同去的时间是6月15日．
故答案为6月15日．
【点评】考查了求两个数的最小公倍数的方法，日期和时间的推算．本题的关键是得到3和4的最小公倍数．
12．6
【解析】试题分析：由题意可知，要求的问题即求36和42的最大公约数；求几个数的最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积．
解：36=2×2×3×3；
42=2×3×7；
这个数最大为：2×3=6．
故答案为6．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；进行解答即可．
13．63
【解析】试题分析：余数都是3，则这个数是4、5、6的最小公倍数再加上3；因此得解．
解：4=2×2，
6=2×3，
所以4、5、6的最小公倍数是2×2×3×5=60，
60+3=63，
答：将某校六年级全体同学按每组4人、每组5人、每组6人分组，均多余3人，该校六年级至少有 63位同学；
故答案为63．
【点评】灵活应用求几个数的最小公倍数的方法解决同余问题．
14．3
【分析】先求出小明家到学校的距离，共有（25－1）＝24个间隔，距离＝5×24＝120米。根据题意，不需要移动的电线杆数必须是5和6的最小公倍数，先求出5和6的最小公倍数，再求出小明家到学校的距离有几个公倍数，然后再求出除两端的两根不需要移动外，中间有多少根不必移动即可。
【解析】5×（25－1）
＝5×24
＝120（米）
5和6的最小公倍数是30。
120÷30－1
＝4－1
＝3（根）
从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是25根电线杆，现在改成每隔6米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间有3根不必移动。
【点评】熟练掌握植树问题和最小公倍数的求法是解答本题的关键。
15．2
【分析】根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数相加的和能被3整数，这个数就是3的倍数；据此解答。
【解析】1＋2＋1
＝3＋1
＝4
6是3的倍数
6－4＝2
计数器上至少再添上2颗珠子就能拨出3的倍数。
【点评】本题考查3的倍数特征，根据3的倍数特征进行解答。
16．126
【分析】两个数独有的质因数的乘积是：180÷18＝10，10＝1×10＝2×5，如果是18×1＝18和18×10＝180，180－18＝162，就和这两个数的差是54相矛盾，因此这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90，再相加即可求解。
【解析】因为180÷18＝10
所以两个数独有的质因数的乘积是10
因为10＝2×5＝1×10
这两个数的差是54
所以不可能是1和10
则这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90
36＋90＝126
即这两个数的和是126。
【点评】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数＝最大公因数×两个数独有的质因数这一关系。
17．11
【解析】试题分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．
解：分解质因数a=22×3×m，
b=3×7×m，
所以2×2×3×7×m=924，
则m=11．
故答案为11．
【点评】此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
18．16
【分析】根据题意可知，如果这个队伍的总人数减去1后，能被3、5整除，也就是3、5的公倍数；先求出3和5的最小公倍数，3和5互质，则最小公倍数是它们的乘积；用最小公倍数加上1即可求出这个队伍最少的人数。据此解答。
【解析】3×5＝15
15＋1＝16（人）
这个队伍最少有16人。
【点评】本题考查了公倍数的应用，解答本题关键是理解：这个队伍的总人数减1后是3、5的公倍数。
19．4、8、12、24（任意三个即可）
【分析】一个数既是24的因数，又是4的倍数，那就先求出24的因数和24以内4的倍数，再找出共同的数即可。
【解析】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
4的倍数：4，8，12，16，20，24
满足条件的数：4，8，12，24
【点评】本题主要考查因数和倍数的找法，可以利用列举法找因数和倍数。
20．错误
【解析】试题分析：求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的乘积，因为两个偶数至少有2这个公有质因数，所以两个偶数的最大公因数不可能是1，有可能是2，据此判断．
解：因为两个偶数至少有2这个公有质因数，
