2025-2026人教版八年级数学分层精练精析专题 勾股定理的应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
专题 勾股定理的应用
1．如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，平分，点为边上一点，连接．若，则的长是 ．
4．如图，在中，，是的角平分线，，，若，则的长为 ．
5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ．
6．如图，在中，于点，且．
(1)求证∶．
(2)若，求的长．
解题策略：
在非直角三角形中求线段长度时，可以根据题意作垂线构造直角三角形，运用勾股定理求解。
1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（ ）
A．121 B．146 C．169 D．196
4．如图，在中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为 ．
5．三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，，，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：．
(1)若，则 ；
(2)如果大正方形的面积是 13，，求小正方形的面积．
6．如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：
错题：如图，在中，已知，，，求的面积．
分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．
正解：
解：过点作交的延长线于点，
……
(1)根据勾股定理可得，______或______．（用含的代数式表示）
(2)请你补全上面的过程，并求出的面积．
解题策略：
求图形面积时，可以通过作高或延长相交来构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长，注意构造直角三角形时不要破坏已知条件中的特殊角或已知边。
1．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在的正方形网格中，已知的顶点均为格点，仅用无刻度的直尺完成如下作图，（在答题卷上完成作图）
(1)在上作点D，连接，使得（在图1中完成）；
(2)在上作点E，使得平分（在图2中完成）．
3．如图，在的方格中，已知点A，B，C都在格点上．请仅用一把无刻度的直尺按要求作图，分别画出线段的垂直平分线和的平分线．（温馨提示：请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．
4．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）．
(1)线段的长度为_________；
(2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线．
5．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长．
6．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
(1)在图中，作的中线；
(2)在图中，在上画一点，使；
(3)已知点是边上任意一点，在图3中，在上画一点，使．
(4)已知点是边上任意一点，在图中，为格点，在上画一点，使最小．
解题策略：
网格中线段长度的计算：以网格中的网格线为直角边、所求线段为斜边，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
网格中作符合条件的三角形：以网格中的网格线为直角边，构造勾股定理确定线段的长度，解题的关键是确定每一条边所在的直角三角形。
1．如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：．
2．已知如图所示．
(1)若，，边上的高，求边的长．
(2)若，为上的任意一点，求证：．
3．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：．
4．【问题探究】
（1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由．
5．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
6．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F．
(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，若，求证：．
解题策略：
看到已知条件中出现线段的平方，或者证明结论中出现线段的平方，往往需要从勾股定理入手，找出直角三角形中的三边关系，其中往往会用到线段的等量代换。
1．如图，在中，，是的角平分线，，，若，则的长为 ．
2．如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ．
3．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ．
4．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长．
5．综合与探究
如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．
(1)求边的长．
(2)如图，若为的中点．求证：．
(3)如图，若为的中点．
试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段的长．
6．如图，已知，，点是线段的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)如果，求四边形的周长；
(3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明．
解题策略：
用勾股定理解决折叠问题的技巧
找等量关系，先由折叠的性质找出相等的线段和角
构造方程，一般地，折叠后形成的直角三角形的两条直角边之和以及第三边的长度为已知，此时若设其中一边是x，则另一边能用含x的式子表示，再结合已知的第三边长根据勾股定理列方程。
解方程，求出问题的答案。
1．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是 ．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
3．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径长为 ．
4．如图，某古建筑中有一根高的柱子，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达点正上方的点处．若柱子的底面周长为，则雕刻在柱子上的巨龙的长最短为 ．
5．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为 m．
6．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
7．阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．
方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由．
【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值．
解题策略：
解决几何体表面上的最短路径问题的关键是转化，即将立体图形问题通过展开转化为平面图形问题，根据平面上“两点之间线段最短”确定最短路径，连接起点与终点所得线段作为三角形的一条边，以此边构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径。
1．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
2．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是 m．
4．阅读相关材料，完成问题解决．
用勾股定理解析梯子作业“”安全法则
