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北师大版2024 七年级下册
第二章 相交线与平行线
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 平面内两直线的位置关系
2 0.85 几何图形中角度计算问题；垂线的定义理解
3 0.85 求一个角的余角
4 0.75 相交线；对顶角相等
5 0.65 根据平行线的性质探究角的关系；角平分线的有关计算
6 0.65 两直线平行内错角相等；矩形与折叠问题
7 0.65 内错角相等两直线平行
8 0.65 同位角、内错角、同旁内角
9 0.65 点到直线的距离；垂线的定义理解；对顶角相等
10 0.4 根据平行线判定与性质求角度；几何问题(一元一次方程的应用)
三、知识点分布
二、填空题 11 0.65 同位角相等两直线平行
12 0.85 三角板中角度计算问题；内错角相等两直线平行
13 0.85 同(等)角的余(补)角相等的应用
14 0.75 垂线的定义理解；对顶角相等
15 0.65 根据平行线判定与性质求角度；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
16 0.65 根据平行线的性质求角的度数；三角板中角度计算问题
三、知识点分布
三、解答题 17 0.95 用代数式表示数、图形的规律；同位角、内错角、同旁内角
18 0.85 对顶角相等；利用邻补角互补求角度；同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行
19 0.75 尺规作一个角等于已知角；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；垂线的定义理解
20 0.65 角平分线的有关计算；垂线的定义理解；对顶角相等
21 0.65 对顶角相等
22 0.65 根据平行线判定与性质求角度
23 0.65 根据平行线判定与性质求角度；几何图形中角度计算问题；垂线的定义理解；对顶角相等
24 0.4 几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；垂线的定义理解；对顶角相等2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章相交线与平行线单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，，垂足为O，直线经过点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
6．如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③④
8．若和是同旁内角，，则的度数（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
9．下列说法：
有且只有一条直线垂直于已知直线；
两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直；
过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离；
在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中正确的说法有（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（ ）
A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．能判定的同位角有 组．
12．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当 时，．
13．如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ．
14．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ．
15．如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ．
16．一副三角板按图①所示的方式摆放，把绕顶点顺时针旋转至图②，此时，则的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对；
（2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对；
（3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？
18．（1）如图1，直线，被直线所截得，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由．
（2）如图2，直线，被直线所截得，，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由．
19．已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方．
(1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）；
(2)若，求的度数．
20．如图，直线和交于点，射线，在的内部．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，，求的度数（用含的式子表示）．
21．如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数．
22．取一副三角尺按图①所示的方式拼接，固定三角尺，将三角尺按顺时针方向旋转一个大小为的角得到三角形，示意图如图②所示．
(1)当为多少度时，？请说明理由．
(2)当分别为多少度时，，（不必说明理由）？
23．（1）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若，求的度数；
（2）如图，已知，，求的度数．
24．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由．
(3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章相交线与平行线单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A D C C D B A
1．D
本题考查了平行的符号表示，属于基础知识．
直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案．
解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或．
故选：D．
2．A
本题考查了角的和差、垂直，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先求出，再根据垂直的定义可得，然后根据角的和差求解即可得．
解：∵直线经过点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．C
根据余角的定义，的余角等于减的度数，然后进行角度减法运算．
解：∵ 的余角 = - ，
∵ ，
∴ - = .
