习题课二 静电力的性质
要点一 非点电荷的电场强度
方法1 对称法
（1）对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法。
（2）在电场中，应用对称性解题可将问题大大简化。
【典例1】 半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（ ）
A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝
C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝
答案：C
解析：在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的场强为零，而取走的A、B处的电荷的电量qA＝qB＝，qA、qB在O点产生的合场强为EAB＝＝，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的场强大小为，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点场强为零，故q在O点产生的场强与qA、qB在O点产生的合场强相同，所以q为负电荷，即有k＝k，解得q＝，故C正确。
方法2 补偿法
将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，或将有空腔的球体补全为实球体等。
【典例2】 已知均匀带电球体在球外产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处电场强度的大小为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：先把挖去的空腔补上，由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的电场强度E整＝＝，挖出的小球半径为，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q'＝Q＝，则其在A点产生的电场强度E挖＝＝＝。所以挖去空腔剩余部分电荷在A点产生的电场强度E＝E整－E挖＝－＝，故B正确。
方法3 微元法
若一个带电体不能视为点电荷，求这个带电体产生的电场在某处的电场强度时，可用微元法的思想把带电体分成很多小块，每块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。
【典例3】 （多选）如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电荷量为＋Q，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度为（ ）
A. B.
C.k D.
答案：AD
解析：由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分Δx，圆环总电荷量为Q，则该部分电荷量为Q，该部分电荷在小球处产生的电场强度为E1＝＝，方向沿该点与小球的连线指向小球；同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度E1'与E1大小相等，如图所示，则两个场强的合场强为E0＝2·cos 45°＝，方向应沿圆心与小球的连线向左；因圆环上各点均在小球处产生电场，则合场强为E＝E0＝，方向水平向左，选项D正确，C错误；对小球受力分析可知mgtan 45°＝qE，解得E＝，选项A正确，B错误。
1.如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q＞0）的固定点电荷，已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为（k为静电力常量）（ ）
A.k B.k
C.k D.k
解析：B a处电荷量为q的点电荷在b点处产生的电场强度为E＝k，由于q与Q在b点处的合电场强度为零，则圆盘在b处产生的电场强度为E＝k。由对称性知，圆盘在d点处产生的电场强度也为E'＝k。而a点处电荷量为q的点电荷在d点处产生的电场强度为E″＝k，由于a点处的点电荷与圆盘在d点处产生的电场强度方向相同，所以两者在d点处产生的合电场强度为k，故B正确。
2.如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点，距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O'点固定一带正电的点电荷Q，O'、M点间的距离为R，已知P点的电场强度为零，若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的电场强度大小为（ ）
A.0 B.
C. D.－
解析：C 因P点的电场强度为零，所以半球面上的正电荷q在P点产生的电场强度和点电荷Q在P点产生的电场强度等大反向，即半球面上的正电荷q在P点产生的电场强度大小为E1＝，方向沿轴线向右。现补全右侧半球面，如图所示，根据均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零知，均匀带电的封闭球面在M点产生的电场强度为零，即左半球面在M点产生的电场强度和右半球面在M点产生的电场强度等大反向，又由对称性知左半球面在P点产生的电场强度和右半球面在M点产生的电场强度等大反向，即左半球面在M点产生的电场强度为E2＝，方向沿轴线向右，点电荷Q在M点产生的电场强度为E3＝，方向沿轴线向左，故M点的合电场强度为EM＝－＝，方向沿轴线向左，故C正确。
要点二 电场线和带电粒子的运动轨迹
1.带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
（1）由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向。
（2）由电场力和电场线的方向可判断带电粒子所带电荷的正负。
（3）由电场线的疏密程度可比较电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断带电粒子加速度的大小。
【典例4】 （多选）某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法正确的是（ ）
A.粒子带正电荷
B.粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D.粒子在M点的动能小于它在N点的动能
答案：ACD
解析：根据粒子运动轨迹弯曲的情况，粒子所受电场力应指向运动轨迹的凹侧，又粒子所受电场力的方向沿电场线切线方向，可知此粒子带正电，选项A正确；由于电场线越密，电场强度越大，粒子所受电场力越大，根据牛顿第二定律可知加速度也越大，因此粒子在N点的加速度大于它在M点的加速度，选项B错误，C正确；粒子从M点运动到N点，电场力做正功，根据动能定理知此粒子在N点的动能大于它在M点的动能，选项D正确。
1.如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受电场力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道（ ）
A.电场线方向向右
