2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B C B D A C
1．B
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么，即．
利用勾股定理直接计算斜边的长度即可．
解：如图，
∵，
∴是直角三角形，和为直角边，为斜边，
∴．
故选：B．
2．C
本题考查勾股数的定义，即满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可．
解：A、0.3、0.4、0.5不是正整数，
∴不是勾股数，故选项A不符合题意；
B、、不是整数，
∴不是勾股数，故选项B不符合题意；
C、∵，且6、8、10均为正整数，
∴是勾股数，故选项C符合题意；
D、∵，，，
∴不是勾股数，故选项D不符合题意．
故选：C．
3．D
本题考查了勾股定理的应用．
设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离．
解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴的长是，
∴．
故选：D．
4．C
本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键．设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可．
解：设的长度为尺，则，
在中，，即，
解得：，
∴的长度为尺．
故选：C．
5．B
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可．
解：，，
，
设秋千的绳索长为，则，
在中，，，
∴，
解得：，
即绳索的长度是．
故选：B．
6．C
本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
设，则，故，在中利用勾股定理求解即可．
解：由题意可知，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，解得：．
∴绳索的长是．
故选：C．
7．B
此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键．
解：∵，
∴是等边三角形．
∴
∵
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故选：B．
8．D
本题考查了勾股定理的应用．
过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案．
解：过点A作于点E，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴的值不变．
故选：D．
9．A
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可．
解：如图，由题意得，，
∵，，，
∴，
∴，
∵的面积已知，
∴能求出代数式的值，
故选：A．
10．C
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．根据证明，设，则：，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，又是正三角形，可得，得出，再由，，可得，由此判断即可．
解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
，
故正确，该选项不符合题意；
是正三角形，
，
，
，
又，
设，则：，，，
，
根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，
故正确，该选项不符合题意；
又是正三角形，
，
，
故D正确，该选项不符合题意；
，，
，
故C错误，该选项符合题意；
故选：C．
11．
本题主要考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可．
解：如图，
由勾股定理得，，
故正方形C的面积为，
故答案为：．
12．
本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可．
解：在中，，，，
∴．
∴由勾股定理，得．
故答案为：．
13．/45度
本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可．
解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵与的平分线交于点，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．是
本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断．
解：由题意知，，，，
，
小汽车从C到B用了，
小汽车的速度为，
，
小汽车是超速，
故答案为：是．
15．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
设尺，用表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设尺，
尺，尺，
尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得，，
解得：，
答：秋千绳索的长度是尺．
故答案为：．
16．
本题考查了折叠的性质，勾股定理．在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解．
解：在中，，，，
∴，
∵将进行折叠，使顶点重合，
∴，，
设，在中，，
∴，
解得：，
则，
∴在中，，
故答案为：．
17．绳长至少为
此题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出即可．
解：由题意得，，，，
，
绳长至少为．
18．(1)见解析
(2)
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
（1）先利用垂直平分线性质得到，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得到，
（2）设，用表示，再由得到，在中用勾股定理列方程求解．
（1）证明：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴
∵
∴
∴
∴是直角三角形
∴， ．
（2）解：设
∵
∴
∵
∴
在 中，
∵
∴
∴
∴。
∴
∴
∴的长为．
19．(1)见解析
(2)12
此题考查了勾股定理的逆定理，三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）首先由三线合一得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
（1）证明：在中，，
，
是直角三角形；
（2）解：在中，，
，
的面积为．
20．(1)旗杆距地面处折断；
(2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：由题意得，，，
设AC长为，则长，
在中，由勾股定理可得，
，
解得．
答：旗杆在距地面处折断；
（2）如图，由题意可得，
∴．
在中，，
因为，
答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险．
21．(1)①5；②；
(2)1．
本题考查了勾股定理的应用．
（1）①由题意可知，，根据计算即可；
②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长；
（2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可．
（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∵
∴，
解得：（负值舍去），
∴该直角三角形的周长；
（2）解：∵，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
22．(1)7
(2)见解析
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）先计算，结合，计算，再求的长；
（2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可．
（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，在上截取，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
23．(1)①；②见解析；
(2)；
(3)见解析．
（1）①根据等边三角形的性质即可解答；
②根据等边三角形的判定即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）先证明，得到，同理可得，即可解答．
（1）解：①等边三角形，点为的中点，
，
，
；
，
②证明：，
同理①得，
为等边三角形；
（2），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
．
（3）如图，作，，，分别交于，，．
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
．
本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识．
（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可；
（2）设八个全等三角形每个的面积为y，则，，得到，即可得到．
（1）证明：，
，
即，
∴；
（2）解：设八个全等三角形每个的面积为y，
∵，，
∴，
∴(共6张PPT)
人教版2024 八年级下册
第二十章 勾股定理
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 用勾股定理解三角形
2 0.75 勾股树（数）问题
3 0.65 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
4 0.65 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
5 0.65 求旗杆高度(勾股定理的应用)
6 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
7 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系；全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；等边三角形的性质
8 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
9 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积
10 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；判断三边能否构成直角三角形；等边三角形的性质
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
12 0.75 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
13 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；判断三边能否构成直角三角形
14 0.65 判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
15 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
16 0.64 勾股定理与折叠问题
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 用勾股定理解三角形
18 0.75 利用勾股定理的逆定理求解；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
19 0.65 判断三边能否构成直角三角形；三线合一
20 0.65 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
21 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
22 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；三线合一；用勾股定理解三角形
23 0.65 勾股定理与折叠问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；折叠问题；等边三角形的判定和性质
24 0.64 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股定理的证明方法；以弦图为背景的计算题2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．9，12，13
3．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（ ）．
A． B．16 C．11 D．
4．有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，于点，尺，尺，则的长为（ ）
A．3尺 B．4尺 C．尺 D．尺
5．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为5和4，则正方形C的面积为 ．
12．在中，，，，则的长为 ．
13．如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ．
14．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”）
15．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ．
16．如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，为一艘小船，为码头，要把小船固定在处，从固定点拉一根长绳到固定点，已知码头的高，点到码头处的水平距离（），则绳长至少为多少米？
18．如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
19．如图，在中，是上的一点，连接．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的面积．
20．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
21．探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积．
22．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F．
(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，若，求证：．
23．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
(1)特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．
①求的度数．
②求证：为等边三角形．
(2)性质梳理
如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积．
(3)深度探究
如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：．
24．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．
(1)结合图①，求证：；
(2)如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，若，求．
