【高考快车道】下篇 数学思想方法 第2讲 数形结合思想（课件）数学高考二轮复习
文档属性
| 名称 | 【高考快车道】下篇 数学思想方法 第2讲 数形结合思想（课件）数学高考二轮复习 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第2讲 数形结合思想
应用一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
应用二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
目 录 索 引
应用三 几何动态问题中的数形结合
【思想概述】 数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
应用一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
例1 (1)(2025湖北三模)已知f(x)=ex+1-e1-x+ln(-x),且f(ln m)+f() =0,则下列可能成立的是( )
A.nC.m<1D
解析 由题知,f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x+1-e1+x+ln(+x)
=-[ex+1-e1-x+ln(-x)]=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
又f'(x)=ex+1+e1-x+2=2e-2e-1>0,
所以函数f(x)在R上单调递增,
又f(ln m)+f()=0,所以可得ln m=-=1-,
画出y=ln x,y=1-的图象.
由图可知,当n当1(2)(2025湘豫名校联考)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x,函数y=的图象与曲线y=f(x)交于点A,B,与曲线y=g(x)交于点C,D,点A在第一象限,且A,B,C,D四点顺次呈逆时针排列,则直线AC的斜率与直线BD的斜率的乘积为 .
1
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则y1=,y2=,y3=ln x3,y4=ln x4,由点A与点D关于直线y=x对称,所以x1=y4,x4=y1,
同理x2=y3,x3=y2,
所以y1=,y2=,y3=,y4=
因为kAC=,kBD=,
所以kACkBD=
=1.
应用体验1
设函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=b有三个交点,则实数b的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[-,0]
C.{0}∪(1,+∞) D.(0,1]
D
解析 当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2).
令f'(x)<0得x<-2,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减;
令f'(x)>0得-2当x<-1时,f(x)<0,当-10,
当x→-∞时,f(x)→0,
当x=-2时,f(x)取得极小值f(-2)=-,f(0)=1.
又当x>0时,f(x)=|ln x|=
所以函数f(x)的大致图象如图.
由图可知,当0应用二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
例2 (1)(2025江西景德镇模拟)若曲线C:y=上存在两点到直线l:x-y-m=0(m>0)的距离为3,则m的取值范围为( )
A.[7,9) B.(6,7]
C.(5,6) D.(5,9)
B
解析 曲线C:y=表示圆(x-2)2+y2=1的上半部分,如图.
当圆心C(2,0)到直线l的距离d==1时,可得m=0或m=4,
若m=0时,l:x-y=0,若m=4时,l:x-y-4=0,
当直线l过点(1,0)时,可得m=1,此时l:x-y-1=0,
结合图知,要使曲线存在两个点与直线l的距离为3,且m>0,即直线l必在x-y=0的右下方,所以直线l到x-y=0的距离大于3,到x-y-1=0的距离小于等于3,
l:x-y-m=0(m>0)与x-y=0的距离>3,则m>6,
l:x-y-m=0(m>0)与x-y-1=0的距离3,
则0(2)(多选题)已知复数z满足(|z+2|-|z-2|)2=4,则下列说法正确的是( )
A.|z|≥1
B.|z-2|≥2
C.若z∈R,则|z|=1
D.若z2∈R,则|z|=1
ACD
解析 设z=x+yi,则其在复平面内所对应的点的坐标为(x,y),
由(|z+2|-|z-2|)2=4可得||z+2|-|z-2||=2,
即||=2<4,
由双曲线的定义可得,z对应的点的轨迹是以(2,0),(-2,0)为焦点的双曲线,
且焦点在x轴上,2a=2 a=1,2c=4 c=2,b=,
则双曲线的标准方程为x2-=1.
|z|表示双曲线上的点到坐标原点的距离,则双曲线上的点到坐标原点的距离最小值为顶点到原点的距离1,所以|z|≥1,故A正确;
由z=x+yi可得|z-2|=,且x2-=1,
所以|z-2|=,x≥1,
则|z-2|=1,故B错误;
若z=x+yi∈R,则y=0,所以x2=1,则|z|==1,故C正确;
因为z2=(x+yi)2=(x2-y2)+2xyi∈R,则xy=0,又x≥1,所以y=0,
由x2-=1可得x2=1,则|z|==1,故D正确.故选ACD.
应用三 几何动态问题中的数形结合
例3 (1)(2025山东滨州二模)已知椭圆C:=1和圆A:x2-2x+y2=0,P,Q分别为椭圆C和圆A上的动点,若F为椭圆C的左焦点,则|PQ|+|PF|的最小值为( )
A.6 B.5
C.9 D.8
A
解析 易知椭圆C:=1中a=4,c=2,即可得F(-2,0),
又圆A:x2-2x+y2=0的圆心为A(1,0),半径r=1,易知椭圆右焦点F'(2,0),显然F'在圆A上,如图.
