2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第八章实数单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
4．在实数、、0、、、中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．25
6．若a是的平方根，则（ ）
A．－3 B． C．或 D．3或－3
7．已知，，，则的值约是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
8．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
9．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
10．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．计算：
（1） ； （2） ．
12．比较大小： 5．（填“>”“<”或“＝”）
13．已知与互为相反数，则的值是 ．
14．若是的算术平方根，是的立方根，则 ．
15．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ．
16．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．求下列各式中的x的值：
(1)；
(2)
19．一块长方形空地面积为555平方米，其长宽之比为．
(1)求这块长方形空地的长和宽；
(2)在空地内修建“T字型”通道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为，花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为486平方米．请问宽度为2.49米的洒水车能不能在两个花坛之间的纵向通道上正常通行？
20．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”
(1)若，则的值是 ．
(2)若，求的立方根．
21．（1）如图，化简．
（2）已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．
22．如图所示，一个大长方形由一个大正方形、一个小正方形和一个阴影小长方形拼接而成．已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，求阴影部分小长方形的面积．
23．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，
②，
③，
④．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
24．规定：对于任意两个实数，代入代数式进行计算，计算的结果称为的“自胜数”，这种计算称为“自胜计算”．
(1)若实数满足，求实数的“自胜数”．
(2)已知实数在数轴上对应的点如图所示，则从这四个数中任选两个进行“自胜计算”，得到的“自胜数”最大值和最小值分别是多少？
(3)一组数：，，，，，，，，，，以两个数为一组，将这4050个数任意分成2025组进行“自胜计算”，并将这2025个“自胜数”相加，和为，求的最大值．(共6张PPT)
人教版2024 七年级下册
第八章 实数 单元测试·培优卷
分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 已知一个数的平方根，求这个数；求一个数的立方根
2 0.94 无理数的大小估算；实数与数轴
3 0.75 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知字母的值 ，求代数式的值；算术平方根和立方根的综合应用
4 0.75 实数的分类
5 0.65 已知一个数的平方根，求这个数
6 0.65 求一个数的平方根；求一个数的立方根
7 0.65 求一个数的立方根
8 0.65 与算术平方根有关的规律探索题
9 0.65 与实数运算相关的规律题
10 0.64 程序设计与实数运算；求一个数的算术平方根；求一个数的立方根
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 求一个数的立方根
12 0.75 实数的大小比较
13 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；利用算术平方根的非负性解题；相反数的定义
14 0.65 求一个数的算术平方根；求一个数的立方根
15 0.65 程序设计与实数运算；求一个数的算术平方根；求一个数的立方根；无理数
16 0.65 求一个数的立方根；数字类规律探索
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 实数的混合运算；求一个数的算术平方根；求一个数的绝对值；求一个数的立方根
18 0.75 利用平方根解方程
19 0.65 算术平方根的实际应用；实数的大小比较
20 0.65 相反数的定义；立方根概念理解；求一个数的立方根
21 0.65 算术平方根的实际应用；求一个数的平方根；整式的加减运算；求一个数的立方根
22 0.65 算术平方根的实际应用
23 0.64 数字类规律探索；求一个数的算术平方根
24 0.4 用数轴上的点表示有理数；新定义下的实数运算；带有字母的绝对值化简问题2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第八章实数单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D D C C D D A
1．A
本题考查平方根定义、立方根定义，熟记平方根定义及立方根定义是解决问题的关键．
根据平方根的定义，平方根为的数是25，再求25的立方根即可得到答案．
解：∵ 一个数的平方根是，
∴ 这个数为，
∴ 这个数的立方根为，
故选：A．
2．A
本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先求出的范围，再确定点的位置即可选择．
解：，
数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合，
故选：A．
3．B
本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可．
解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
,
故选：B．
4．D
本题考查了实数的分类，以及有理数的概念．
根据有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，判断每个数是否满足定义，并统计符合定义的个数，即可解题．
解：∵是无理数（5不是完全平方数），
（分数）是有理数，
0（整数）是有理数，
是无理数，
（整数）是有理数，
（有限小数）是有理数，
∴有理数有4个，
故选：D．
5．D
本题考查了平方根的性质．
根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可．
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴
解得：
∴m的值为：
故选：D．
6．C
本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键．
先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可．
解：∵ ，
∴ 是 9 的平方根，即 ，
当 时，，
当 时，，
∴ 或 ，
故选： C．
7．C
本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．
利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘．