B.电场线方向向左
C.点电荷是负电荷
D.点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大
解析：D 合力的方向大致指向轨迹的凹侧，所以粒子所受电场力方向水平向右，根据题中条件，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；若点电荷从A点向B点运动，则电场力与速度方向夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则电场力与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。
2.某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（ ）
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在c点的速度一定大于在a点的速度
解析：C 做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的凹侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子可能是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c运动到a，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a运动到c，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，则粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。
要点三 带电体在电场中的运动
1.带电体在多个力作用下处于平衡状态时，带电体所受合外力为零，因此可用共点力平衡的知识分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
2.带电体在电场中的加速问题与力学中的加速问题分析方法完全相同，带电体的受力仍然满足牛顿第二定律，在进行受力分析时不要漏掉静电力。
【典例5】 如图所示，在水平向右的匀强电场中，有一质量m＝0.2 kg、电荷量q＝1×10－6 C的带正电小物块恰好静止在倾角θ＝37°的光滑绝缘斜面上，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2。从某时刻开始，电场强度变为原来的，求：
（1）原来的电场强度大小E0；
（2）小物块运动的加速度a的大小和方向；
（3）沿斜面下滑距离x＝0.5 m时小物块的速度大小v。
答案：（1）1.5×106 N/C （2）4 m/s2 方向沿斜面向下 （3）2 m/s
解析：（1）带电物块在斜面上静止时受力如图。
电场力F＝qE0
根据力的平衡条件有
qE0 cos θ＝mgsin θ
E0＝＝ N/C＝1.5×106 N/C。
（2）电场强度变为原来时，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－qE0cos θ＝ma
a＝gsin θ－＝10×0.6 m/s2－ m/s2＝4 m/s2，方向沿斜面向下。
（3）根据v2＝2ax得
v＝＝ m/s＝2 m/s。
竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场，其电场强度为E，在该匀强电场中，用轻质丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线与竖直方向成θ角时小球恰好平衡，此时小球与右金属板间的距离为b，如图所示，已知重力加速度为g。
（1）求小球所带电荷量。
（2）若剪断丝线，则小球多长时间碰到金属板？
答案：（1） （2）
解析：（1）带电小球受力如图。
根据平衡条件有FTcos θ＝mg
FTsin θ＝F又F＝Eq
解得q＝。
（2）剪断丝线，小球受到合力为FT'＝FT＝
根据牛顿第二定律有FT'＝ma，a＝
小球在水平方向加速度ax＝asin θ
根据b＝axt2得t＝。
1.一带负电荷的质点，只在静电力作用下沿曲线abc由a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，图中可能正确的是（虚线是曲线在b点的切线）（ ）
解析：D 质点从a运动到c，质点的速率是递减的，可知质点所受静电力方向与运动方向成钝角，又根据曲线运动条件，可知静电力指向轨迹弯曲的凹侧，因负电荷所受静电力与电场强度方向相反，所以D正确。
2.（多选）如图所示，水平实线是匀强电场的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上两点，若带电粒子在电场中运动时只受电场力作用，则由此图可作出的正确判断是（ ）
A.该粒子带负电荷
B.该粒子运动方向为由a至b
C.带电粒子所受电场力的方向向右
D.带电粒子做匀变速运动
解析：AD 做曲线运动的物体速度沿轨迹切线方向，物体受到的合力方向指向轨迹弯曲的内侧，带电粒子只受电场力，故电场力即为所受合力，电场力方向在电场线的切线方向上，若电场线为直线，电场力就沿电场线所在直线，综合判定可知该带电粒子所受电场力水平向左，粒子带负电荷，选项A正确，C错误；由于粒子在匀强电场中运动，则粒子所受电场力是恒定的，可知粒子运动的加速度不变，选项D正确；粒子运动方向无法判定，选项B错误。
3.如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心。若图中A点处的电场强度为零，静电力常量为k，则带电薄板在图中B点处产生的电场强度（ ）
A.大小为k，方向水平向左
B.大小为k，方向水平向右
C.大小为k，方向水平向左
D.大小为k，方向水平向右
解析：C 由于A点处的电场强度为零，则正点电荷在A点处产生的电场强度大小E1和带电薄板在A点处产生的电场强度大小EA相等，即E1＝EA＝
，电场强度方向相反，则带电薄板在A点处产生的电场强度方向水平向右。由于A、B两点关于带电薄板对称，所以带电薄板在B点产生的电场强度大小EB和带电薄板在A点产生的电场强度大小EA大小相等，方向相反，所以EB＝E1＝，方向水平向左，故C正确。
4.如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的电场强度E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
（1）小球所受电场力F的大小；
（2）小球的质量m；
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
答案：（1）3.0×10－3 N （2）4.0×10－4 kg
（3）2.0 m/s
解析：（1）小球所受电场力
F＝qE＝1.0×10－6×3.0×103 N＝3.0×10－3 N。
（2）小球受到重力mg、拉力FT和电场力F的作用而平衡，如图所示，则＝tan 37°，解得m＝4.0×10－4 kg。
（3）由mgl（1－cos 37°）＝mv2，解得v＝＝2.0 m/s。
考点一 非点电荷的电场强度