所以两个偶数的最大公因数不可能是1，有可能是2；
故判断为：错误．
【点评】解决此题关键是要明确两个偶数至少有2这个公有质因数，所以判定两个偶数的最大公因数不可能是1的结论．
21．√
【分析】求两个数的最大公因数、最小公倍数，把两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数，公有质因数和各自质因数的连乘积就是最小公倍数；据此解答。
【解析】由分析可知：两数的最大公因数是共有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数和各自质因数的连乘积，所以两个不同的非0自然数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
故答案为：√
【点评】本题主要考查对最大公因数、最小公倍数的理解，解题时要明确：用分解质因数的方法求最大公因数、最小公倍数时，两数的最大公因数是共有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数和各自质因数的连乘积。
22．√
【分析】公约数只有1的两个数叫做互质数，这两个数可能都是质数，也可能都是合数，也可能是一个质数、一个合数，由此即可得出答案。
【解析】成为互质数的两个数，不一定都是质数；
例如：8和9是互质数，又都是合数；
7和9是互质数，是一个质数与一个合数；
故答案为：√
【点评】此题主要考查了互质数的意义。
23．×
【解析】试题分析：根据公因数的意义，两个（或3个）数公有的因数，叫做这两个（或3个）数的公因数．其中最大的一个就是它们的最大公因数．如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数．由此解答．
解答：解：根据分析，如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数．
因此，两个数的公因数一定比这两个数小．这种说法是错误的．
故答案为×．
【点评】此题主要考查公因数和最大公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法，关键是考虑两种特殊情况：两个是倍数关系和两个数是互质数，它们的最大公因数的求法．
24．错误
【解析】因为一个数的倍数是无限的，而它的因数却是有限的；进而得出结论．此题属于易错题，解答时应明确因数和倍数的意义，进行解答即可．
故答案为错误．
25．错误
【解析】试题分析：如果甲、乙两个数是非0自然数，如果甲数和乙数成倍数关系，那么它们的最小公倍数是较大的那个数；因为本题两个数还有可能是小数，所以说法错误．
解：由分析可知：甲数是乙数的7倍，甲数乙数的最小公倍数就是甲数；说法错误；
故答案为错误．
【点评】解答此题应结合求最小公倍数的方法进行分析．
26．√
【解析】试题分析：根据能同时被4和8整除的数，一定是4和8的公倍数，因为24是4和8的公倍数，所以一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数；据此判断．
解：由分析可知：一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数．
故答案为√．
【点评】明确24是4和8的公倍数，是解答此题的关键．
27．（1）1；（4）3.3；（7）；
（2）0.3；（5）1.8a；（8）；
（3）7.2；（6）14y；
。
28．x＝24；x＝19；x＝2
【分析】解方程时，先把相同的项放在一起计算，即把含有x的项放在等号的左边，把常数项放在等号的右边，然后等号两边同时除以x前面的系数，就可以解得x的值。
【解析】0.7x÷6＝2.8
解：0.7x＝2.8×6
0.7x＝16.8
x＝16.8÷0.7
x＝24
0.9x－4＝13.1
解：0.9x＝13.1＋4
0.9x＝17.1
x＝17.1÷0.9
x＝19
0.82×7＋0.77x＝7.28
解：5.74＋0.77x＝7.28
0.77x＝7.28－5.74
0.77x＝1.54
x＝1.54÷0.77
x＝2
【点评】考查了解方程，关键是要理解解方程的依据是等式的性质即等式的两边同时加减同一个数等式仍然成立，或等式两边同时乘除（不为0）同一个数，等式仍然成立。
29．19和76；11和121；1和115
【分析】（1）两个数全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
（2）两个数全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。如果两个数中小数是大数的约数，大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积。
【解析】19和76是倍数关系，最大公因数是19，最小公倍数是76；
