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北师大版2024 八年级下册
第二章 不等式与不等式组
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 不等式的解集
2 0.85 一元一次不等式的定义
3 0.75 在数轴上表示不等式的解集
4 0.65 求一元一次不等式的整数解；求一元一次不等式解的最值
5 0.65 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点；由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；求一次函数解析式；根据一次函数解析式判断其经过的象限
6 0.65 求不等式组的解集；由不等式组解集的情况求参数
7 0.65 由一元一次不等式组的解集求参数
8 0.65 一元一次不等式组的其他应用
9 0.64 一元一次不等式的定义
10 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；三线合一；判断一次函数的增减性
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 不等式的性质
12 0.75 不等式的性质；求一元一次不等式的解集
13 0.65 求一元一次不等式的整数解
14 0.65 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
15 0.65 求不等式组的解集；求一元一次不等式组的整数解；由不等式组解集的情况求参数
16 0.65 已知二元一次方程组的解的情况求参数；求一元一次不等式组的整数解；不等式组和方程组结合的问题
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 求一元一次不等式的解集；求一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集
18 0.75 用一元一次不等式解决实际问题
19 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；求一元一次不等式的解集；解一元一次方程（三）——去分母
20 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；求一次函数解析式
21 0.65 求一元一次不等式的解集；不等式组和方程组结合的问题
22 0.65 不等式组的方案选择问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
23 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用；用一元一次不等式解决几何问题
24 0.64 销售盈亏(一元一次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用；用一元一次不等式解决实际问题2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二章不等式与不等式组单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C D D B B A D
1．A
本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．
解：A、中包含，符合题意；
B、中不包含，不符合题意；
C、中不包含，不符合题意；
D、中不包含，不符合题意；
故选：A．
2．A
本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可．
解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式；
B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式；
C、，没有不等号，故不是一元一次不等式；
D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式；
故选：A．
3．D
本题考查了不等式的解集，，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
根据不等式的正整数解只有，，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即可解决问题．
解：A、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意；
B、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意；
C、不等式的解集为，正整数解为：，不符合题意；
D、不等式的解集为，正整数解为：，，符合题意；
故选：D．
4．C
首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
5．D
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，以及利用一次函数图象解不等式等知识，求出函数解析式是解答本题的关键．
先求出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质逐项分析即可．
解：由题意，得
，
解得，
∴．
A．∵，∴图象不经过第四象限，故正确；
B．∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故正确；
C．令，解得，∴方程的解是，故正确；
D． 令，解得，∵函数值随自变量的增大而增大，∴不等式的解集是，故不正确；
故选D．
6．D
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可．
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集是，
∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，
∴该不等式组的整数解是或，
∴或，
解得或．
故选：D．
7．B
本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围．
解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为；
∵有且只有两个整数解，
∴整数解为和；
∴；
∴；
故选：B．
8．B
本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
解：由题意得，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴，
故选：B．
9．A
本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解．
解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义．
B选项：是等式，不是不等式，不符合定义．
C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求．
D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求．
故选：A．
10．D
本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，等腰三角形的性质．根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；如图，过作于，证明，求解，，结合当时，，再进一步求解即可．
解：∵一次函数经过第一、二、四象限，
∴，
∴随x的增大而减小；所以①正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
结合图象可得：当时，，故②错误；
∴时，，
整理得，所以③正确；
如图，过作于，
∵，
∴，
当时，，，
∴，，
∵当时，
∴
∴即．故④正确；
故选：D．
11．
本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键．
根据不等式的性质即可求解．
解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以，
∵不等号由“”变成“”，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解．
解：∵的解集为，
．
当时，解不等式，得．
又该不等式的解集为，
，
解得．
检验：符合题意，
故答案为：．
13．1
先将已知的解代入不等式，得到一个关于的不等式，再解这个不等式，最后在解集中找到最小的整数解．
解:∵是不等式的一个解，
∴代入得：．
即，
移项得：
，
，
两边同时除以（不等号方向反转）：
，
∴．
故整数的最小整数解是．
故答案为:．
本题考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是准确代入解并正确解不等式，注意在不等式两边除以负数时要改变不等号的方向．
14．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