1.如图所示，粗细均匀的绝缘棒弯成一直径为L的圆形线框，线框上均匀地分布着正电荷，O是线框的圆心，现在线框上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向左移动的距离到F点，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O点的电场强度大小为（ ）
A.k B.k C.k D.k
解析：B 线框上剩余的电荷在O点产生的电场强度等效为取下的q电荷在O点产生的电场强度，故E1＝＝，方向水平向左；将q移到F点时，q在O点产生的电场强度为E2＝，方向水平向右。由电场强度的叠加原理可知O点的电场强度E＝E1－E2＝，方向水平向左，故选B。
2.如图所示，半径为R的导体环的顶端有一宽为l的小狭缝A，且满足l远小于R，在导体环上均匀分布着总电荷量为q的负电荷。已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O
B.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A
C.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A
D.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O
解析：D 该导体环可认为是从封闭的导体环上取下宽为l的一小段后的剩余部分，对宽为l的一小段导体分析，由于l远小于R，因此可视为点电荷，其在圆心O处产生的电场强度大小为E＝＝，又因为宽为l的一小段导体带负电荷，故电场强度方向由O指向A。根据对称性知，封闭的导体环在圆心O处产生的合电场强度为零，所以宽为l的一小段导体在圆心O处产生的电场强度与该导体环在圆心O处产生的电场强度大小相等、方向相反，则导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O，A、B、C错误，D正确。
3.如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处点电荷的电荷量为－q外，其余各点处点电荷的电荷量均为＋q，则圆心O处（ ）
A.电场强度大小为，方向沿OA方向
B.电场强度大小为，方向沿AO方向
C.电场强度大小为，方向沿OA方向
D.电场强度大小为，方向沿AO方向
解析：C 根据对称性，先假定在A点放上电荷量为＋q的点电荷，O点的电场强度为零，即B、C、D、E四个点处的点电荷在O点的电场强度方向沿OA方向，大小为，再与A处的－q在O点的电场强度叠加，则O点的电场强度大小为，方向沿OA方向，C正确。
考点二 电场线和带电粒子的运动轨迹
4.（多选）如图所示，带箭头的曲线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若只考虑静电力的情况下，则下列判断中正确的是（ ）
A.若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电
B.不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电
C.若粒子是从B运动到A，则其加速度减小
D.若粒子是从B运动到A，则其速度减小
解析：BC 根据做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹的凹侧，可知静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点时受到的静电力大，在B点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，故C正确；从B到A过程中静电力与速度的方向成锐角，速度增大，故D错误。
5.（多选）一带电粒子以某一速度进入水平向右的匀强电场E中，在电场力作用下形成如图所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右端。不计粒子重力，下列表述正确的是（ ）
A.粒子在M点的速率最大
B.粒子所受电场力与电场方向相同
C.粒子在电场中的加速度不变
D.粒子速率先减小后增大
解析：CD 粒子做曲线运动，受到指向曲线弯曲的内侧的电场力，可知粒子所受电场力与电场方向相反，粒子受到的电场力方向向左，在向右运动的过程中，电场力对粒子做负功，粒子的速率减小，运动到M点时，粒子的速率最小，然后粒子向左运动时，电场力做正功，粒子的速率增大，故A、B错误，D正确；粒子在匀强电场中只受到恒定的电场力作用，故粒子在电场中的加速度不变，故C正确。
6.如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a的速度将减小，b的速度将增加
C.a的加速度将减小，b的加速度将增加
D.两个粒子的动能，一个增加一个减小
解析：C 由曲线轨迹只能判断出a、b受力方向相反，带异种电荷，无法判断哪个带正电荷，A错误；由粒子的偏转轨迹可知静电力对a、b均做正功，动能增加，B、D错误；由电场线的疏密可判定，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b正好相反，C正确。
考点三 带电体在电场中的运动
7.（多选）如图所示，带正电的金属滑块质量为m，电荷量为q，与绝缘水平面间的动摩擦因数为μ（μ＜1）。水平面上方有水平向右的匀强电场，电场强度为E＝。如果在A点给滑块一个向左的大小为v的初速度，滑块运动到B点时速度恰好为零，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A.滑块运动到B点后将保持静止
B.滑块运动到B点后将返回向A点运动，来回所用时间不相同
C.滑块运动到B点后将返回向A点运动，到A点时速度大小仍为v
D.滑块回到A点时速度大小为v
解析：BD 滑块运动到B点后，虽然速度减小为零，但水平方向仍受电场力的作用，且F电＝Eq＝mg，F摩＝μmg，显然电场力大于摩擦力，滑块将返回向A点运动，选项A错误；由A到B运动的加速度为aAB＝＝（μ＋1）g，由B到A运动的加速度为aBA＝＝（1－μ）g，而位移大小相同，所以运动时间不可能相同，滑块再次运动到A点的速度大小也不可能为v，选项B正确，C错误；根据公式v2＝2ax可得滑块回到A点时的速度大小为v，选项D正确。
8.如图所示，一匀强电场的电场强度方向与水平方向的夹角为θ。现有一带电小球以初速度v0由A点水平射入该匀强电场，恰好做直线运动，由B点离开电场。已知带电小球的质量为m，电荷量为q，A、B之间的距离为d，重力加速度为g。试分析：
（1）带电小球的电性；
（2）匀强电场的电场强度的大小；
（3）小球经过B点时的速度vB。
答案：（1）正电 （2） （3）
解析：（1）小球进入电场后受两个力的作用：重力mg和电场力qE，若要保证小球做直线运动，则小球必然带正电，并且所受电场力qE和重力mg的合力F沿直线AB水平向右。
（2）由（1）中结论和几何关系可知mg＝qEsin θ，所以匀强电场的电场强度大小为E＝。
（3）小球在恒力作用下由A到B做匀加速直线运动，合力F＝，由牛顿第二定律得加速度a＝，由匀变速直线运动的规律得－＝2ad，则vB＝。
9.如图所示，一段均匀带电的半圆形细绝缘体在其圆心O处产生的电场强度为E，现把细绝缘体分成等长的AB、BC、CD三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的电场强度的大小是（ ）
A.E B. C. D.