背景材料 国际职业安全与健康标准规定：梯子作业需遵循“安全倾斜法则”，即梯子底端的离墙距离等于顶端离地高度的，该法则的作用在于通过精准控制梯子的倾斜度，防范各类作业安全隐患．
问题情境 工人师傅要安装高的室内灯带，现有两架长度分别为，的梯子．
问题解决 （1）当采用长度为的梯子时，若梯子顶端刚好达到高度，请通过计算说明梯子作业是否符合“安全倾斜法则”；（2）在满足“安全倾斜法则”的前提下，请通过计算说明长度为的梯子顶端能否抵达高的灯带位置．
5．综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．
【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为．
（1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______．
【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距．
（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），
另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
6．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？
7．如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
专题 勾股定理的应用（解析版）
1．如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
2．在中，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理.在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，已知斜边，直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度.掌握勾股定理是本题的解题关键．
【详解】解：∵在中，，
∴为斜边，
由勾股定理得：
代入已知值：，即
∴
∴．
故选：D．
3．如图，在中，，，平分，点为边上一点，连接．若，则的长是 ．
【答案】
【分析】如图，过作于，过作于，利用，可得，求解，证明，，，可得，设，则，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，即，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．如图，在中，，是的角平分线，，，若，则的长为 ．
【答案】44
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，利用翻折变换求解．
将沿着翻折，则落在上，点的对应点记为点，连接，记交点为点，则，，，，，导角证明，设，则，在和中，由勾股定理得，求出，再由求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线
∴，
将沿着翻折，则落在上，点的对应点记为点，连接，记交点为点，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在和中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，用含的式子表示和，最后在中利用勾股定理列方程求解．
本题主要考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的内容以及线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键．
【详解】解：连接．
∵在中，，，，
∴根据勾股定理．
∵是的垂直平分线，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
所以．
故答案为：．
6．如图，在中，于点，且．
(1)求证∶．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是熟练应用知识点进行论证；
（1）根据平行线的性质得出，结合，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，然后利用勾股定理可得，最后利用即可求出结果．
【详解】（1）证明∶∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（）．
（2）解∶∵，
∴，
∵在中，，
∴．
解题策略：
在非直角三角形中求线段长度时，可以根据题意作垂线构造直角三角形，运用勾股定理求解。
1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解．
【详解】解：设，，，
∴依题意得：，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故选：A．
2．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案；
【详解】解：由勾股定理得，
，
∵中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，
∴
∴，
即
∵，
∵，
∴
∴阴影部分的面积，
故选：A．
3．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（ ）
A．121 B．146 C．169 D．196
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理；先求出小正方形的边长，再求出直角三角形的长直角边，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵小正方形的面积是36，
∴小正方形的边长为，
∵直角三角形的短直角边是5，
∴直角三角形的长直角边是，
∴大正方形的面积为，
故选：B．
4．如图，在中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积；由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵在中，，
由勾股定理得，,
结合正方形的面积可知，即，
又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高，
∴，
∴，
故答案为：．
5．三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，，，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：．
(1)若，则 ；
(2)如果大正方形的面积是 13，，求小正方形的面积．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
（1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题；
（2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积．
【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∵，，
∴
∴，
故答案为：；
（2）∵大正方形的面积，，
∴，
∴（负值已经舍去），
∴小正方形的面积．
6．如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：
错题：如图，在中，已知，，，求的面积．
分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．
正解：
解：过点作交的延长线于点，
……
(1)根据勾股定理可得，______或______．（用含的代数式表示）
(2)请你补全上面的过程，并求出的面积．
【答案】(1)；
(2)过程见解析，
【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键；
（1）分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，可求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴或；
故答案为：；；
（2）解：在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴，