解：∵ ，
又∵ ，，
∴ ．
故选：C．
8．D
本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键．
找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果．
解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，
∴第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
9．D
本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可．
解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选D．
10．A
本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．
根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答．
解：的算术平方根是，
∵是有理数，
∴取立方根为，
∵是有理数，
∴取算术平方根为，
∵是无理数，
∴．
故选：A．
11． 9
本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键．
计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数．
解：（1） ，
．
故答案为：；
（2），首先计算 ，
，，
，
，
故答案为：．
12．＜
本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数的大小比较方法．
通过比较平方值来判断大小即可．
解： ，，
，
．
故答案为：＜．
13．
本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可．
解：由题意得：，
∴
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
本题考查了立方根，算术平方根，根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，即可得出结果，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
解：∵是的算术平方根，
∴，
∴，
∵是的立方根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可．
解：输入x的值是64时，
则，
那么，
因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，
故答案为：．
16．32
本题考查了立方根，理解题目所提供的方法是解决问题的关键．
根据题目提供的方法，类推确定．
解：由，确定是两位数．
由32768的个位上的数是8，能确定的个位上的数是2．
如果划去32768后面的三位768得到数32，而，由此确定的十位上的数是3．
因此，32768的立方根是32．
故答案为：32．
17．
本题考查实数的混合运算，涉及幂运算、立方根、绝对值以及有理数的加减运算．需要分别计算各项：负一的幂、立方根、绝对值，然后按照运算顺序进行合并．解题关键是掌握各项的计算方法：注意，，以及由于，所以．
解：原式．
18．(1)或
(2)28
本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据算术平方根的定义求出x的值即可．
（1）解：，
，
，
或；
（2）解：，
，
．
19．(1)这块长方形空地的长为米，宽为米
(2)宽度为2.49米的洒水车能在两个花坛之间的通道上正常通行，理由见解析
本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握长方形的面积公式，算术平方根的定义，是解题的关键：
（1）这块长方形的长为米，则宽为米，根据面积公式列出方程进行求解即可；
（2）设花坛1的边长为米，则花坛2的长为米，宽为米，根据花坛的面积列出方程求出的值，比较长方形空地的长与正方形花坛的边长，长方形花坛的宽和洒水车的宽的和的大小关系即可．
（1）长方形空地长宽之比为，
设这块长方形的长为米，则宽为米，
由题意得，，解得：，
，，
答：这块长方形空地的长为米，宽为米．
（2）设花坛1的边长为米，则花坛2的长为米，宽为米，
由题意得，，解得：，
花坛1的边长为米，花坛2的宽为米，
，
，
，
．
宽度为2.49米的洒水车能在两个花坛之间的通道上正常通行．
20．(1)
(2)或或
（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可；
（）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解；
本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键．
（1）解：∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴的立方根等于它本身，
∴或或，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∵，
∴，
∴，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
∴的立方根是或或．
21．（1）；（2）
本题考查平方根的定义和性质，立方根的定义和性质，绝对值性质和算术平方根的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
（1）先根据数轴上点的位置确定出、、的符号，再利用绝对值性质和算术平方根的性质求解可得；
（2）根据平方根、立方根的意义求出、，即可解决问题．
解：（1）由数轴得：，，
，，．
原式
．
（2）的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
的平方根为，
的平方根为．
22．
本题考查算术平方根，掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．先求出两个正方形的边长，然后利用阴影部分小长方形的面积，即可求解．
解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，
，，
，
阴影部分小长方形的面积
23．(1)6，27
(2)
(3)
本题考查的是与算术平方根有关的数字规律问题，发现数字的变化规律是解题的关键．
（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）由（1）中代数式呈现的规律发现：每组算式的被开方数是序号×(序号)，结果是(序号)；
（3）直接利用上述规律计算即可求解．
（1）解：由题意得：；
；
（2）解：由题意得：；
（3）解：原式
．
24．(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
本题考查了新定义下的实数运算，绝对值的化简，数轴上点的表示，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．
（1）根据非负数的性质，可求出m，n的值，再根据自胜数的定义即可求解；
（2）根据数轴，可得，再根据自胜数的定义即可求解；
（3）根据自胜数的定义，由（2）可知，任意两个组合，尽可能将大数都作为“自胜数”，那么这些“自胜数”的和就最大，即可求解．
（1）解：由题意得：，，
解得：，
所以，
所以，
所以的“自胜数”为；
（2）解：由题意知，当时，的“自胜数”为，当时，的“自胜数”为，
因为，，
所以，，
，
所以，
所以从这四个结果中任选两个进行“自胜计算”得到的结果的最大值为，最小值为；
（3）解：由（2）可知，任意两个组合，尽可能将大数都作为“自胜数”，那么这些“自胜数”的和就最大，
所以①，
②，
得到．