11和121是倍数关系，最大公因数是11，最小公倍数是121；
5和23是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是。
30．18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7
【分析】分解质因数是把合数用几个质数相乘的形式表现出来。据此解答即可。
【解析】由分析可得：
18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7；99＝3×3×11；105＝3×5×7
【点评】把一个合数分解质因数一般用短除法，一般先用这个合数最小的那个因数（是质数的因数）去除，商如果是合数，就继续除，商如果是质数，就写成商和每个除数相乘的形式。
31．（1）6分米；（2）11根
【分析】（1）将24和42分别分解质因数，再求出公有质因数的乘积，求出这两个数的最大公因数，即每根短彩带最长是多少分米；
（2）利用除法，分别求出黄彩带剪成了几段、红彩带剪成了几段，再利用加法求出一共可以剪成几根这样的短彩带。
【解析】（1）24＝2×2×2×3
42＝2×3×7
2×3＝6
所以，24和42的最大公因数是6。
答：每根短彩带最长是6分米。
（2）24÷6＋42÷6
＝4＋7
＝11（根）
答：一共可以剪成11根这样的短彩带。
【点评】本题考查了最大公因数，掌握最大公因数的求法是解题关键。
32．3米
【解析】试题分析：要把三根铁丝的长分别是15米，18米和24米，现在把它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，求每段长，只要求出15、18和24的最大公因数，即可得解．
解：15=3×5，
18=2×3×3，
24=2×2×2×3，
所以15、18和24的最大公因数是3，
答：每段长3米．
【点评】灵活应用几个数的最大公因数的求解方法来解决实际问题．
33．25人
【解析】6和8的最小公倍数是24,24+1=25（人）
答：参加跳绳比赛的至少有25人．
34．[6，10]＝30
答：至少还要30秒才能再同时看到这两种礼花．
35．43
36．训练小组：12个；可乐：5瓶；矿泉水：6瓶
【分析】求出60和72的最大公因数，即为有几个训练小组；分别用可乐和矿泉水的瓶数除以最大公因数，即可求出两种饮料各多少瓶。
【解析】60＝2×2×3×5
72＝2×2×2×3×3
60和72的最大公因数是2×2×3＝12。
60÷12＝5（瓶）
72÷12＝6（瓶）
答：最多有12个训练小组；每个小组分得可乐5瓶；矿泉水6瓶。
【点评】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
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第3单元 因数与倍数
考试时间：90分钟；试卷总分：100分；
学校： 班级： 姓名： 成绩：
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、选择题（共7分）
1．甲、乙两数的和是286，甲数的末尾是0，如果把这个0去掉，甲数和乙数相同，甲数是（ ）。
A．26 B．260 C．240
2．在2，3，5，6中，互质数有（ ）对。
A．4 B．3 C．2 D．1
3．王叔叔电脑的登录密码由六个数字组成，其中最后一个数既是奇数又是合数，这个数是（ ）。
A．2 B．3 C．9 D．4
4．若正方形的边长是奇数，则它的面积一定是（ ），它的周长一定是（ ）。
A．奇数，偶数 B．偶数，奇数 C．质数，奇数 D．无法确定
5．因为4×8=32，所以8是32的（ ）．
A．因数 B．质因数 C．倍数
6．下面哪道题的被除数不是除数的倍数。（ ）
A．80÷16 B．156÷39 C．92÷27 D．351÷27
7．12和36的最小公倍数是（ ）。
A．12 B．36 C．4
二、填空题（共21分）
8．a÷b=5，a、b是自然数，可以说 能被 整除， 是 的倍数， 是 的因数．
9．大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．那么彩灯至少有 盏．
10．从0，1，5，9中任选3个数字组成三位数，最大的三位数是 ，最小的三位数是 ，同时是2，3，5的倍数的数有 和 ．
11．王华和李明都在小提琴班学习，王华每3天去一次，李明每4天去一次，6月3日他们都去了一次，那么他们下次同去的时间是 ．
12．有一个数，用它去除36，42，正好都能整除，这个数最大是 ．
13．将某校六年级全体同学按每组4人、每组5人、每组6人分组，均多余3人，该校六年级至少有 位同学．
14．从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是25根电线杆，现在改成每隔6米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间有 根不必移动。