解得：，
∴，
∴．
解题策略：
求图形面积时，可以通过作高或延长相交来构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长，注意构造直角三角形时不要破坏已知条件中的特殊角或已知边。
1．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可．
本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
，是无理数，符合题意；
故选：D．
2．如图，在的正方形网格中，已知的顶点均为格点，仅用无刻度的直尺完成如下作图，（在答题卷上完成作图）
(1)在上作点D，连接，使得（在图1中完成）；
(2)在上作点E，使得平分（在图2中完成）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线，等腰三角形的性质，无刻度直尺作图，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）过的中点P作水平线，交于点D，连接；
（2）在延长线上取点M，使得，连接，取的中点N，连接，交于点E．
【详解】（1）解：过的中点P作水平线，交于点D，连接，
根据图形可知，点之间有4个格子，则中点P在格点上，过点P作水平线，
，
，
，即为线段的垂直平分线，
．
（2）解：在延长线上取点M，使得，连接，取的中点N，连接，交于点E，
设小正方形的边长为1，根据图形可知，
根据勾股定理可知，
在延长线上取点M，使得，
则，
取的中点N，连接，根据等腰三角形三线合一，可得，
平分．
3．如图，在的方格中，已知点A，B，C都在格点上．请仅用一把无刻度的直尺按要求作图，分别画出线段的垂直平分线和的平分线．（温馨提示：请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了使用无刻度的直尺作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及等腰三角形的性质．
取格点，连接，则直线即为所求，由勾股定理可得，则由线段垂直平分线的判定可得线段的垂直平分线即为直线；由网格特征可得共线，根据勾股定理可得，，则由等腰三角形的性质可得平分．
【详解】解：如图，直线，射线即为所求；
4．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）．
(1)线段的长度为_________；
(2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线．
【答案】(1)5
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理求出线段的长度即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可．
【详解】（1）解：，
即线段的长度为5．
（2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线．
根据图形可得：，
∴，
∵，
∴平分．
5．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长．
【答案】作图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先作出，再根据，取格点，作线段，取格点，使得，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，最后由勾股定理计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，即为所求，
，
先作出，
再根据，取格点，作线段，取格点，使得，
以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，
由勾股定理可得．
6．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
(1)在图中，作的中线；
(2)在图中，在上画一点，使；
(3)已知点是边上任意一点，在图3中，在上画一点，使．
(4)已知点是边上任意一点，在图中，为格点，在上画一点，使最小．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)见解析．
【分析】本题考查了三角形的中线，轴对称的性质，网格与勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据网格的特点确定的中点，连接即可求解；
（）取格点，构造等腰直角，连接，交于点，通过等腰直角三角形的性质得点即为所求；
（）取格点，使得，连接交于点，连接，延长交于点，连接，延长，交于点，由全等三角形的判定与性质，平行线的判定可得点即为所求；
（）取格点，由网格可得点与点关于对称，连接，交于点，根据轴对称的性质和两点之间线段最短得点即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点即为所求；
（4）解：如图，点即为所求．
解题策略：
网格中线段长度的计算：以网格中的网格线为直角边、所求线段为斜边，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
网格中作符合条件的三角形：以网格中的网格线为直角边，构造勾股定理确定线段的长度，解题的关键是确定每一条边所在的直角三角形。
1．如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题主要考查了三线合一、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个性质是解题的关键．
先连接，根据三线合一，得出，证明，再通过边相等和全等性质推出，得出，推出，最后根据勾股定理和等量代换求解即可．
【详解】解：证明：连接，
∵，于点，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵与交于点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
又∵，
∴，即，
∴．
2．已知如图所示．
(1)若，，边上的高，求边的长．
(2)若，为上的任意一点，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长；
（2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明．
【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点．
在中，．
在中，，
．
（2）证明：如图②，连接，过点作，交于点．
，，
，
在中，．
同理，，
．
又，，
，
．
【点睛】
3．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】证明：在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴．
4．【问题探究】
（1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解
【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒
（1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明；
（2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒
【详解】解：（1）∵点为直角边的中点，
∴，
∵在中，为斜边，
∴，
，
在中，，
∴，
即，
∴，
即；
（2）观景小道的长度是为定值，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴米，
∴观景小道的长度是为定值，定值为650米．
5．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ，
，，，
，
．
．
（2）由（1）知，
∵在等腰中，，
．
，
．
．
，
．
6．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F．
(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，若，求证：．
