(共36张PPT)
专题一 必备知识
基础自测 思维引航
考点进阶 素养淬炼
目 录 索 引
第1讲 集合、复数、常用逻辑用语
基础自测 思维引航
基础自测
1.(2024新高考Ⅰ,1)已知集合A={x|-5
A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
A
解析 因为A={x|-从而A∩B={-1,0}.故选A.
2.(人A必一习题1.2改编)已知集合A={x|0[2,+∞)
解析 因为A={x|03.(2024新高考Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=( )
A.0 B.1
C. D.2
C
解析 因为z=-1-i,所以|z|=故选C.
4.(人B必四习题10-1B组改编)若复数z1=4-3i,z2=4+3i所对应的向量分别为,则△OZ1Z2的周长等于( )
A.58 B.56
C.18 D.16
D
解析 设z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,
依题意,||=|4-3i|=5,||=|4+3i|=5,
||=||=|(4-3i)-(4+3i)|=|-6i|=6,
因此△OZ1Z2的周长为5+5+6=16.故选D.
5.(2024新高考Ⅱ,2)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x,则( )
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
B
解析 对于命题p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题;对于命题q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题.综上, p和q都是真命题.故选B.
思维引航
1.A∩B={x|x∈A,且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
2.可以借助数轴分析求解,注意端点值的取舍.
3.若复数z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.
4.复数z=a+bi 点Z(a,b),|z1-z2|表示Z1,Z2两点间的距离.
5.
命题 类型 全称量词命题 存在量词命题
形式 x∈M,p(x) x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x) x∈M, p(x)
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题
考点进阶 素养淬炼
考点一 集合
例1 (1)(2025全国2,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=( )
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
D
解析 由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D.
(2)(2025江苏南京模拟)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x+a≤0},若A B,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(-∞,2]
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-2]
D
解析 由x2-4≤0可得-2≤x≤2,所以A=[-2,2].
由x+a≤0可得x≤-a,所以B=(-∞,-a].又A B,所以2≤-a,即a≤-2.故选D.
(3)(2025湖北鄂州模拟)已知全集U={x|x∈N,x≤9},A={1,2,6},B={6,7,8},则{1,2}可以表示为( )
A.( UA)∩B B.( UB)∩A
C. U(A∩B) D. U(A∪B)
B
解析 因为全集U={x|x∈N,x≤9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,6},B={6,7,8},则1∈A,2∈A,且1 B,2 B,且( UB)∩A={0,1,2,3,4,5,9}∩{1,2,6}={1,2}.故选B.
(4)(2025江苏南通模拟)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|cos=0},那么集合A∩B的子集的个数为( )
A.2 B.4
C.7 D.8
D
解析 由cos=0,得=kπ+(k∈Z),解得x=2k+1.因为k∈Z,所以集合B是所有奇数构成的集合,则A∩B={-1,1,3},因此A∩B的子集一共有23=8个.故选D.
考点二 复数
例2 (1)(2025全国2,2)已知z=1+i,则=( )
A.-i B.i
C.-1 D.1
A
解析 由z=1+i,得=-i.故选A.
(2)(2025湖南岳阳模拟)已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限,且,则复数z2在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 因为复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限,所以可设z1=a+bi(a>0,b>0),因为=-i,所以z2=-iz1=b-ai,由于b>0,-a<0,因此复数z2在复平面内所对应的点位于第四象限.故选D.
(3)(多选题)(2025安徽蚌埠模拟)若为纯虚数,则复数z可以为( )
【一题多解】
A. B.
C. D.
AD
解析 (方法一)设复数z=x+yi(x,y∈R),则i,因为为纯虚数,所以=0,0,即x2+3x+y2=0且y≠0.对于A,x=-,y=-满足题意;对于B,x=-,y=1不满足题意;对于C,x=-,y=不满足题意;对于D,x=-,y=满足题意.故选AD.
(方法二)依题意可设=ai(a∈R,且a≠0),则z(1-ai)=3ai,所以z==-i.