15．在下面计数器上至少再添上 颗珠子就能拨出3的倍数。
16．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，如果这两个数的差是54，那么这两个数的和是 。
17．a和b都是自然数，分解质因数后得到a=22×3×m，b=3×7×m，如果a和b的最小公倍数是924，那么m= ．
18．在拓展训练活动中，某个队伍分组做训练，不管是每3人一组，还是每5人一组，都剩余1人，这个队伍最少有 人。
19．一个数既是24的因数，又是4的倍数，这个数可能是 。（写三个）
三、判断题（共7分）
20．两个偶数的最大公因数可能是1． ( )
21．两个不同的非0自然数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 ( )
22．成为互质数的两个数，不一定都是质数。 ( )
23．两个数的公因数一定比这两个数都小． ( )
24．一个数的倍数是有限的，而它的因数却是无限的． ( )
25．甲数是乙数的7倍，甲数乙数的最小公倍数就是甲数． ( )
26．一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数． ( )
四、计算题（共30分）
27．我能直接写出结果。（共8分）
（1） （3） （5） （7）
（2） （4） （6） （8）
28．解方程。（共9分）
0.7x÷6＝2.8 0.9x—4＝13.1 0.82×7＋0.77x＝7.28
29．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。（共6分）
19和76 11和121 5和23
30．把下面各数分解质因数。（共6分）
18 30 56
五、解答题（共36分）
31．“六一”儿童节期间，李老师要将一根长24分米的黄彩带和一根长42分米的红彩带，剪成同样长的整分米数的短彩带，且没有剩余。
（1）每根短彩带最长是多少分米？
（2）一共可以剪成几根这样的短彩带？
32．三根铁丝的长分别是15米，18米和24米，现在把它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？
33．五（1）班学生参加跳绳比赛，进行分组．按每组6人或每组8人，都正好多1人．参加跳绳比赛的至少有多少人？
34．焰火晚会上每6秒出现一次星星图案的礼花，每10秒出现一次花朵图案的礼花．在同时看到这两种礼花后，至少还要多少秒才能再同时看到这两种礼花？
35．五（1）班学生人数不足50人，排队时，每排3人，结果多1人；每排4人，结果多3人；每排7人，结果多1人．五（1）班共有多少人．
36．体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水，把它们分别平均分给了几个训练小组，正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？
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参考答案与试题解析
1．B
【分析】由题意可知，甲数的末尾是0，如果把这个0去掉，甲数和乙数相同，那就说明甲数是乙数的10倍，已知甲、乙两数的和是286，利用和倍公式：两数和÷（倍数＋1）＝较小数，以此解答即可。
【解析】286÷（10＋1）
＝286÷11
＝26
286－26＝260
故答案为：B
【点评】解答此题的关键是利用和倍公式进行解答。需要理解当甲数的末尾是0，如果把这个0去掉，甲数和乙数相同，那么甲数就是乙数的十倍。
2．A
【分析】根据互质数的意义：只有公因数1的两个数叫做互质数，找出这四个数可组成的互质数，数数一共几组即可。
【解析】这四个数互质数有：2和3，2和5，3和5，5和6，共有4组。
故答案为：A
【点评】本题主要考查互质数的意义。
3．C
【分析】由于最后一个数既是奇数又是合数，由此即可知道最后一个数是一位数，一位数里面：1、3、5、7、9这几个数是奇数，再根据合数的判断方法：除了1和它本身之外，还有其他因数的数是合数，由此即可判断。
【解析】通过分析可知，最后一个数是1位数，即1位数里1、3、5、7、9这几个数是奇数；同时这里面只有9是合数。
故答案为：C。
【点评】本题主要考查奇数和合数的意义，熟练掌握奇数和合数的意义并灵活运用。
4．A
【解析】奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此解答。
【解析】正方形的面积＝边长×边长＝奇数×奇数＝奇数；正方形的周长＝边长×4＝奇数×偶数＝偶数。
故答案为：A
【点评】奇数和偶数的运算性质是解答此题的关键，学生应熟练掌握。
5．A
6．C
【分析】先根据整数除法的计算方法，求出各个算式的结果，再找出算式中没有余数的，这样的算式被除数就是除数的倍数。