易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|=|PA|-r=|PA|-1,因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|-1的最小值,由椭圆定义可得|PA|+|PF|-1=|PA|+2a-|PF'|-1=|PA|-|PF'|+7≥-|AF'|+7=6;此时点P在(-4,0)处,使得|PQ|+|PF|的最小值为6.故选A.
(2)(多选题)(2025河北石家庄模拟)已知M是圆C1:x2+y2-2x+10y+17=0上的一点,N是圆C2:x2+y2-6x+8=0上的一点,P为直线l:x-y+2=0上一点,则下列说法正确的是( )
A.|MN|的最大值为+4
B.的最小值为
C.|PM|+|PN|的最小值为-4
D.|PM|-|PN|的最大值为+4
ACD
解析 由题意可得圆C1圆心为C1(1,-5),半径为3,圆C2圆心为C2(3,0),半径为1,则两圆圆心距离|C1C2|=>4,即两圆相离.
由题意可得两圆上的点的距离|MN|最大值为|C1C2|+1+3=+4,故A正确;
由题可设P(x,x+2),
则=(1-x,-7-x)·(3-x,-x-2)=(1-x)(3-x)+(-7-x)(-x-2)
=2x2+5x+17=2(x+)2+,
所以当x=-时,取得最小值为,故B错误;
因为点(3,-2)关于直线y=x对称的点为(-2,3),所以点C2(3,0)关于直线l:y=x+2对称的点为(-2,5),所以如图,作圆C2和点N关于l对称的圆C'2及点N',则由图可知当对称圆的圆心C'2(-2,5)和对称点N'以及M,C1四点共线时可得|PM|+|PN|的最小值为|C1C'2|-1-3=-4=-4,故C正确;
如图可知当P,M,N三点共线时,|PM|-|PN|取得最大值为|MN|,
而|MN|最大值为|C1C2|+1+3=+4,故D正确.故选ACD.
应用体验2
(2025广东珠海模拟)点F2是双曲线C:=1的右焦点,动点A在双曲线左支上,直线l1:tx-y-4=0与直线l2:x+ty=0的交点为B,则|AB|+|AF2|的最小值为
( )
A.6 B.7
C.8 D.9
A
解析 由双曲线的方程可得a=2,
焦点F1(-2,0),
可得|AF2|=|AF1|+2a=|AF1|+4,
所以|AB|+|AF2|=|AB|+|AF1|+4,
当A,F1,B三点共线时,|AB|+|AF2|最小,
因为直线l1和l2相互垂直,且l1和l2分别过定点(0,-4)和(0,0),
所以交点B的轨迹方程是以(0,-4)和(0,0)为直径的两个端点的圆,圆心为M(0,-2),半径为2,
所以|AB|+|AF2|=|AB|+|AF1|+4≥|BF1|+4
≥|MF1|-2+4=+2=6,当点B为过F1与M的直线与圆的交点,
且在F1和圆心之间时|AB|+|AF2|取最小值6.故选A.
第2讲 数形结合思想
应用一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
应用二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
目 录 索 引
应用三 几何动态问题中的数形结合
【思想概述】 数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
应用一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
例1 (1)(2025湖北三模)已知f(x)=ex+1-e1-x+ln(-x),且f(ln m)+f() =0,则下列可能成立的是( )
A.n
解析 由题知,f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x+1-e1+x+ln(+x)
=-[ex+1-e1-x+ln(-x)]=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
又f'(x)=ex+1+e1-x+2=2e-2e-1>0,
所以函数f(x)在R上单调递增,
又f(ln m)+f()=0,所以可得ln m=-=1-,
画出y=ln x,y=1-的图象.
由图可知,当n
1
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则y1=,y2=,y3=ln x3,y4=ln x4,由点A与点D关于直线y=x对称,所以x1=y4,x4=y1,
同理x2=y3,x3=y2,
所以y1=,y2=,y3=,y4=
因为kAC=,kBD=,
所以kACkBD=
=1.
应用体验1
设函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=b有三个交点,则实数b的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[-,0]
C.{0}∪(1,+∞) D.(0,1]
D
解析 当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2).
令f'(x)<0得x<-2,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减;
令f'(x)>0得-2
当x→-∞时,f(x)→0,
当x=-2时,f(x)取得极小值f(-2)=-,f(0)=1.
又当x>0时,f(x)=|ln x|=
所以函数f(x)的大致图象如图.
由图可知,当0
例2 (1)(2025江西景德镇模拟)若曲线C:y=上存在两点到直线l:x-y-m=0(m>0)的距离为3,则m的取值范围为( )
A.[7,9) B.(6,7]
C.(5,6) D.(5,9)
B
解析 曲线C:y=表示圆(x-2)2+y2=1的上半部分,如图.
