2025-2026人教版八年级数学分层精练精析章末复习（二）勾股定理（含答案）

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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（二）勾股定理
考点1勾股定理的认识与证明
1．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
2．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
3．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
4．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F．
(1)求证：；
(2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．
考点2 勾股定理及其应用
1．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ）
A． B． C． D．
2．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（ ）
A．8 B． C．10 D．12
3．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．北偏西方向上
4．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
5．以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则 ．
6．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米．
7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行．
(1)请画出关于轴对称的的坐标为 ；
(2)直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点(保留作图痕迹)，的周长的最小值是 ．
8．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离．
9．为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米．
(1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度；
(2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条）
10．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
11．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
12．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
考点3 勾股定理的逆定理及其应用
1．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．
2．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　）
A．两角互余的三角形是直角三角形
B．有一个角是直角的三角形是直角三角形
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
4．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ．
5．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）．
(2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上．
6．如图，为了使居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，．已知，之间的距离为米，为地下管道，分叉口与之间的距离为米，于点，到的距离为米，假设所有管道的材质相同．李华认为从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断李华的观点是否正确．
7．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用．
8．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖．
(1)的度数为_____；
(2)村庄距省道的最短距离为_____；
(3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间．
9．某公园是人们健身散步的好去处，从点到点有两条路线，分别是和．经测量米，米，点在点的正东方120米处，点在点的正北方50米处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算，请你求出点到路线的最短距离．
10．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．
(1)试说明：；
(2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
1．小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
2．项目化学习
项目背景：如图1，学校有一块三角形空地，在边上有一点，在边上有一点，学校决定在范围内种植谷物，在剩余空地上需要分割出一块三角形空地种植玉米（点为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同．李老师决定带同学们就“三角形的分割”展开项目化学习并形成如下报告．
项目主题 利用所学知识对三角形分割与计算
驱动问题 如何在三角形空地上分割出一块三角形空地种植玉米，使其面积与种植谷物的三角形面积相同
活动内容 利用所学知识对三角形地块进行测量、分割与计算
活动过程 数据测量 ，米，米，米，米，
方案设计 勤奋小组的方案 梦想小组的方案
如图，在边上取一点，在边上选取点．当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同． 如图3，选取的中点、连接．选取的中点．连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．
计算 …
展示交流 …
请根据上述数据，计算：
(1)勤奋小组的方案中的长．
(2)请说明梦想小组的方案的正确性．
3．阅读与思考
下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
借助网格解几何题在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题．例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______．直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长．
任务：
(1)图2中，______；
(2)借助网格解决以下问题：
如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长．
①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上；
②直接写出线段的长；
(3)反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？
4．晋中市教育局首届中小学科技教育比赛于12月20日圆满落幕，其中无人机足球对抗赛需选手具备空间几何与无人机实操结合的能力．你是一名无人机测绘员，正在为一个新建的无盖正方体储物仓做竣工测绘．这个储物仓的每个面都是边长为1米的正方形．
在立体结构中，你需要记录从仓体正面左上角点，到右侧面右上角点的这条斜线的角度．为了后续在平面图纸上精准标注这条斜线，你把储物仓的外壁展开成了平面展开图（图2），、、三点在展开图中对应为、、．