【解析】A．80÷16＝5
B．156÷39＝4
C．92÷27＝3……11
D．351÷27＝13
故答案为：C
【点评】本题考查了整数除法的计算方法，以及因数和倍数的关系。
7．B
【解析】略
8．a，b，a，b，b，a
【解析】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．
解：因为a÷b=5，可以说a能被b整除，a是b的倍数，b是a的因数；
故答案为a，b，a，b，b，a．
【点评】此题主要考查了因数与倍数的意义，应明确因数和倍数是相互依存的概念．
9．21
【解析】试题分析：由三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三，可知：彩灯的数量是3和7的公倍数，是5的倍数加一盏，是8的倍数减3盏，要求那么彩灯至少有多少盏，从3和7的公倍数中找出被5整除余1、被8整除少3的最小的数即可．
解：3和7是互质数，它们的最小公倍数是它们乘积3×7=21，21被5整除余1，21被8整除少3，所以那么彩灯至少有21盏；
答：彩灯至少有21盏．
故答案为21．
【点评】本题主要考查能被3、5、7、8整除的数的特征，注意先求出3和7的最小公倍数，然后分析找出被5整除余1、被8整除少3数即可．
10．951 105 150 510
【分析】要使组成的数字最大，就要把最大的数字放在最高位上；要使组成的数字最小，就把最小的数字放在最高位上；同时是2，3，5的数的末位数字是0，且各个数位上数字之和是3的倍数.
【解析】最大的三位数的百位数字是9，十位数字是5，个位数字是1，最大的三位数是951；
最小的三位数的百位数字是1，十位数字是0，个位数字是5，最小的三位数是105；
同时是2，3，5的倍数的数的末位数字是0，这样的数有150，510.
故答案为951；105；150；510
11．6月15日
【解析】试题分析：先求出3和4的最小公倍数，再通过日期推算出下次同去的时间．
解：因为3×4=12，3+12=15，
所以他们下次同去的时间是6月15日．
故答案为6月15日．
【点评】考查了求两个数的最小公倍数的方法，日期和时间的推算．本题的关键是得到3和4的最小公倍数．
12．6
【解析】试题分析：由题意可知，要求的问题即求36和42的最大公约数；求几个数的最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积．
解：36=2×2×3×3；
42=2×3×7；
这个数最大为：2×3=6．
故答案为6．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；进行解答即可．
13．63
【解析】试题分析：余数都是3，则这个数是4、5、6的最小公倍数再加上3；因此得解．
解：4=2×2，
6=2×3，
所以4、5、6的最小公倍数是2×2×3×5=60，
60+3=63，
答：将某校六年级全体同学按每组4人、每组5人、每组6人分组，均多余3人，该校六年级至少有 63位同学；
故答案为63．
【点评】灵活应用求几个数的最小公倍数的方法解决同余问题．
14．3
【分析】先求出小明家到学校的距离，共有（25－1）＝24个间隔，距离＝5×24＝120米。根据题意，不需要移动的电线杆数必须是5和6的最小公倍数，先求出5和6的最小公倍数，再求出小明家到学校的距离有几个公倍数，然后再求出除两端的两根不需要移动外，中间有多少根不必移动即可。
【解析】5×（25－1）
＝5×24
＝120（米）
5和6的最小公倍数是30。
120÷30－1
＝4－1
＝3（根）
从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是25根电线杆，现在改成每隔6米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间有3根不必移动。
【点评】熟练掌握植树问题和最小公倍数的求法是解答本题的关键。
15．2
【分析】根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数相加的和能被3整数，这个数就是3的倍数；据此解答。
【解析】1＋2＋1
＝3＋1
＝4
6是3的倍数
6－4＝2
计数器上至少再添上2颗珠子就能拨出3的倍数。
【点评】本题考查3的倍数特征，根据3的倍数特征进行解答。
16．126
【分析】两个数独有的质因数的乘积是：180÷18＝10，10＝1×10＝2×5，如果是18×1＝18和18×10＝180，180－18＝162，就和这两个数的差是54相矛盾，因此这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90，再相加即可求解。
【解析】因为180÷18＝10
所以两个数独有的质因数的乘积是10
因为10＝2×5＝1×10
这两个数的差是54