当圆心C(2,0)到直线l的距离d==1时,可得m=0或m=4,
若m=0时,l:x-y=0,若m=4时,l:x-y-4=0,
当直线l过点(1,0)时,可得m=1,此时l:x-y-1=0,
结合图知,要使曲线存在两个点与直线l的距离为3,且m>0,即直线l必在x-y=0的右下方,所以直线l到x-y=0的距离大于3,到x-y-1=0的距离小于等于3,
l:x-y-m=0(m>0)与x-y=0的距离>3,则m>6,
l:x-y-m=0(m>0)与x-y-1=0的距离3,
则0
A.|z|≥1
B.|z-2|≥2
C.若z∈R,则|z|=1
D.若z2∈R,则|z|=1
ACD
解析 设z=x+yi,则其在复平面内所对应的点的坐标为(x,y),
由(|z+2|-|z-2|)2=4可得||z+2|-|z-2||=2,
即||=2<4,
由双曲线的定义可得,z对应的点的轨迹是以(2,0),(-2,0)为焦点的双曲线,
且焦点在x轴上,2a=2 a=1,2c=4 c=2,b=,
则双曲线的标准方程为x2-=1.
|z|表示双曲线上的点到坐标原点的距离,则双曲线上的点到坐标原点的距离最小值为顶点到原点的距离1,所以|z|≥1,故A正确;
由z=x+yi可得|z-2|=,且x2-=1,
所以|z-2|=,x≥1,
则|z-2|=1,故B错误;
若z=x+yi∈R,则y=0,所以x2=1,则|z|==1,故C正确;
因为z2=(x+yi)2=(x2-y2)+2xyi∈R,则xy=0,又x≥1,所以y=0,
由x2-=1可得x2=1,则|z|==1,故D正确.故选ACD.
应用三 几何动态问题中的数形结合
例3 (1)(2025山东滨州二模)已知椭圆C:=1和圆A:x2-2x+y2=0,P,Q分别为椭圆C和圆A上的动点,若F为椭圆C的左焦点,则|PQ|+|PF|的最小值为( )
A.6 B.5
C.9 D.8
A
解析 易知椭圆C:=1中a=4,c=2,即可得F(-2,0),
又圆A:x2-2x+y2=0的圆心为A(1,0),半径r=1,易知椭圆右焦点F'(2,0),显然F'在圆A上,如图.
易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|=|PA|-r=|PA|-1,因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|-1的最小值,由椭圆定义可得|PA|+|PF|-1=|PA|+2a-|PF'|-1=|PA|-|PF'|+7≥-|AF'|+7=6;此时点P在(-4,0)处,使得|PQ|+|PF|的最小值为6.故选A.
(2)(多选题)(2025河北石家庄模拟)已知M是圆C1:x2+y2-2x+10y+17=0上的一点,N是圆C2:x2+y2-6x+8=0上的一点,P为直线l:x-y+2=0上一点,则下列说法正确的是( )
A.|MN|的最大值为+4
B.的最小值为
C.|PM|+|PN|的最小值为-4
D.|PM|-|PN|的最大值为+4
ACD
解析 由题意可得圆C1圆心为C1(1,-5),半径为3,圆C2圆心为C2(3,0),半径为1,则两圆圆心距离|C1C2|=>4,即两圆相离.
由题意可得两圆上的点的距离|MN|最大值为|C1C2|+1+3=+4,故A正确;
由题可设P(x,x+2),
则=(1-x,-7-x)·(3-x,-x-2)=(1-x)(3-x)+(-7-x)(-x-2)
=2x2+5x+17=2(x+)2+,
所以当x=-时,取得最小值为,故B错误;
因为点(3,-2)关于直线y=x对称的点为(-2,3),所以点C2(3,0)关于直线l:y=x+2对称的点为(-2,5),所以如图,作圆C2和点N关于l对称的圆C'2及点N',则由图可知当对称圆的圆心C'2(-2,5)和对称点N'以及M,C1四点共线时可得|PM|+|PN|的最小值为|C1C'2|-1-3=-4=-4,故C正确;
如图可知当P,M,N三点共线时,|PM|-|PN|取得最大值为|MN|,
而|MN|最大值为|C1C2|+1+3=+4,故D正确.故选ACD.
应用体验2
(2025广东珠海模拟)点F2是双曲线C:=1的右焦点,动点A在双曲线左支上,直线l1:tx-y-4=0与直线l2:x+ty=0的交点为B,则|AB|+|AF2|的最小值为
( )
A.6 B.7
C.8 D.9
A
解析 由双曲线的方程可得a=2,
焦点F1(-2,0),
可得|AF2|=|AF1|+2a=|AF1|+4,
所以|AB|+|AF2|=|AB|+|AF1|+4,
当A,F1,B三点共线时,|AB|+|AF2|最小,
因为直线l1和l2相互垂直,且l1和l2分别过定点(0,-4)和(0,0),
所以交点B的轨迹方程是以(0,-4)和(0,0)为直径的两个端点的圆,圆心为M(0,-2),半径为2,
所以|AB|+|AF2|=|AB|+|AF1|+4≥|BF1|+4
≥|MF1|-2+4=+2=6,当点B为过F1与M的直线与圆的交点,
且在F1和圆心之间时|AB|+|AF2|取最小值6.故选A.
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