请你判断：立体储物仓上的，和平面展开图里的，这两个角的大小有什么关系？并说明理由．
5．阅读与探究
下面是小文写的一篇数学小论文的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
探究点运动中的数学问题问题背景：平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，其核心是平面内的点与用有序数对表示的坐标的一一对应，借助平面直角坐标系，可以用代数方法刻画几何对象的特征．下面借助坐标定义点的两种运动方式：在平面直角坐标系中，从点运动到点称为一次甲方式；从点运动到点称为一次乙方式．概念理解：已知点从原点出发连续运动2次，若两次运动都是甲方式，运动得到点；若两次运动都是乙方式，运动得到点．拓展探究：……
任务：
(1)若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为___________；若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为___________；
(2)已知点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点；若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点．请直接写出点的坐标，在如图的坐标系中画出点，标明字母，并求两点之间的距离；
(3)已知点从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点．设按甲方式运动了次为整数，且）．
①请用含的代数式表示点的坐标___________：
②在（1）（2）的基础上，直接写出当，且的面积是面积的时，的值．
6．项目背景：为了培养学生的动手实践能力，老师组织同学们到劳动实验基地开展了水管铺设方案的实践活动，记录如下表：
项目 铺设水管的测量和计算
驱动任务 利用勾股定理对铺设水管的测量和计算
测量示意图及说明 说明：A，B两点分别表示八（1）班和八（2）班实验基地的位置，点C为自来水的位置，已知，是已铺好的水管，现需沿着路线铺设一段水管，点A，B，D在同一直线上
测量数据 经测量米，米，于点C，于点D
小组交流 ……
请根据表中数据，求铺设水管的长．
7．综合与探究
问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫做“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题．
概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则，；
（2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由；
探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长．
8．实践活动：用长方形剪拼正方形．
数学思考：（1）图1是一张长为5，宽为1的长方形纸片．将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形，这个正方形的边长为 ；
操作探究：（2）图2是一张长为5，宽为2的长方形纸片．请将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形．
①新正方形的边长为 ；
②图3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在图3中用实线画出拼接成的新正方形及所有的拼接线．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（二）勾股定理（解析版）
考点1勾股定理的认识与证明
1．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论．
【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为，
，展开化简得，可以验证勾股定理．
对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为，
，
展开化简得，可以验证勾股定理．
对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理．
对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为，
，
化简得，可以验证勾股定理．
故选：C．
2．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，
故A不符合；
，
所以，
即，
故B不符合；
，
所以，
即，
故C不符合；
图D不能推导出勾股定理，
故D符合，
故选：D．
3．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法．
根据列出关系式，进而得出结论．
【详解】证明：如图．，
，
，
．
4．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F．
(1)求证：；
(2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证；
（2）根据，将代入，即可求证．
【详解】（1）证明：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：∵，
∴，
根据图形可知，
即，
∴．
考点2 勾股定理及其应用
1．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
【详解】解：四边形为矩形，
；；
由题意得：，
设，则；
由勾股定理得：，
，
；
在中，由勾股定理得：
∴，
解得：，
．
故选：B．
2．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（ ）
A．8 B． C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果．
【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为，
根据图2，正中心正方形的边长，
∴．
∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即，
∴，
即，解得，则．
观察火箭图案可知，火箭的高度；
故选：C．
3．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．北偏西方向上
【答案】B
【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角；
本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意，得，，，，．
，，
，
是直角三角形，
．
，
，
，
∴此时甲船位于岛的北偏西方向上．
故选：B．
4．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用——最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，则将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答即可，熟练掌握知识点的应用解题的关键．
【详解】解：如图，
∴，，由勾股定理得：；
如图，
∴，，
由勾股定理得，；
如图，
∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
∴，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是，
故选：．
5．以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米．
【答案】7
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法；
先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为，
故答案为：7．
7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行．
(1)请画出关于轴对称的的坐标为 ；