解析：B 设细绝缘体带正电，三段圆弧中每段圆弧在圆心O处产生的电场强度大小为E'，将三段圆弧产生的电场强度画在图中。AB、CD两段圆弧在圆心O处产生的电场强度方向的夹角为120°，这两者的合电场强度大小为E'，方向与BC在圆心O处产生的电场强度的方向相同。所以三段圆弧在圆心O处产生的合电场强度大小E＝2E'，则E'＝，即圆弧BC在圆心O处产生的电场强度的大小是。
10.如图所示，在竖直放置的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处放一点电荷，将质量为m、带电荷量为q的小球从圆弧管的水平直径端点C由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力。则放于圆心处的点电荷在C点产生的电场强度大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 在B点由库仑力和重力的合力提供向心力，则qE－mg＝m，所以qE＝m＋mg，小球从C到B电场力不做功，由动能定理得mgR＝mv2，联立可得E＝，点电荷在C点产生的电场强度大小与B点相同，故B正确。
11.（多选）如图所示的水平匀强电场中，将两个带电小球M和N分别沿图示路径移动到同一水平线上的不同位置。释放后，M、N保持静止。不计重力，则（ ）
A.M的带电荷量比N的大
B.M带负电荷，N带正电荷
C.静止时M受到的合力比N的大
D.移动过程中匀强电场对M做负功
解析：BD 由于M、N释放后能保持静止，故电场对M、N的作用力一定与M、N间的静电力等大反向，因此两个小球所带电荷量大小一定相等，A错误；M、N一定带异种电荷，则匀强电场对M的作用力一定向左，M带负电荷，N带正电荷，B正确；静止时两小球受到的合外力均为零，C错误；M受到匀强电场施加的电场力方向水平向左，移动过程中，M受到的电场力对其做负功，D正确。
12.在一个水平面上建立x轴，在过原点O垂直于x轴的平面的右侧空间有一匀强电场，电场强度的大小E＝6×105 N/C，方向与x轴正方向相同，在O处放一个带电荷量q＝－5×10－8 C，质量m＝10 g的绝缘物块，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，沿x轴正方向给物块一个初速度v0＝2 m/s，如图所示，求物块最终停止时的位置。（g取10 m/s2）
答案：O点左侧0.2 m处
解析：当物块沿x轴正方向运动时，受到沿x轴负方向的静电力F和滑动摩擦力Ff。静电力大小为F＝Eq，滑动摩擦力大小为Ff＝μFN＝μmg。
设物块沿x轴正方向运动离O点的最远距离为s，此过程中由动能定理得－（F＋Ff）s＝－m
联立解得s＝＝0.4 m
由于F＞Ff，当物块运动到沿x轴正方向离O点的最远距离时，又返回向x轴负方向运动，设最终停止时在O点左侧s'处。
在物块向x轴负方向运动的过程中，由动能定理得（F－Ff）s－Ffs'＝0
解得s'＝s＝0.2 m。
1 / 34.静电的防止与利用
课标要求 素养目标
了解生产生活中关于静电的利用与保护 1.认识静电平衡，能说出导体达到静电平衡状态时的基本特征。（物理观念） 2.了解尖端放电和静电屏蔽现象，知道导体上电荷的分布特点。（物理观念） 3.会根据静电屏蔽和静电平衡的条件，分析感应电荷的电场强度。（科学思维） 4.能应用静电吸附的性质，解释静电除尘、静电喷漆、静电复印的工作原理。（科学思维） 5.通过探究静电屏蔽现象，联系生活，了解静电的防止和利用。（科学探究）
知识点一 静电平衡 尖端放电
1.静电平衡
（1）静电感应现象：放入电场中的导体，由于静电感应，在导体的两侧出现 感应电荷 的现象。
（2）静电平衡状态：导体两侧出现的感应电荷在导体内部产生的电场与外加电场的合电场强度为 0 ，导体内的自由电子不再发生定向移动的状态。
（3）处于静电平衡状态的导体，其 内部 的电场强度处处为0。
2.尖端放电
（1）空气的电离：导体尖端的电荷 密度 很大，周围的电场强度很大，使空气中的带电粒子发生剧烈运动，并与空气分子碰撞从而使空气分子中的正负电荷 分离 的现象。
（2）尖端放电：导体尖端的强电场使附近的空气电离，电离后的异种离子与尖端上的电荷 中和 ，相当于导体从尖端失去电荷的现象。
3.应用与防止
（1）应用： 避雷针 是利用尖端放电避免雷击的一种设施。
