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人教版2024 八年级下册
第二十章 勾股定理
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 以直角三角形三边为边长的图形面积
2 0.94 用勾股定理解三角形
3 0.85 利用勾股定理证明线段平方关系；三角形内角和定理的应用；根据等角对等边证明边相等
4 0.75 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
5 0.75 勾股定理与网格问题
6 0.65 折叠问题；利用勾股定理的逆定理求解；与三角形的高有关的计算问题
7 0.65 勾股定理与折叠问题；判断三边能否构成直角三角形
8 0.65 解决航海问题(勾股定理的应用)；与方向角有关的计算题
9 0.65 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
10 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股树（数）问题
12 0.75 线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
13 0.65 用勾股定理构造图形解决问题；勾股定理逆定理的实际应用；用勾股定理解三角形
14 0.65 判断三边能否构成直角三角形；线段垂直平分线的性质
15 0.65 含30度角的直角三角形；求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
16 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 勾股定理与网格问题；全等的性质和SAS综合（SAS）
18 0.75 判断三边能否构成直角三角形；角平分线的判定定理；线段垂直平分线的性质；等边对等角
19 0.75 用勾股定理解三角形
20 0.65 勾股定理逆定理的实际应用
21 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
22 0.65 用勾股定理构造图形解决问题；用勾股定理解三角形
23 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；与角平分线有关的三角形内角和问题；等边三角形的判定和性质；角平分线的性质定理
24 0.64 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用勾股定理的逆定理求解；等腰三角形的性质和判定；平行公理的应用2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（ ）
A．7 B．33 C．231 D．569
5．如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．北偏西方向上
9．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ．
12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的周长为 ．
13．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ．
15．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米．
16．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，E均在格点（网格线的交点）上，，，且．求证：．
18．如图，在中，是的中点，交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
19．小丽在放风筝时，风筝不小心挂在了如图所示的树的顶端处，她想知道这棵树的高度，制定了如下方案：如图，在地面上的点处，测得点到大树底部的距离为（即），将风筝线拉直为，此时手中剩余风筝线的长度为．从点移动至地面上的点处时（即），将风筝线拉直后为，此时手中的风筝线恰好用完．已知，点、、在同一水平线上，图中所有的点在同一平面内，求这棵树的高度．
20．在老旧小区改造工程中，施工队计划为小区内的两栋居民楼铺设燃气管道．如图，点C是小区燃气主管道的位置，点A和点B分别表示1号楼和2号楼的位置．经测量，A，C两处相距150米，B，C两处相距200米，A，B两处相距250米．为了合理规划成本，施工队设计了两种燃气管道铺设方案：
方案一：沿线段铺设2段燃气管道；
方案二：过点C作于点D，沿线段铺设3段燃气管道．
(1)试说明：；
(2)从节约管道的角度考虑，应选用哪种铺设方案？为什么？
21．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
22．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)若点运动到的中点时，的值为_______；
(2)若，求的长；
(3)当为直角三角形时，求的值．
23．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使．
(1)判断的形状并说明理由．
(2)已知，
①求证：．
②若与的面积相等，求的度数．
24．在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)如图1，当点在内部时．
①求证：；
②若，则与的位置关系为__________．
(2)如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，．
①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C D B B B B D
1．C
本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键．
首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和．
解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c，
∴在直角三角形中，，
∴，
∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，
∴，，
∴A，B两个正方形的面积之和为49，
故选：C．
2．B
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键．
直接根据勾股定理求解即可．
∵，，，
，
故选：B．
3．C
本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系．
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
4．C
本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案．
在中，由勾股定理可得，
同理可得，
所以．
故选：C．
5．D
本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案．
解：由勾股定理可得，，，，．
故选：D．
6．B
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键．
先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解．
解：，
，
是直角三角形，
，
由折叠可知，
，
．
故选：B．
7．B
本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键．
先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（）的面积．
解：∵，，，
∴，
∴．
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
8．B
先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角；
本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键．
解：如图，由题意，得，，，，．
，，
，
是直角三角形，
．
，
，
，
∴此时甲船位于岛的北偏西方向上．
故选：B．
9．B
本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
解：如图，连接，
∵
∴
∵树高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选：B．
10．D
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，
解：根据题意得
在中，，，
，
∴，
在中，，，
，
∴，
∴底部边缘A处与C之间的距离的长为．
故选：D．
11．8
本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．
设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解．
解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
根据题意可得，，，
∴，
∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为，
∴同理可得，正方形的面积为，
故答案为：8．
12．12
本题考查中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
根据中垂线的性质，得到，根据求出，，再用勾股定理求出，进行求解即可．
解：∵是的中垂线，
∴，
∵，，
∴，；
∵，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
13．114
连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积．
解：如图，连接．在中，，
．
，，，
．
为直角三角形，且．．
故答案为：．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积．
14．96
本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：连接，
∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：96．
15．
本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是．
解：如下图所示，
由题意可知，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
大树的高为米．
故答案为：．
16．64
由勾股定理，得，于是，代入求解即可.