(2)直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点(保留作图痕迹)，的周长的最小值是 ．
【答案】(1)作图见解析；；
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了轴对称变换的作图、平面直角坐标系中对称点的坐标特征以及最短路径问题，核心知识点为轴对称的性质与勾股定理的应用．
（1）根据关于轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”的特征，找到各顶点的对称点，连接得到，进而确定的坐标；
（2）的周长为，其中为定值，因此只需最小化．利用轴对称的性质，作点关于直线的对称点，则，此时，当为与直线的交点时取等号，再通过勾股定理计算和的长度，相加得到周长的最小值．
【详解】（1）解：分别作出点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，得到．
可知的坐标为；
故答案为：．
（2）解：作点关于直线的对称点；②连接，与直线交于点，此点即为使周长最小的点．
，，
的周长的最小值．
故答案为：．
8．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，，
在中，，
，
．
答：绳子的总长度为．
（2）解：由题意得，，
，
由（1）得，绳子的总长度为，
，
在中，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
9．为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米．
(1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度；
(2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条）
【答案】(1)旗杆的高度为12米
(2)测量长度有误差（答案不唯一）
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：
（1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可；
（2）根据可能产生误差的原因，作答即可．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为，
由勾股定理，得：，
解得；
答：旗杆的高度为12米；
（2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）．
10．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可．
【详解】解：过B作于D，
∴，，
∴（），
在中，，
∴（），
答：至少需要的彩旗带．
11．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
【答案】(1)旗杆在距离地面处折断
(2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键．
（1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度．
（2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解．
【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为，
由勾股定理，可得，
解得．
答：旗杆在距离地面处折断．
（2）解：，
，
，
由勾股定理，可得，
，
行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．
答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．
12．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)的长为
(2)市受到台风影响的时间持续小时
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键．
（1）使用勾股定理直接计算即可；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间．
【详解】（1）解：由题意可得，，
在直角中，．
答：的长为．
（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、，
由题意可知，台风在段时，对市有影响．
在直角中，，
同理，，
∴，
∴影响持续的时间为．
答：市受到台风影响的时间持续小时．
考点3 勾股定理的逆定理及其应用
1．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，以及三角形的内角和为．用勾股定理的逆定理，即可判断A；根据三角形的内角和即可判断B、C、D．
【详解】解：A、∵，
∴是直角三角形，该选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，该选项不符合题意；
C、∵，，
∴，解得：，
∴是直角三角形，该选项不符合题意；
D、设，，，则，
解得：，
∴，
∴不是直角三角形，该选项符合题意；
故选：D．
2．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，且，
是等腰直角三角形，且，
故选：B．
3．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　）
A．两角互余的三角形是直角三角形
B．有一个角是直角的三角形是直角三角形
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为，
∵，
所以以为边长的三角形是直角三角形．
即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
故选：D.
4．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ．
【答案】114
【分析】连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积．
【详解】解：如图，连接．在中，，
．
，，，
．
为直角三角形，且．．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积．
5．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）．
(2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可．
（1）根据题意作符合要求的直角三角形即可；
（2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可．
【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）；
（2）解：即为所求（答案不唯一）．
6．如图，为了使居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，．已知，之间的距离为米，为地下管道，分叉口与之间的距离为米，于点，到的距离为米，假设所有管道的材质相同．李华认为从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断李华的观点是否正确．
【答案】李华的观点正确，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键．因为，故利用勾股定理进行列式求得的长，根据，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可．
【详解】（1）解：李华的观点正确．理由如下，
∵，
∴．
在中，，
由勾股定理得，
∴．
在中，
由勾股定理得．
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是垂线段，
∴是这些管道中最省材料的，即李华的观点正确．
7．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用．
【答案】17100元