（2）防止：高压设备中导体的表面尽量 光滑 ，减少电能的损失。
知识点二 静电屏蔽 静电吸附
1.静电屏蔽
（1）定义：静电平衡时，导体壳内电场强度保持为0， 外电场 对壳内的仪器不会产生影响。金属壳的这种作用叫作静电屏蔽。
（2）应用
①把电学仪器放在封闭的金属壳或金属网里。
②野外三条输电线上方架设两条导线，与大地相连，形成一个稀疏的金属“网”，把高压输电线屏蔽起来。
2.静电吸附
（1）静电除尘：设法使空气中的尘埃带电，在静电力作用下，尘埃到达电极而被收集起来。
（2）静电喷漆：接负高压的涂料雾化器喷出的油漆微粒带负电，在静电力作用下，微粒飞向正极的工件，并沉积在工件的表面，完成喷漆工作。
（3）静电复印
①核心部件：有机光导体鼓，有机光导体（OPC）在受到光照射时变成导体。
②工作过程
【情景思辨】
随着科技的发展，人类对于电的需求越来越广，电能输送过程中的输送电压越来越高，电工师傅为了不影响用户用电，需要带电作业，作业时需穿特制的屏蔽服，屏蔽服是采用均匀的铜丝编织成的服装。判断下列说法的正误。
（1）铜丝编织的衣服不容易被拉破，所以用铜丝编织作业服。（ × ）
（2）电工被铜丝编织的衣服包裹，使体内无电场，对人体起保护作用。（ × ）
（3）电工被铜丝编织的衣服包裹，使体内电场强度保持为零，对人体起保护作用。（ √ ）
（4）铜丝衣服必须达到一定的厚度，才能对人体起到保护作用。（ × ）
要点一 对静电平衡的理解
【探究】
如图，把一个不带电的金属导体放到电场中，导体内的自由电子将发生定向移动，从而使导体两端出现等量异种电荷。请思考：自由电子定向移动的原因是什么？定向移动的方向如何？
提示：自由电子受电场力的作用发生定向移动。电子带负电，故定向移动方向和外加电场强度方向相反。
【归纳】
1.对静电平衡的三点理解
（1）静电平衡是自由电荷发生定向移动的结果，达到静电平衡时，自由电荷不再发生定向移动。
（2）金属导体建立静电平衡的时间是非常短暂的。
（3）导体达到静电平衡后内部电场强度处处为零是指外电场E0与导体两端的感应电荷产生的附加电场E'的合电场强度为零，即E'＝－E0。
2.静电平衡状态下导体上的电荷和电场线分布特点
（1）净电荷只分布在导体表面，内部没有净电荷。
（2）感应电荷分布于导体两端，电性相反，电荷量相等，近异远同，如图甲所示。
（3）净电荷在导体表面的分布不均匀，一般越是尖锐的地方电荷的分布越密集，如图乙所示。
（4）导体内部电场强度为零，故没有电场线。导体表面处电场线与导体表面处处垂直。
【典例1】 如图所示，一个不带电的枕形导体，固定在绝缘支架上，左端通过开关S接地，A、B是导体内部的两点，当开关S断开时，将带正电的小球置于导体左侧。下列说法正确的是（ ）
A.A、B两点的电场强度相等，且都不为零
B.A、B两点的电场强度不相等
C.导体上的感应电荷在A、B两点的电场强度大小相等
D.当开关S闭合时，电子沿导线从大地向导体移动
答案：D
解析：枕形导体在带电小球附近，出现静电感应现象，导致导体内电荷重新分布，因此在枕形导体内部出现感应电荷的电场，与带电小球的电场叠加，导体处于静电平衡状态，内部电场强度处处为零，电势相等，故A、B错误；在枕形导体内部场强处处为零，是带电小球产生电场的场强与感应电荷产生电场的场强大小相等、方向相反引起的，带电小球产生电场在A点的场强大于在B点的场强，所以感应电荷在A点产生的场强较大，故C错误；当开关S闭合时，大地相当于远端，电子从大地向导体移动，使导体带负电，故D正确。
1.矩形金属导体处于正点电荷Q产生的电场中，静电平衡时感应电荷产生的电场在导体内的电场线分布情况正确的是（ ）
解析：A 导体处于静电平衡状态时，导体内部电场强度处处为0，感应电荷在导体内部某处产生的电场强度与场源电荷Q在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，故A正确，B、C、D错误。
2.如图所示，较厚的空腔导体中有一个正电荷，图中a、b、c、d各点的电场强度大小顺序为（ ）
A.Ea＞Eb＞Ec＞Ed B.Ea＞Ec＞Ed＞Eb
C.Ea＞Ec＝Ed＞Eb D.Ea＜Eb＜Ec＝Ed
解析：B 当静电平衡时，空腔球形导体内壁感应出负电荷，外表面感应出正电荷，画出电场线的分布如图所示，由于a处电场线较密，c处电场线较疏，d处电场线更疏，b处电场强度为零，则Ea＞Ec＞Ed＞Eb，故B正确，A、C、D错误。