所以不可能是1和10
则这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90
36＋90＝126
即这两个数的和是126。
【点评】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数＝最大公因数×两个数独有的质因数这一关系。
17．11
【解析】试题分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．
解：分解质因数a=22×3×m，
b=3×7×m，
所以2×2×3×7×m=924，
则m=11．
故答案为11．
【点评】此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
18．16
【分析】根据题意可知，如果这个队伍的总人数减去1后，能被3、5整除，也就是3、5的公倍数；先求出3和5的最小公倍数，3和5互质，则最小公倍数是它们的乘积；用最小公倍数加上1即可求出这个队伍最少的人数。据此解答。
【解析】3×5＝15
15＋1＝16（人）
这个队伍最少有16人。
【点评】本题考查了公倍数的应用，解答本题关键是理解：这个队伍的总人数减1后是3、5的公倍数。
19．4、8、12、24（任意三个即可）
【分析】一个数既是24的因数，又是4的倍数，那就先求出24的因数和24以内4的倍数，再找出共同的数即可。
【解析】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
4的倍数：4，8，12，16，20，24
满足条件的数：4，8，12，24
【点评】本题主要考查因数和倍数的找法，可以利用列举法找因数和倍数。
20．错误
【解析】试题分析：求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的乘积，因为两个偶数至少有2这个公有质因数，所以两个偶数的最大公因数不可能是1，有可能是2，据此判断．
解：因为两个偶数至少有2这个公有质因数，
所以两个偶数的最大公因数不可能是1，有可能是2；
故判断为：错误．
【点评】解决此题关键是要明确两个偶数至少有2这个公有质因数，所以判定两个偶数的最大公因数不可能是1的结论．
21．√
【分析】求两个数的最大公因数、最小公倍数，把两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数，公有质因数和各自质因数的连乘积就是最小公倍数；据此解答。
【解析】由分析可知：两数的最大公因数是共有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数和各自质因数的连乘积，所以两个不同的非0自然数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
故答案为：√
【点评】本题主要考查对最大公因数、最小公倍数的理解，解题时要明确：用分解质因数的方法求最大公因数、最小公倍数时，两数的最大公因数是共有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数和各自质因数的连乘积。
22．√
【分析】公约数只有1的两个数叫做互质数，这两个数可能都是质数，也可能都是合数，也可能是一个质数、一个合数，由此即可得出答案。
【解析】成为互质数的两个数，不一定都是质数；
例如：8和9是互质数，又都是合数；
7和9是互质数，是一个质数与一个合数；
故答案为：√
【点评】此题主要考查了互质数的意义。
23．×
【解析】试题分析：根据公因数的意义，两个（或3个）数公有的因数，叫做这两个（或3个）数的公因数．其中最大的一个就是它们的最大公因数．如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数．由此解答．
解答：解：根据分析，如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数．
因此，两个数的公因数一定比这两个数小．这种说法是错误的．
故答案为×．
【点评】此题主要考查公因数和最大公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法，关键是考虑两种特殊情况：两个是倍数关系和两个数是互质数，它们的最大公因数的求法．
24．错误
【解析】因为一个数的倍数是无限的，而它的因数却是有限的；进而得出结论．此题属于易错题，解答时应明确因数和倍数的意义，进行解答即可．
故答案为错误．
25．错误
【解析】试题分析：如果甲、乙两个数是非0自然数，如果甲数和乙数成倍数关系，那么它们的最小公倍数是较大的那个数；因为本题两个数还有可能是小数，所以说法错误．
解：由分析可知：甲数是乙数的7倍，甲数乙数的最小公倍数就是甲数；说法错误；
故答案为错误．
【点评】解答此题应结合求最小公倍数的方法进行分析．