【答案】(1)7
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）先计算，结合，计算，再求的长；
（2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，在上截取，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
解题策略：
看到已知条件中出现线段的平方，或者证明结论中出现线段的平方，往往需要从勾股定理入手，找出直角三角形中的三边关系，其中往往会用到线段的等量代换。
1．如图，在中，，是的角平分线，，，若，则的长为 ．
【答案】44
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，利用翻折变换求解．
将沿着翻折，则落在上，点的对应点记为点，连接，记交点为点，则，，，，，导角证明，设，则，在和中，由勾股定理得，求出，再由求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线
∴，
将沿着翻折，则落在上，点的对应点记为点，连接，记交点为点，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在和中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵将进行折叠，使顶点重合，
∴，，
设，在中，，
∴，
解得：，
则，
∴在中，，
故答案为：．
3．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．
通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度．
【详解】解：∵四边形是长方形，且，，
∴，，，
设，
∴，
由折叠性质得：，，，
∵直线恰好经过点B，
∴，
∴和都是直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：2．
4．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题．
设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设，
，
由折叠可知，
∵四边形是长方形，，
，
，
解得：，
的长为10．
5．综合与探究
如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．
(1)求边的长．
(2)如图，若为的中点．求证：．
(3)如图，若为的中点．
试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析；
【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可；
（2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证；
（3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解．
【详解】（1）解：，满足，，，
，，
，，
在中，，
；
（2）证明：如图，连接交于点，
沿折叠得，
，，垂直平分，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作交延长线于点，连接，
，即，
，
，，
为的中点．
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
在中，，
；
如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，，
，，
，，
，，
设，则，
在中，，
即，解得，
，
，
设，则，
由知，，
又，
，
即，解得，
．
【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键．
6．如图，已知，，点是线段的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)如果，求四边形的周长；
(3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明．
【答案】(1)见解析
(2)14
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点．
（1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明；
（2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长；
（3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可．
【详解】（1）证明：过点作于点，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
（2）解：过点作于点，
在和中，
，
∴（直角三角形全等的判定定理），
∴，
同理可证明，
∴，
∵，，，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长；
（3）解：，理由如下：
由翻折可得，，
∵，
∴（直角三角形全等的判定定理）
∴
由（2）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴．
解题策略：
用勾股定理解决折叠问题的技巧
找等量关系，先由折叠的性质找出相等的线段和角
构造方程，一般地，折叠后形成的直角三角形的两条直角边之和以及第三边的长度为已知，此时若设其中一边是x，则另一边能用含x的式子表示，再结合已知的第三边长根据勾股定理列方程。
解方程，求出问题的答案。
1．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果．
【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开，
则有，，，
作点关于的对称点，作交的延长线于点，
则，，
，
．
故选：A．
2．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是 ．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径．
先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解．
【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则，
所以，
根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，
在中，，根据勾股定理得，
故答案为：．
3．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径长为 ．
【答案】10
【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：平面展开图为：
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．解决本题的关键是熟练掌握立体图形中两点间最短路径问题的计算方法．
4．如图，某古建筑中有一根高的柱子，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达点正上方的点处．若柱子的底面周长为，则雕刻在柱子上的巨龙的长最短为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
根据题意可得，底面周长为，柱身高为，
有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，
，，
，
故雕刻在木柱上的巨龙至少为，
故答案为：5．
5．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为 m．
【答案】
【分析】可将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将墙面与地面展开如图，
过点作于点，连接，管道沿铺设长度最短．
在中，，，
．
在中，，，
．
故管道的长度最短为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面展开 最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