要点二 对静电屏蔽的理解
【探究】
在如图所示的实验中，验电器的金属箔片能张开吗？为什么？
提示：（1）图甲中不会张开，金属网可以屏蔽外电场。
（2）图乙中会张开，因为金属网未接地，网内的带电体可以对外界产生影响。
（3）图丙中不会张开，因为金属网已接地，网内的带电体对网外无影响，网外的带电体对网内也无影响。
【归纳】
1.静电屏蔽的实质
静电屏蔽的实质是利用了静电感应现象并达到静电平衡，使金属壳内感应电荷的电场和外加电场矢量和为零，好像是金属壳将外电场“挡”在外面，即所谓的屏蔽作用，其实是壳内两种电场并存，矢量和为零，所以做静电屏蔽的材料只能是导体，不能是绝缘体。
2.静电屏蔽的两种情况
导体外部电场不影响导体内部 接地导体内部的电场不影响导体外部
图示
实现 过程 因场源电荷产生的电场与导体球壳表面上感应电荷产生的电场在空腔内的合电场强度为零，达到静电平衡状态，起到屏蔽外电场的作用 当空腔外部接地时，外表面的感应电荷因接地将传给地球，外部电场消失，起到屏蔽内电场的作用
最终 结论 导体内空腔不受外界电荷影响 接地导体空腔外部不受内部电荷影响
3.静电屏蔽问题的三点注意
（1）空腔可以屏蔽外界电场，接地的空腔可以屏蔽内部的电场，其本质都是因为激发电场与感应电场叠加的结果，分析中应特别注意分清是哪一部分电场作用的结果，还是合电场作用的结果。
（2）对静电感应，要掌握导体内部的自由电荷是如何移动的，是如何建立起附加电场的，何处会出现感应电荷。
（3）对静电平衡，要理解导体达到静电平衡时所具有的特点。
【典例2】 如图，某科技馆的静电表演台上，体验者站在一个接地金属笼中，一位工作人员手持50 kV的高压放电杆靠近金属笼，当与笼壁间距接近30 cm时，放电杆与笼壁间会产生强烈的电弧，而此时笼中的体验者即使手摸笼体内部也安然无恙。则在放电杆放电时（ ）
A.笼体上感应电荷在笼体内激发的电场的电场强度处处为零
B.放电杆在笼体内激发的电场的电场强度处处为零
C.笼体表面及其内部任意位置的电场强度均为零
D.只有笼体的外表面带电，笼体内表面不带电
答案：D
解析：达到静电平衡状态的导体，内部电场强度处处为零，即感应电荷的电场与放电杆上电荷的电场的合电场强度为零，但放电杆在笼体内激发的电场的电场强度不为零，笼体上感应电荷在笼体内激发的电场的电场强度也不为零，选项A、B错误；笼体内部任意位置的电场强度为零，但笼体外表面的电场强度不为零，选项C错误；处于静电平衡状态时，只有笼体的外表面带电，笼体内表面不带电，选项D正确。
1.如图所示，放在绝缘台上的金属网罩B内放有一个不带电的验电器C，若把一带有正电荷的绝缘体A移近金属罩B，则（ ）
A.金属罩B的内表面带正电荷
B.金属罩B的右侧外表面带正电荷
C.验电器C的金属箔片将张开
D.金属罩B左、右两侧电荷电性相同
解析：B 金属罩B处于静电平衡状态，电荷分布在其外表面上，A错误；由于静电感应，使金属罩B在左侧外表面感应出负电荷，所以金属罩B的右侧外表面感应出正电荷，B正确，D错误；由于静电屏蔽，金属罩内电场强度为零，故验电器C上无感应电荷，验电器C的金属箔片不会张开，C错误。
2.（多选）电力工作人员在几百万伏的高压线上进行带电作业，电工全身穿戴带电作业用的屏蔽服，屏蔽服是用导电金属材料与纺织纤维混纺交织成布后再做成的服装，下列说法正确的是（ ）
A.采用金属材料编织衣服的目的是使衣服不易拉破
B.采用金属材料编织衣服的目的是利用静电屏蔽
C.电工穿上屏蔽服后，体内场强为零
D.屏蔽服中的金属网不能起到屏蔽作用
解析：BC 屏蔽服的作用是在穿上后，使处于高压电场中的人体内电场强度处处为零，从而使人体免受高压电场及电磁波的危害，可知B、C正确，A、D错误。
要点三 静电的防止和利用
1.静电是如何产生的
两种不同的物体相互摩擦可以起电，甚至干燥的空气与衣物摩擦也会起电。摩擦起的电在能导电的物体上可迅速流失，而在不导电的绝缘体（如化纤、毛织物等物体）上就不会流失而形成静电，并聚集起来，当达到一定的电压时就产生放电现象，产生火花并发出声响。
2.静电的应用和防止
（1）静电的应用
利用静电的性质 应用举例
利用静电能 吸引轻小物体 静电复印、静电喷漆、静电喷雾、激光打印、静电除尘
利用高压产生的电场 静电保鲜、静电灭菌、农作物种子处理
