【高考快车道】下篇 数学思想方法 第3讲 分类讨论思想（课件）数学高考二轮复习

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第3讲　分类讨论思想
应用一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
应用二　由图形位置或形状引起的分类讨论
目 录 索 引
应用三　由参数变化引起的分类讨论
【思想概述】 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,需对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
应用一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
例1　(2025广东深圳二模)已知等差数列{an}的公差为,集合
S={cos an|n∈N*},若S={a,b,c},则a+b+c=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.
B
解析 由题得,an=a1+(n-1).
根据三角函数的性质,cos an+3=cos[a1+(n+3-1)]=cos[a1+(n-1)]=cos an,
则数列{cos an}的周期为3.因为集合S={a,b,c},即cos an有三个不同的值.
设n=1时,cos a1=a;n=2时,cos a2=cos(a1+)=b;
n=3时,cos a3=cos(a1+)=c.
根据三角函数两角和公式可得cos(a1+)=cos a1cos-sin a1sin=-cos a1-sin a1,cos(a1+)=cos a1cos-sin a1sin=-cos a1+sin a1,则a+b+c=cos a1+cos(a1+)+cos(a1+)=cos a1+(-cos a1-sin a1)+(-cos a1+sin a1) =0.故选B.
应用体验1
(2025江西景德镇模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,
且an+2=则{an}的前50项的和为(　　)
A.36 B.39
C.41 D.45
B
解析 当n>1且为奇数时,an=an-2=…=a3=a1=1,
当n≥2且为偶数时,an+2=an+1-an,则an+2+an=an+1,
而a2=2,则a4=a3-a2=-1,a6=a5-a4=2,…,依次类推有a50=2,
所以S50=25a1+(a2+a4+…+a46+a48+a50)=25+12+2=39.故选B.
应用二　由图形位置或形状引起的分类讨论
例2　(多选题)(2025辽宁大连一模)在平面内,存在定圆M和定点A,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,关于点Q轨迹叙述正确的是(　 　)
A.当点A与圆心M重合时,点Q的轨迹为圆
B.当点A在圆M上时,点Q的轨迹为拋物线
C.当点A在圆M内且不与圆心M重合时,点Q的轨迹为椭圆
D.当点A在圆M外时,点Q的轨迹为双曲线
ACD
解析 当点A与圆M的圆心重合时,线段PA的中垂线与直线PM的交点为Q,即Q为线段PM的中点,因此点Q的轨迹为圆,故A正确;
当点A在圆M上时,PA的中垂线恒过圆心M,即点Q的轨迹为一个点M,故B错误;
当点A在圆M内且非圆心M时,|QP|=|QA|,则|QM|+|QA|=r>|AM|(其中r为圆M的半径),因此点Q的轨迹为以A,M为焦点的椭圆,故C正确;
当点A在圆M外时,|QP|=|QA|,
则|QM|-|QA|=r<|AM|或|QA|-|QM|=r<|AM|(其中r为圆M的半径),
因此点Q的轨迹为以A,M为焦点的双曲线,故D正确.
故选ACD.
应用体验2
(2025福建龙岩二模)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为和2.若该棱台的体积为,则该棱台的外接球表面积为(　　)
A.7π B.
C.16π D.19π
C
解析 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=,体积为,高为h,
故(2+8+)h,解得h=,连接BD,AC相交于点E,B1D1,A1C1相交于点F,
则BD==4,B1D1==2,
设外接球的球心为O.
若O在台体外,设O到底面ABCD的距离为d,
则外接球半径R=,
即,解得d=0,所以球心O与点E重合;
若O在台体内,设O到底面ABCD的距离为d,
则半径R=,
即,
解得d=0,
所以球心O与点E重合.
综上,h=EF=OF=,故R=2,
所以4πR2=16π.故选C.
应用三　由参数变化引起的分类讨论
例3　(多选题)已知曲线C:x2cos α+y2sin α=1,其中α∈[-],则(　 　)
A.存在α使得C为两条直线
B.存在α使得C为圆
C.若C为椭圆,则α越大,C的离心率越小
D.若C为双曲线,则α越大,C的离心率越大
ABD
解析 若α=0,则C:x2=1,即x=±1,为两条直线,故A正确;
若C为圆,则cos α=sin α>0,由cos α=sin α,α∈[-],可得tan α=1,解得α=,满足cos α=sin α>0,故B正确;
若C为椭圆,则cos α>0,sin α>0,且cos α≠sin α,所以α∈(0,)∪().
C:x2cos α+y2sin α=1可化为=1,若,即tan α>1,α∈(),则椭圆C的离心率为e=,
当α∈()时,y=单调递增,故C错误;
当α∈[-]时,cos α≥0,
若C为双曲线,则sin αcos α<0,即得α∈(-,0).
曲线C:x2cos α+y2sin α=1可化为=1,
故双曲线C的离心率为e=,
当α∈(-,0)时,y=单调递增,故D正确.故选ABD.
应用体验3
(多选题)(2025江西南昌模拟)已知A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),M为坐标平面内的动点,直线MA,MB的斜率分别为kMA,kMB,且满足kMA-kMB=a(a为定值),设动点M的轨迹为C,则(　　)
A.轨迹C关于原点对称
B.轨迹C关于直线对称
C.当a=0时,轨迹C为一条直线
D.当a>0时,轨迹C存在最高点
BD
解析 设M(x,y),则kMA-kMB==a,整理得ax2+2y-a=0(x≠±1),
即y=-x2+(x≠±1),所以轨迹为挖去两个点的关于y轴对称的抛物线,故A错误,B正确;
当a=0时,y=0(x≠±1),即一条直线挖去了两个点,故C错误;
当a>0时,轨迹为y=-x2+(x≠±1),开口向下,有最高点,故D正确.故选BD.