先求出函数解析式，再写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：将代入得，
，
当时，．
所以关于的不等式的解集是．
故答案为：．
15．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题．
解：解不等式得，；
解不等式得，，
所以不等式组的解集为：，
则此不等式组的整数解为0，1．
又因为此不等式组的整数解均满足不等式组，
所以，
解得．
故答案为：．
16．
本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可．
解：
得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为，
故答案为：．
17．（1），图见解析
（2），最小整数解为，图见解析
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可；
（2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可．
解：（1），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
数轴表示如下：
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
数轴表示如下：
则这个不等式的最小整数解为．
18．至少需要购买35只茶杯
本题考查一元一次不等式的应用．根据题意列不等式，求最小整数解即可．
解：根据题意得，
解得：，
∵为整数，
∴的最小值为35，
∴至少需要购买35只茶杯．
19．(1)
(2)
本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去分母，再移项，合并同类项，即可作答．
（2）与（1）同理得，结合方程的解是正整数，得，故，又因为为正整数，解得，即可作答．
（1）解：∵，
去分母得，
移项得，
合并同类项得；
（2）解：设被遮挡的正整数是，
∴，
去分母得，
移项得，
合并同类项得；
∵方程的解是正整数，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，
即被遮挡的正整数是．
20．(1)
(2)
本题考查了一次函数、待定系数法、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先利用正比例函数解析式确定，然后利用待定系数法求直线的表达式；
（2）结合函数图象，写出在轴右侧，直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
（1）解：把代入得：
，
解得：，
，
把，分别代入得：
，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：由图象知：当时，，
不等式的解集为．
21．(1)
(2)整数的值为，
本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键．
（1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围；
（2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可．
（1）解：
①+②，得，
解得．
，
，
，．
（2）解：移项，得．
的解集为，
，
．
，
，
∴整数的值为，．
22．(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确
(2)5种
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答；
（2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，根据采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答．
（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，
依题意得，
解得，
∵，，
∴采购经理的估计正确，
答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确．
（2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，
依题意得，
解得，
∵a为整数，
∴，4，5，6，7，
答：该企业有5种可行的采购方案．
23．(1)
(2)的值为或
(3)
本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论．
（1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解；
（3）根据当时，，当时，，即可求解．
（1）解：，，
点整个运动过程中，路程为，
点整个运动过程中，所需时间为秒，
故 答 案 为：；
（2）当在上运动时，，
解 得：，
当在上运动时，，
解得：，
综上可得的值为或；
（3）当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上可得：．
24．(1)总费用是1700元；
(2)当订购跳绳40根时，甲、乙总费用相同．
(3)当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式．
（1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可；
（2）设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（3）根据题意列出不等式求解即可．
（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二章不等式与不等式组单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知一次函数（、是常数）的图象经过点和点，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．图象不经过第四象限 B．函数值随自变量的增大而增大
C．方程的解是 D．不等式的解集是
6．若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
10．一次函数与的图象位置如图，下列结论：
①随x的增大而减小；
②当时，；
③；
④当是以为底边的等腰三角形时，．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为 ．
12．已知为非零实数，若的解集为，则 ．
13．已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ．
14．在平面直角坐标系中，直线经过点，则关于的不等式的解集是 ．
15．不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ．
16．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
18．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法：
（1）买一只茶壶送一只茶杯；
（2）按总价的付款．
现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？
19．小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡
(1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程．
(2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？
20．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)结合图象，写出不等式的解集．
21．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式．
(1)求实数的取值范围．
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值．
22．海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元．
(1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确；
(2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案．
23．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
24．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
(1)若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
(2)当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
(3)根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