利用放电产生物 臭氧防止紫外线、氮合成氨
（2）静电的防止
防止静电危害的基本办法是尽快把产生的静电导走，避免越积越多。
防止静电的途径主要有：
①避免产生静电，例如，在可能情况下选用不易产生静电的材料。
②避免静电的积累，产生的静电要设法导走，例如，增加空气湿度、接地等。
【典例3】 （多选）静电的应用有多种，如静电除尘、静电喷涂、静电植绒、静电复印等，它们依据的原理都是让带电的物质粒子在电场力作用下奔向并吸附到电极上，静电喷漆的原理如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A.在喷枪喷嘴与被喷涂工件之间有一强电场
B.涂料微粒一定带正电
C.涂料微粒一定带负电
D.涂料微粒可以带正电，也可以带负电
答案：AC
解析：静电喷涂的原理就是让带电的涂料微粒在强电场的作用下被吸附到工件上，而达到喷漆的目的，故A正确；由题图知，待喷漆工件带正电，所以涂料微粒应带负电，故C正确，B、D错误。
1.在手术时，为防止麻醉剂乙醚爆炸，地砖要用导电材料制成，医生和护士要穿由导电材料制成的鞋子和外套，一切设备要良好接地，甚至病人身体也要良好接地。这是为了（ ）
A.除菌消毒 B.消除静电
C.利用静电 D.防止漏电
解析：B 在可燃气体环境（如乙醚）中产生的静电，容易引起爆炸，应设法把产生的静电消除（如导入大地），因此选项B正确。
2.如图所示的是静电除尘示意图，m、n 为金属管内两点。在 P、Q 两点加高电压时，金属管内空气电离。电离出来的电子在电场力的作用下，遇到烟气中的煤粉，使煤粉带负电，导致煤粉被吸附到管壁上，排出的烟就清洁了。就此示意图，下列说法正确的是（ ）
A.Q接电源的正极，且电场强度Em＝En
B.Q接电源的正极，且电场强度 Em＞En
C.P接电源的正极，且电场强度 Em＝En
D.P接电源的正极，且电场强度 Em＞En
解析：B 管内接通静电高压时，管内存在强电场，它使空气电离而产生电子和正离子。电子在电场力的作用下，向正极移动时，碰到烟尘微粒使它带负电。所以金属管Q应接高压电源的正极，金属丝P接负极。构成类似于点电荷的辐向电场，所以越靠近金属丝，电场强度越强，故A、C、D错误，B正确。
1.一个带电的金属球，当它带的电荷量增加且稳定后，其内部的电场强度（ ）
A.一定增强
B.不变
C.一定减弱
D.可能增强，也可能减弱
解析：B 孤立的带电金属球处于静电平衡，则内部电场强度为零，当它带的电荷量增加，再次达到静电平衡，其内部电场强度仍为零，故B正确。
2.如图所示是模拟避雷针作用的实验装置，金属板M接高压电源的正极，金属板N接负极。金属板N上有两个等高的金属柱A、B，A为尖头，B为圆头。逐渐升高电源电压，当电压达到一定数值时，可看到放电现象，先产生放电现象的是（ ）
A.A金属柱
B.B金属柱
C.A、B金属柱同时
D.可能是A金属柱，也可能是B金属柱
解析：A 导体尖端电荷比较密集，更容易产生放电现象，故选A。
3.如图所示的有线电视信号线内有一层金属编织网，其主要作用是（ ）
A.加固作用不易折断信号线
B.用于信号的传输
C.为防止外界电场干扰
D.铜芯与金属网分别接在电路的两极组成回路
解析：C 根据静电屏蔽原理，金属网能屏蔽外部电场，为防止外界电场干扰，故选C。
4.一个带绝缘底座的空心金属球A带有4×10－8 C的正电荷，上端开有适当小孔，有绝缘柄的金属小球B带有2×10－8 C的负电荷，使B球和A球内壁接触，如图所示，则A、B带电荷量分别为（ ）
A.QA＝10－8 C，QB＝10－8 C
B.QA＝2×10－8 C，QB＝0
C.QA＝0，QB＝2×10－8 C
D.QA＝4×10－8 C，QB＝－2×10－8 C
解析：B A、B接触中和后净电荷只分布在空心金属球A的外表面上，所以QA＝2×10－8 C，QB＝0，故B正确。
5.如图所示，在工厂里，靠近传送带的工人经常受到电击。经研究发现，这是由于传送带在传送过程中带上了电。
（1）解释为什么靠近传送带的物体会带电？
（2）你可以用什么方法来解决这个问题？
答案：（1）传送带因为与被传送的物体间发生摩擦而带电，靠近传送带的物体因为静电感应也带上电。
（2）要避免这种电击，可以把导体材料如金属丝等掺到传送带材料中，让传送带变成导体，或者用导体制造传送带，再用适当的方法把传送带接地，静电便不会积累，工人也不会再遭电击。