对于A,由-i=,可得解得a=-2,符合题意;
对于B,由-i=,可得此时a不存在,不符合题意;
对于C,由-i=,可得此时a不存在,不符合题意;对于D,由-i=,可得解得a=1,符合题意.故选AD.
一题多变
本例(3)中,若将条件改为“若z为纯虚数,且||=”,则z= .
±3i
解析 因为z为纯虚数,所以可设z=bi(b∈R,且b≠0),则
又因为||=,所以||=,解得b=±3,于是z=±3i.
【对点训练1】(1)(2025北京石景山模拟)在复平面内,复数z=对应的点的坐标为(1,-2),则实数a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
D
解析 因为z==1+ai,所以复数z在复平面内对应的点为(1,a).
又复数z=对应的点的坐标为(1,-2),所以a=-2.故选D.
(2)(多选题)(2025浙江杭州模拟)已知复数ω=cos 120°+isin 120°(i是虚数单位),则( )
A.|ω|=1
B.ω2=
C.ω2+ω+1=0
D.=1
ABC
解析 因为ω=cos 120°+isin 120°=-i,所以|ω|=|-i|=1,所以A正确;因为ω2=(-i)2=-i=,所以B正确;因为ω2+ω+1=(-i)+(-i)+1=0,所以C正确;因为=-i=ω,所以=ω+ω2=-1,所以D错误.故选ABC.
考点三 常用逻辑用语
例3 (1)(2025江西宜春模拟)已知命题p: x∈R,2x>x2,命题q: x,y∈R, x+y<2,则下列说法正确的是( )
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
B
解析 当x=-1时,2x>x2显然不成立,所以p是假命题, p是真命题.当x=y=-1时, x+y<2显然成立,所以q是真命题, q是假命题.故选B.
(2)(2025天津,2)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 当x=0时,sin 2x=0,而当sin 2x=0时,2x=kπ,x=,k∈Z,所以“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A.
2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断:
命题类型 方法一 方法二 真假结论
全称量 词命题 所有对象都 使结论成立 原命题的 否定为假 原命题为真
存在对象使 结论不成立 原命题的 否定为真 原命题为假
存在量 词命题 存在对象使 结论成立 原命题的 否定为假 原命题为真
所有对象都使 结论不成立 原命题的 否定为真 原命题为假
【对点训练2】(1)(2025北京朝阳模拟)已知曲线C:mx2-ny2=1,则“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 若n>m>0,则0<,所以C:mx2-ny2=1,即=1,所以C为焦点在x轴上的双曲线;若C为焦点在x轴上的双曲线,则对于C:mx2-ny2=1,即=1,可得>0,>0,即m>0且n>0,不一定得到n>m>0.综上,“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件.故选A.
(2)(2025湖南邵阳模拟)已知命题p: x∈R,x2+mx+4≥0;命题q: x0∈(0,+∞),
-mx0=0.若p和q都是真命题,则实数m的取值范围是 .
[e,4]
解析 若命题p为真命题,则Δ=m2-16≤0,解得-4≤m≤4.若命题q为真命题,则方程ex-mx=0在区间(0,+∞)上有解,即m=在区间(0,+∞)上有解.设f(x)=,则f'(x)=,当01时, f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.所以当x>0时,f(x)min=f(1)=e,当x→+∞时,f(x)→+∞,故当x∈(0,+∞)时,f(x)的值域为[e,+∞),所以要使m=在区间(0,+∞)上有解,则m∈[e,+∞).故若p和q都是真命题,则e≤m≤4,即m∈[e,4].(共34张PPT)
第2讲 不等式
基础自测 思维引航
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基础自测 思维引航
基础自测
1.(人B必一P84复习题改编)与1的大小关系是 .
1
解析 因为-1=0,所以1.
2.(人A必一复习参考题2改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是 .
(-3,0)
解析 依题意有解得-33.(2025北京,6)已知a>0,b>0,则( )
A.a2+b2>2ab B.