故选：C．
本题考查了余角、角度的四则运算，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据余角的定义、利用角度的四则运算即可得．
4．A
本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差，
先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选：A．
5．D
本题考查平行线的性质，角平分线，根据角平分线平分角，结合平行线的性质，进行判断即可．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即：图中与相等的角（不包含）的个数为4个；
故选D．
6．C
本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知，，由题可知，，可知，由平角为，可知的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键．
解：由折叠可知，，
，
，
，
故选：C．
7．C
本题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用、弄清截线与被截线是解题的关键．
根据平行线的定义可判定①；运用内错角相等、两直线平行可判定②③④．
解：由不等同于，故①不符合题意；
由，根据内错角相等、两直线平行可得，即②符合题意；
由，根据内错角相等、两直线平行可得，即③不符合题意；
由，根据内错角相等、两直线平行可得，即④符合题意；
所以能使的条件是②④．
故选：C．
8．D
本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键．
两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系，据此分析判断即可得．
解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角互补，因此的度数不能确定，
故选：D．
9．B
本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确．
解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误；
两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确；
根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确；
在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确．
综上所述，正确的说法有．
故选：B．
10．A
本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
解：当与在的两侧时，如图，
，，
，，
要使，则，
即，
解得：；
此时，
；
当旋转到与都在的上方时，如图②，
，，
要使，则，
即，
解得：，
此时，
，
秒的情形不存在，此时、、在一条直线上，不符合题意；
当旋转到与都在的下方时，如图，
，，
要使，则，
即，
解得：，
此时，
而，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为5秒时，与平行．
故选：A．
11．
根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答．
解：如，则；
如，则；
如，则；
如，则．
∴能判定的同位角有4组
故答案为：
本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键．
12．或
本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论．
如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案．
解：如图①，当时，；
如图②，当时，，
∵，
∴，
即当时，，
∴当的度数为或时，，
故答案为：或．
13．20°
本题考查了余角，解题的关键是利用了同角的余角相等的性质．
根据同角的余角相等可得．
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键．
先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线，相交于点，
∴，
故答案为：．
15．或/或
本题主要考查了几何图中的角度计算问题，角平分线的有关计算，平行线的判定和性质等知识，根据题意分两种情况，当射线在直线上方时和当射线在直线下方时，画出图形分别求解即可．
解：根据题意分两种情况：
当射线在直线上方时：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当射线在直线下方时：
同理可得出，，
∴
综上：的度数为或．
故答案为：或．
16．
本题考查了三角板的固定角度、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握平行线内错角相等，三角形外角等于不相邻两内角之和是解题的关键．
先明确三角板的固定角度，利用的平行线性质得到内错角相等，再结合三角形外角性质或角度和差求出的度数．
解：∵三角板为等腰直角三角形，
∴
∵三角板为含角的直角三角形，
∴
∵
∴
∵是的外角，
∴．
故答案为：．
17．（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
（1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．
（2）同理（1）中解答方法解答解答；
（3）同理（1）中解答方法解答解答．
解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有2对．
故答案为：4，2，2；
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．
故答案为：12，6，6；
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，
故答案为：，，．
18．（1），见解析；（2），见解析
本题考查平行线的判定，对顶角相等，邻补角互补，根据平行线的判定定理求解即可．
（1）根据对顶角相等得到，根据内错角相等，两直线平行求解即可；
（2）根据邻补角互补得到，根据同旁内角互补，两直线平行求解即可．
解：（1），
（对顶角相等），
，
理由：，
（内错角相等，两直线平行）；
（2），
；
；
理由：，
，
（同位角相等，两直线平行）．
19．(1)见解析
(2)
本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角平分线定义，垂线定义理解，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关定义．
（1）在以点O为角的顶点，为角的一条边，在上方作即可；
（2）先根据角平分线定义求出，再根据垂线定义得出，最后根据平角定义求出结果即可．
（1）解：如图，射线即为所求作的射线；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)
本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂线定义．
（1）根据对顶角相等得，进而利用角的和差即可得解；
（2）根据对顶角及邻补角定义得，，进而利用角平分线定义及垂直得，，即可得解．
（1）解：∵
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，，
∴，，
∴．
21．
本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键．
根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可．
解：，
答：的度数为．
22．(1)当时，．理由见解析
(2)当时，；当时，
（1）由于，，再利用旋转的性质得，根据内错角相等，两直线平行，当时，，则；
（2）根据内错角相等，两直线平行，当，；当时，，此时．
（1）解：当时，．
理由如下：∵，，而三角尺按顺时针方向旋转一个大小为的角得到三角形，
．
当时，，
此时，
即为时，．
（2）解：当时，；
当时，．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键．
23．（1）（2）
（1）利用垂直的定义得到直角，再结合邻补角的性质和对顶角相等来求解角度；
（2）通过同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质和邻补角的关系求解角度．
解：（1），
．
，
，
．
（2），
，．
，
．
本题考查了对顶角相等、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识点，解题关键是熟练运用角度关系和平行线的判定性质进行推导．
24．(1)
(2)是，理由见解析
(3)定值，
（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解；
（2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断；
（3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解．
本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键．
（1）解：,,
,
∵，
;
故答案为：．
（2）解：由（1）知当，，
,
∵平分，
,
,
是的平分线．
（3）解：设，则，
∵，
,
,
,
,
．
故答案为：定值，