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形和的面积之和．
先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积
，
∵运动型塑胶地板每平方米元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为元．
8．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖．
(1)的度数为_____；
(2)村庄距省道的最短距离为_____；
(3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间．
【答案】(1)
(2)24
(3)小时
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的面积公式、勾股定理的应用以及行程问题的计算，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积法求高，再通过勾股定理计算线段长度，最终结合速度公式求解时间．
（1）利用勾股定理逆定理，由判断为直角三角形，得；
（2）用直角三角形面积公式，求出点到的距离；
（3）过点作的垂线，设垂足为，在中用勾股定理求出的长度，再结合速度公式计算降雪持续时间．
【详解】（1）解：在中，，，，
，．
．
是直角三角形，且．
故答案为：．
（2）解：设点到的距离为，
是直角三角形，
，
即，
解得．
故答案为：．
（3）解：过点作于点，则，
在中，，，
由勾股定理得．
同理，，
．
降雪中心移动速度为，
持续时间．
答：此次村庄持续降雪小时．
9．某公园是人们健身散步的好去处，从点到点有两条路线，分别是和．经测量米，米，点在点的正东方120米处，点在点的正北方50米处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算，请你求出点到路线的最短距离．
【答案】(1)，理由见解析
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积公式，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理逆定理计算即可得出结果；
（2）由勾股定理可得米，再根据三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意可得：米，米，米，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：米，，
由勾股定理可得：米，
由垂线段最短可得，点到路线的最短距离为米．
10．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．
(1)试说明：；
(2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
【答案】(1)证明见解析
(2)7200元
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且即可；
（2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，后求出阴影部分的面积，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
又∵
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）解：如图，过A作于点E，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴种植花卉共需花费元，
答：此块空地全部种植花卉共需花费7200元．
1．小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．
设秋千的绳子的长度为米，则米，进而得到米，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：米、米，
设秋千的绳子的长度为米，则米，
四边形是矩形，
米、米，
米，
米，
在中，由勾股定理得：
，
即，
解得，
故选：C．
2．项目化学习
项目背景：如图1，学校有一块三角形空地，在边上有一点，在边上有一点，学校决定在范围内种植谷物，在剩余空地上需要分割出一块三角形空地种植玉米（点为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同．李老师决定带同学们就“三角形的分割”展开项目化学习并形成如下报告．
项目主题 利用所学知识对三角形分割与计算
驱动问题 如何在三角形空地上分割出一块三角形空地种植玉米，使其面积与种植谷物的三角形面积相同
活动内容 利用所学知识对三角形地块进行测量、分割与计算
活动过程 数据测量 ，米，米，米，米，
方案设计 勤奋小组的方案 梦想小组的方案
如图，在边上取一点，在边上选取点．当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同． 如图3，选取的中点、连接．选取的中点．连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．
计算 …
展示交流 …
请根据上述数据，计算：
(1)勤奋小组的方案中的长．
(2)请说明梦想小组的方案的正确性．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）当时，米，进而可求出的长；
（2）根据中线的性质求出的面积，即可判断梦想小组的想法是否正确．
【详解】（1）解：∵，米，米，
∴米，
∵米，米
∴米，
∵时，米，
∴（米）；
（2）解：∵是的中点，
∴．
∵是的中点，
∴．
∴，
∴梦想小组的方案正确．
3．阅读与思考
下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
借助网格解几何题在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题．例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______．直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长．
任务：
(1)图2中，______；
(2)借助网格解决以下问题：
如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长．
①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上；
②直接写出线段的长；
(3)反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？
【答案】(1)；
(2)①见解析；②；
(3)见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用勾股定理计算即可得出结果；
（2）①根据题意将三角形画在网格中即可；②结合图形，利用勾股定理计算即可得出结果；
（3）根据它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，即可得出结果．
【详解】（1）解：由图形可得：；
（2）解：①画出图形如图所示：
；
②由图形可得：；
（3）解：借助网格解几何题的局限性在于，它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，限制了解题的普适性．
4．晋中市教育局首届中小学科技教育比赛于12月20日圆满落幕，其中无人机足球对抗赛需选手具备空间几何与无人机实操结合的能力．你是一名无人机测绘员，正在为一个新建的无盖正方体储物仓做竣工测绘．这个储物仓的每个面都是边长为1米的正方形．
在立体结构中，你需要记录从仓体正面左上角点，到右侧面右上角点的这条斜线的角度．为了后续在平面图纸上精准标注这条斜线，你把储物仓的外壁展开成了平面展开图（图2），、、三点在展开图中对应为、、．
请你判断：立体储物仓上的，和平面展开图里的，这两个角的大小有什么关系？并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，根据勾股定理求出，，，