26．√
【解析】试题分析：根据能同时被4和8整除的数，一定是4和8的公倍数，因为24是4和8的公倍数，所以一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数；据此判断．
解：由分析可知：一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数．
故答案为√．
【点评】明确24是4和8的公倍数，是解答此题的关键．
27．（1）1；（4）3.3；（7）；
（2）0.3；（5）1.8a；（8）；
（3）7.2；（6）14y；
。
28．x＝24；x＝19；x＝2
【分析】解方程时，先把相同的项放在一起计算，即把含有x的项放在等号的左边，把常数项放在等号的右边，然后等号两边同时除以x前面的系数，就可以解得x的值。
【解析】0.7x÷6＝2.8
解：0.7x＝2.8×6
0.7x＝16.8
x＝16.8÷0.7
x＝24
0.9x－4＝13.1
解：0.9x＝13.1＋4
0.9x＝17.1
x＝17.1÷0.9
x＝19
0.82×7＋0.77x＝7.28
解：5.74＋0.77x＝7.28
0.77x＝7.28－5.74
0.77x＝1.54
x＝1.54÷0.77
x＝2
【点评】考查了解方程，关键是要理解解方程的依据是等式的性质即等式的两边同时加减同一个数等式仍然成立，或等式两边同时乘除（不为0）同一个数，等式仍然成立。
29．19和76；11和121；1和115
【分析】（1）两个数全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
（2）两个数全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。如果两个数中小数是大数的约数，大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积。
【解析】19和76是倍数关系，最大公因数是19，最小公倍数是76；
11和121是倍数关系，最大公因数是11，最小公倍数是121；
5和23是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是。
30．18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7
【分析】分解质因数是把合数用几个质数相乘的形式表现出来。据此解答即可。
【解析】由分析可得：
18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7；99＝3×3×11；105＝3×5×7
【点评】把一个合数分解质因数一般用短除法，一般先用这个合数最小的那个因数（是质数的因数）去除，商如果是合数，就继续除，商如果是质数，就写成商和每个除数相乘的形式。
31．（1）6分米；（2）11根
【分析】（1）将24和42分别分解质因数，再求出公有质因数的乘积，求出这两个数的最大公因数，即每根短彩带最长是多少分米；
（2）利用除法，分别求出黄彩带剪成了几段、红彩带剪成了几段，再利用加法求出一共可以剪成几根这样的短彩带。
【解析】（1）24＝2×2×2×3
42＝2×3×7
2×3＝6
所以，24和42的最大公因数是6。
答：每根短彩带最长是6分米。
（2）24÷6＋42÷6
＝4＋7
＝11（根）
答：一共可以剪成11根这样的短彩带。
【点评】本题考查了最大公因数，掌握最大公因数的求法是解题关键。
32．3米
【解析】试题分析：要把三根铁丝的长分别是15米，18米和24米，现在把它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，求每段长，只要求出15、18和24的最大公因数，即可得解．
解：15=3×5，
18=2×3×3，
24=2×2×2×3，
所以15、18和24的最大公因数是3，
答：每段长3米．
【点评】灵活应用几个数的最大公因数的求解方法来解决实际问题．
33．25人
【解析】6和8的最小公倍数是24,24+1=25（人）
答：参加跳绳比赛的至少有25人．
34．[6，10]＝30
答：至少还要30秒才能再同时看到这两种礼花．
35．43
36．训练小组：12个；可乐：5瓶；矿泉水：6瓶
【分析】求出60和72的最大公因数，即为有几个训练小组；分别用可乐和矿泉水的瓶数除以最大公因数，即可求出两种饮料各多少瓶。
【解析】60＝2×2×3×5
72＝2×2×2×3×3
60和72的最大公因数是2×2×3＝12。
60÷12＝5（瓶）
72÷12＝6（瓶）
答：最多有12个训练小组；每个小组分得可乐5瓶；矿泉水6瓶。
【点评】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
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