解：连接，
由题意得：，，，，
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：64．
本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．
17．见解析
此题重点考查勾股定理、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，由勾股定理求得，由，推导出，而，即可根据“”证明，则．
证明：由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．(1)证明见解析
(2)
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．
（）由已知可得是线段的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求证；
（）由得，再根据角平分线的判定定理可得，即得到，得到，即可求解．
（1）证明：∵是的中点，交于点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由（）知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴点在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．这棵树的高度为
本题考查勾股定理的实际应用，数形结合，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
在和中，由勾股定理可得，从而得到，解方程得到，从而由勾股定理求出这棵树的高度即可得到答案．
解：，
，
由题意可得，
，点、、在同一水平线上，
和均为直角三角形，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解得，
，
这棵树的高度为．
20．(1)见解析
(2)选用方案一，理由见解析
本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（2）利用等面积法求出线段的长度，分别将两个方案所需水管长度求出，然后进行比较选择即可．
（1）证明：因为A，C两处相距150米，B，C两处相距200米，A，B两处相距250米，
所以，，
所以，
所以为直角三角形，即．
（2）解：选用方案一．
理由：方案一所需管道长为（米）．
由（1）知为直角三角形．
由三角形面积公式得，
所以（米），
所以（米），
即方案二所需管道长为370米．
因为，所以选用方案一．
21．(1)绳子的总长度为
(2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了
本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键．
（1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题；
（2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解．
（1）解：根据题意可知，，，，
则
故绳子的总长度是．
答：绳子的总长度为；
（2）解：滑块B向左滑动了
，
据（1）知绳子总长为
物体C上升高度为．
答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了
22．(1)1
(2)
(3)2或
（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解．
（2）由题知当时，，，
在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长．
（2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得．
本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
（1）解：∵在中，，，，
∴，
若点运动到的中点，则，
则．
（2）解：由题知，
如图，当时，，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
（3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即；
如图②，当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即，
解得 ．
故或时，为直角三角形．
23．(1)是直角三角形，证明见解析
(2)①见解析②
（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形；
（2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可；
②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）①证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
，
即；
②解：过作交于点，作交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24．(1)①见详解；②
(2)①；②1.5
（1）①利用证明即可．
②由全等三角形的性质得出，进而可得出，再结合即可得出．
（2）①先证明，得出，进而可得出，利用勾股定理的逆定理得出，由平行线的性质得出，再得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出．
②设，由全等三角形的性质得出，由和的面积和为5.5为等量关系列出关于x的方程并求解得出，最后根据全等三角形的性质以及面积的和差关系即可得出答案．
（1）解：①证明∶．D是的中点，
∴，
∵，
∴．
②，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①结论∶，
理由∶∵D是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
②设，
∵，
∴，
∵和的面积和为5.5，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积，
∵，
∴的面积的面积，
的面积的面积．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