然后根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可判断为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：
理由如下：
连接，
由题和图可得：
，，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
5．阅读与探究
下面是小文写的一篇数学小论文的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
探究点运动中的数学问题问题背景：平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，其核心是平面内的点与用有序数对表示的坐标的一一对应，借助平面直角坐标系，可以用代数方法刻画几何对象的特征．下面借助坐标定义点的两种运动方式：在平面直角坐标系中，从点运动到点称为一次甲方式；从点运动到点称为一次乙方式．概念理解：已知点从原点出发连续运动2次，若两次运动都是甲方式，运动得到点；若两次运动都是乙方式，运动得到点．拓展探究：……
任务：
(1)若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为___________；若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为___________；
(2)已知点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点；若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点．请直接写出点的坐标，在如图的坐标系中画出点，标明字母，并求两点之间的距离；
(3)已知点从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点．设按甲方式运动了次为整数，且）．
①请用含的代数式表示点的坐标___________：
②在（1）（2）的基础上，直接写出当，且的面积是面积的时，的值．
【答案】(1)，；
(2)， ；图见解析，．
(3)①；②3或7．
【分析】本题考查新定义下的运算，点的平移，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据新定义进行计算即可；
（2）根据新定义进行计算即可；
（3）①根据新定义进行计算即可；②分类讨论：第1种情况：当点Q在第一象限时，第2种情况：当点Q在第三象限时，第3种情况：当点Q在第四象限时，逐项分析求解即可．
【详解】（1）解：若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为，即；
若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为，即；
故答案为：，；
（2）解：∵点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点E，
∴，即；
∵若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点，
∴，即，如图
则．
（3）解：①∵从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点，按甲方式运动了次，则乙方式运动了次，
∴，，
∴点的坐标为；
故答案为：；
②当时，点的坐标为，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
∴点Q不在坐标轴上，
当时，，
即点Q不在第二象限，
第1种情况：当点Q在第一象限时，过点Q作轴于点M，连接，如图
，
∵的面积是面积的，
∴，
解得，
当时，，
∴符合题意；
第2种情况：当点Q在第三象限时，过点Q作轴于点M，连接，如图
或
∴
，
，
∵的面积是面积的，
∴，
解得；
第3种情况： 当点Q在第四象限时，，即，
∴且m为整数，
当时，，不符合题意，即点Q的纵坐标不为，当时，如图，过点Q作轴于点M，连接，
当时，如图
∴
，
，
∵的面积是面积的，
∴，
即或，
解得（不符合题意）或．
综上所述，或7．
6．项目背景：为了培养学生的动手实践能力，老师组织同学们到劳动实验基地开展了水管铺设方案的实践活动，记录如下表：
项目 铺设水管的测量和计算
驱动任务 利用勾股定理对铺设水管的测量和计算
测量示意图及说明 说明：A，B两点分别表示八（1）班和八（2）班实验基地的位置，点C为自来水的位置，已知，是已铺好的水管，现需沿着路线铺设一段水管，点A，B，D在同一直线上
测量数据 经测量米，米，于点C，于点D
小组交流 ……
请根据表中数据，求铺设水管的长．
【答案】铺设水管的长米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先求出，再根据中，，中，，得到，代入解方程即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴中，，
中，，
∴，
∴
解得，
∴铺设水管的长米．
7．综合与探究
问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫做“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题．
概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则，；
（2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由；
探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长．
【答案】（1），；（2）小颖的结论不正确，理由见解析；（3）边的长为或
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解决问题的关键是正确理解“底倍高”三角形的概念、画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
（1）根据“底倍高”三角形的概念求出，再根据勾股定理求出；
（2）过点作于点，根据勾股定理的逆定理可得，利用等面积法求出，得到，即可判定；
（3）过点作于点，根据题意求出，，进而得到，分两种情况：当时，，当时，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边，
，
，
故答案为：，；
（2）小颖的结论不正确，理由如下：
如图，过点作于点，
，，，
，
，
，即，
，
，
不是一个以为倍底边的底倍高三角形，故小颖的结论不正确；
（3）如图，过点作于点，
是一个以线段为倍底边的底倍高三角形，
，
设，则，
，
，
解得（负值已舍去），
，则，
，
；
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，边的长为或．
8．实践活动：用长方形剪拼正方形．
数学思考：（1）图1是一张长为5，宽为1的长方形纸片．将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形，这个正方形的边长为 ；
操作探究：（2）图2是一张长为5，宽为2的长方形纸片．请将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形．
①新正方形的边长为 ；
②图3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在图3中用实线画出拼接成的新正方形及所有的拼接线．
【答案】（1）；（2）①；②见解析
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想．
（1）利用面积相等，根据算术平方根即可求解；
（2）①利用面积相等，根据算术平方根即可求解；
②利用勾股定理得出直角三角形的直角边，然后进行画图即可．
【详解】解：（1）长方形的面积为，
根据长方形的面积和正方形的面积相等，
∴正方形的边长为，
故答案为：；
（2）①长方形的面积为，
根据长方形的面积和正方形的面积相等，
∴正方形的边长为，
故答案为：；
②如图，正方形即为所求．
∵，
∴可以将原长方形切割成4个直角边分别为1和3的直角三角形，
然后剩下的小正方形拼接成的正方形放在中间即可．
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