C.a+b> D.
C
解析 当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;
取a=b=,则=6,=9,所以,故B错误;
因为a>0,b>0,所以a+b≥2,故C正确;
因为a>0,b>0,所以>0,>0,所以2,故D错误.故选C.
4.(人A必一习题2.2改编)已知x>1,则x+的最小值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
B
解析 因为x>1,所以x-1>0,因此x+=x-1++1≥2+1=3,
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,因此最小值为3.故选B.
5.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
BC
解析 由x2+y2-xy=1,得=1.令(θ为参数),得(θ为参数),故x+y=sin θ+cos θ=2sin[-2,2],
故选项A错误,B正确;x2+y2=sin 2θ-cos 2θ+sin(2θ-φ)+,故选项D不正确,C正确.故选BC.
思维引航
1.作差→变形→判断差的符号→结论.
2.不等式ax2+bx+c<0恒成立的条件是
3.(其中a>0,b>0),等号成立的条件是a=b.
4.配凑:x+=x-1++1.
5.利用基本不等式将“和”与“积”进行转化,构建“积”或“和”的二次不等式.
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考点一 不等式的性质及应用
例1 (1)(多选题)(2025河南许昌模拟)已知正数a,b,c满足=2,则下列说法正确的有( )
A.a<2c B.a>b+c
C.a2>6bc D.a2<12bc
BC
解析 因为正数a,b,c满足=2,可得a+b=2(b+c),即a=b+2c.
对于A,a=b+2c>2c,故A错误;对于B,a=b+2c>b+c,故B正确;
对于C,a2=(b+2c)2=b2+4c2+4bc≥4bc+4bc=8bc,当且仅当b=2c时,等号成立,即a2≥8bc>6bc,故C正确;
对于D,当a=12,b=10,c=1时,有a2>12bc,故D错误.故选BC.
(2)(2025浙江嘉兴模拟)已知圆柱和圆台的高和体积都相等,若圆柱的底面圆半径为r,圆台的上、下底面圆半径分别为r1,r2,则下列选项正确的有
( )
A.2r=r1+r2 B.2r>r1+r2
C.r2=r1r2 D.r2B
解析 设圆台和圆柱的高为h,依题意有(++πr1r2)h=πr2h,
所以r2=+r1r2).因为4r2-(r1+r2)2=+r1r2)-(+2r1r2)
=[(4+4+4r1r2)-(3+3+6r1r2)]=(r1-r2)2>0,
因此4r2>(r1+r2)2,即2r>r1+r2,所以B正确,A错误;
由基本不等式可得2r>r1+r2>2,所以r2>r1r2,所以C和D都错误.故选B.
【对点训练1】(1)(2025河北邯郸模拟)已知a,b是正实数,则“a>b”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
解析 因为,a>0,b>0,所以b(b+1)>0.
若a>b,则>0,即;
若,则>0,即a>b,因此“a>b”是的充要条件.故选C.
(2)(2025北京海淀模拟)设a>-b>0,则下列结论中不正确的是( )
A.()a<2b
B.若a+b=1,则的最小值为4
C.a2b+ab2<0
D.a2k-1+b2k-1>0(k∈N*)
B
解析 对于A,因为a>-b>0,所以-a0,所以ab(a+b)<0,即a2b+ab2<0,故C正确;对于D,因为a>-b>0,所以a2k-1>(-b)2k-1=-b2k-1(k∈N*),即a2k-1+b2k-1>0(k∈N*),故D正确.故选B.
考点二 含参一元二次不等式的解法
例2 (1)(2025河北石家庄模拟)若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
A
解析 依题意知1为方程ax2-6x+a2=0的一个根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,2),符合要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去,故m=2.故选A.