6．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为
【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质；
任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解；
任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解；
任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：任务一，如图
依题意，
∴；
任务二：小星的猜想对，理由如下，
如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵，
∴
依题意，
在中，，
在中，
∴
∴是等边三角形
∴
又∵
∴，
∴
即平分，
任务三：
如图，连接，过点作于点，
∵，
∴
依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，
∴
∴
设，则，
在中，，在中，
∴
∴
解得：，即
∴
∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为．
7．阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．
方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由．
【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3）
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解．
（1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解；
（2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可；
（3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可．
【详解】解：（1）由轴对称的性质可得，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点；
（2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为
∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴最小值为；
（3）解：∵，
∴代数式的值表示点到点和点的距离之和，
设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，
∴，
∴代数式的最小值为．
解题策略：
解决几何体表面上的最短路径问题的关键是转化，即将立体图形问题通过展开转化为平面图形问题，根据平面上“两点之间线段最短”确定最短路径，连接起点与终点所得线段作为三角形的一条边，以此边构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径。
1．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米，
∴米，
∴米，
∴小鸟至少飞行米，
故选：B．
2．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
由题意，得，，．
在中，，
．
在中，，
．
故甲树原来的高度是．
故选：C．
3．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是 m．
【答案】1200
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理在直角三角形中的应用是解题的关键．
设航行时间为秒，用表示与的长度，在中用勾股定理列方程求，再计算乙航行的距离．
【详解】解：∵甲、乙两客轮同时从港口出发，航行时间相同，设为秒
∴甲客轮航行的距离米，乙客轮航行的距离米
∵，且两地的直线距离米
∴在中，根据勾股定理，有
∴
∴
∴
∴
∴秒。
∴乙客轮航行的距离是
故答案为： 1200．
4．阅读相关材料，完成问题解决．
用勾股定理解析梯子作业“”安全法则
背景材料 国际职业安全与健康标准规定：梯子作业需遵循“安全倾斜法则”，即梯子底端的离墙距离等于顶端离地高度的，该法则的作用在于通过精准控制梯子的倾斜度，防范各类作业安全隐患．
问题情境 工人师傅要安装高的室内灯带，现有两架长度分别为，的梯子．
问题解决 （1）当采用长度为的梯子时，若梯子顶端刚好达到高度，请通过计算说明梯子作业是否符合“安全倾斜法则”；（2）在满足“安全倾斜法则”的前提下，请通过计算说明长度为的梯子顶端能否抵达高的灯带位置．
【答案】（1）不符合法则；（2）梯子顶端能抵达高的灯带位置
【分析】此题考查了勾股定理的应用和算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是关键．
（1）利用勾股定理求出梯子底端的离墙距离，再按“安全倾斜法则”求出梯子底端的离墙距离，比较后即可得到结论；
（2）设梯子顶端离地高度为，按“安全倾斜法则”，则底端离墙距离为．
由勾股定理，得．比较后即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意，得梯子底端的离墙距离．
按“安全倾斜法则”，梯子底端的离墙距离应为．
因为，所以，不符合法则．
（2）设梯子顶端离地高度为，按“安全倾斜法则”，则底端离墙距离为．
由勾股定理，得．
解得，
则．
因为，所以．
所以，梯子顶端能抵达2.4m高的灯带位置．
5．综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．
【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为．
（1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______．
【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距．
（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），
另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
【答案】（1）15；（2）旗杆b的高度为12米；（3）旗杆c的高度为12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可解答；
（2）设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，根据勾股定理列方程即可解答；
（3）设米，米，根据题意列出方程组即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得旗杆a的高度为米，
故答案为：；
（2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，
依题意可得：，
解得：．
答：旗杆b的高度为12米．
（3）解：设米，米，
则可得：
，
解得：．
答：旗杆c的高度为12米．
6．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车超速行驶
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．
【详解】解：∵是直角三角形，，
∴，
∴小汽车的速度为，即．
∵，
∴这辆小汽车超速了．
7．如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由．
【答案】火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而等面积法求得，与比较大小，即可求解．
【详解】解：火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由如下，
如图，过点作于点，
∵与恰好互余，即，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)