(2)(2025陕西渭南模拟)若关于x的不等式2ax2-4xA.(1,2] B.[1,2)
C.(0,2) D.(0,2]
B
解析 当a=0时,解得x>,不满足条件;当a≠0时,不等式可化为2ax2-(4+a)x+2 <0,所以(2x-1)(ax-2)<0,即a(2x-1)(x-)<0.若a<0,则不等式可化为(2x-1)(x-) >0,解集为(-∞,)∪(,+∞),不满足条件;若a>0,不等式可化为(2x-1)(x-)<0,当,即a>4时,不等式的解集为(),要使不等式有且只有一个整数解,则-1<0,因为a>0,故不满足条件;当,即a=4时,不等式的解集为空集;当,即0【对点训练2】(1)(2025广西桂林模拟)“ x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0 B.a<-
C.a≥1 D.a<-或a≥0
C
解析 当a=0时,-4x-3>0有解;当a>0时,二次函数y=ax2-4x-3的图象开口向上,所以ax2-4x-3>0有解;当a<0时,ax2-4x-3>0有解,则
解得--
因为[1,+∞)真包含于(-,+∞),
所以“ x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是a≥1.故选C.
(2)(2025湖南益阳模拟)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1A.有最小值 B.有最小值
C.有最小值3 D.无最小值
B
解析 因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1所以所以b=-a,c=-2a,则2,当且仅当,即a=时,等号成立.故选B.
考点三 基本不等式
例3 (1)(2025上海,8)已知a,b为正数,+b=1,则+a的最小值是 .
4
解析 +b=1,+a=(+a)(+b)=+1+1+ab≥2+2=4.
∴当且仅当=ab,即a=2,b=时,等号成立,故+a的最小值为4.
(2)(2025广东深圳模拟)用max{a,b}表示a与b的最大值,记M=max{4x++y},其中x,y都是正数,则M的最小值为( )【一题多解】
A.2 B.3
C.8 D.9
B
解析 (方法一)因为M=max{4x++y},所以M≥4x+,M+y,两式相加得2M≥4x++y=4x++y,当且仅当4x++y时,等号成立.由于x,y都是正数,所以4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立, y+2=2,当且仅当y=,即y=1时,等号成立,且此时4x++y=3,所以2M≥6,M≥3,因此当且仅当x=,y=1时,M取得最小值3.故选B.
(方法二)因为M=max{4x++y},所以M≥4x+,M+y,两式相乘得M2≥(4x+)(+y),当且仅当4x++y时,等号成立. (4x+)(+y)=5+4xy+5+2=9,当且仅当4xy=,即xy=时,等号成立.由解得x=,y=1,所以M2≥9,M≥3,即M的最小值为3.故选B.
(3)(2021天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为 .
2
解析 因为a>0,b>0,所以+b≥2+b=b+2=2,当且仅当且b=,即a=,b=时,等号成立,因此+b的最小值为2
一题多变
在本例(2)中,若将条件改为“若max{x1,x2,x3}表示三个数中的最大值”,则对任意的正实数x,y,max{x,2y,}的最小值是( )
A.1 B.2
C.4 D.5
B
解析 设N=max{x,2y,},则x≤N,2y≤N,N,因为x>0,y>0,则2xy()≤N3,当且仅当x=2y=时,等号成立.又2xy·()≥2xy=8,当且仅当时,等号成立.由得x=2,y=1,所以N3≥8,当且仅当x=2,y=1时,等号成立,故max{x,2y,}的最小值为2.故选B.
【对点训练3】(1)(2025广东深圳模拟)已知正实数x,y满足lg 2x+lg 4y=lg 2,则的最小值为( )
A.9 B.
C. D.2
B
解析 因为lg 2x+lg 4y=lg 2,所以lg(2x·4y)=lg 2,化简得x+2y=1,则+xy.又x+2y=1≥2,所以0(2)(2025福建宁德模拟)已知f(x)=,若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥f(3),则实数c的值是 .
16
解析 依题意,当x>0时,f(x)在x=3处取得最小值且f(x)==x+,则必有c>0.f(x)==x+=x+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时,等号成立,所以-1=3,解得c=16.