考点一 对静电平衡、静电屏蔽的理解
1.处于静电平衡中的导体，内部电场强度处处为零的原因是（ ）
A.导体内部无任何电场
B.外电场不能进入导体内部
C.所有感应电荷在导体内部产生的合电场强度为零
D.外电场和所有感应电荷的电场在导体内部叠加的结果为零
解析：D 导体内部电场强度处处为零是感应电荷的电场与外电场叠加的结果，故D正确。
2.如图所示，Q为一带正电的点电荷，P为原来不带电的枕形金属导体，a、b为导体内的两点。当导体P处于静电平衡状态时，则（ ）
A.a、b两点的场强大小Ea、Eb的关系为Ea＞Eb
B.a、b两点的场强大小Ea、Eb的关系为Ea＜Eb
C.感应电荷在a、b两点产生的场强大小Ea'和Eb'的关系是Ea'＞Eb'
D.感应电荷在a、b两点产生的场强大小Ea'和Eb'的关系是Ea'＝Eb'
解析：C 处于静电平衡状态的导体，内部场强处处为零，故a、b两点的场强大小Ea、Eb的关系为Ea＝Eb，故A、B错误；处于静电平衡状态的导体，内部合场强为零，则感应电荷在a、b两点产生的场强和外部电荷在a、b两点产生的场强大小相等、方向相反，根据E＝可知Ea'＞Eb'，故C正确，D错误。
3.如图所示，一个验电器用金属网罩罩住，当外部加上水平向右的、电场强度大小为E的匀强电场时，下列说法正确的是（ ）
A.验电器的箔片张开
B.金属网罩内部空间存在向右的匀强电场
C.金属网罩上的感应电荷在金属网罩内部空间产生的电场方向水平向左
D.金属网罩内外表面都存在感应电荷
解析：C 因为在金属内部电子可以自由移动，当在外部加上水平向右的、电场强度大小为E的匀强电场时，金属网罩会产生一个与外加电场相反的电场来抵消在金属内部的电场，以保证平衡，从而金属上电荷重新分布，就是所谓的“静电屏蔽”。此时验电器不会受到影响，故验电器的箔片不张开，选项A、B错误；由以上分析可知，金属网罩上的感应电荷在金属网罩内部空间产生的电场方向水平向左，选项C正确；由于静电感应，金属网罩外表面存在感应电荷，内表面不存在感应电荷，选项D错误。
4.如图所示，把原来不带电的金属壳B的外表面接地，将一带正电的小球A从小孔中放入球壳内，但不与B接触，达到静电平衡后，则（ ）
A.B的空腔内电场强度为零
B.B不带电
C.B的外表面带正电
D.B的内表面带负电
解析：D 因为金属壳的外表面接地，所以外表面没有感应电荷，只有内表面有感应电荷分布，由于A带正电，则B的内表面带负电，D正确，B、C错误；B的空腔内有带正电的小球A产生的电场和金属壳内表面感应电荷产生的电场，所以空腔内电场强度不为零，A错误。
考点二 静电的防止和利用
5.从生活走向物理，从物理走向社会，物理和生活息息相关，联系生活实际是学好物理的重要途径。下列有关电学知识的说法错误的是（ ）
A.图甲中工作人员在超高压带电作业时，穿用金属丝编制的工作服可以起到静电屏蔽的作用
B.图乙中家用煤气灶的点火装置，是根据尖端放电的原理制成的
C.图丙中的避雷针，可以在雷雨天防止建筑物被雷击
D.图丁中静电喷漆时被喷的金属件与油漆微粒带相同电性的电荷，这样使油漆在静电斥力作用下喷涂更均匀
解析：D 为了保证题图甲中超高压带电作业的工作人员的安全，他们必须穿上金属丝编制的工作服，以起到静电屏蔽的作用，A正确；题图乙中家用煤气灶的点火装置，是根据尖端放电的原理制成的，B正确；题图丙中的避雷针，是在高大建筑物顶端安装尖锐的导体棒，用粗导线将导体棒与接地装置连接，当带电的雷雨云接近建筑物时，通过尖端放电，可防止建筑物被雷击，C正确；题图丁中喷枪喷出的油漆微粒带同种电荷，因相互排斥而散开，形成雾状，被喷涂的金属件带相反电性的电荷，对油漆微粒产生引力，把油漆微粒吸到表面，完成喷漆工作，D错误。
6.如图所示的是静电除尘器除尘机理的示意图。尘埃在电场中通过某种机制带电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列表述正确的是（ ）
A.到达集尘极的尘埃带正电荷
B.电场方向由放电极指向集尘极
C.带电尘埃所受静电力的方向与电场方向相同
D.同一位置带电荷量越多的尘埃所受静电力越大
解析：D 集尘极接电源的正极，尘埃在静电力作用下向集尘极迁移并沉积，说明尘埃带负电，A错误；由于集尘极与电源的正极连接，电场方向由集尘板指向放电极，B错误；负电荷在电场中所受静电力的方向与电场方向相反，C错误；根据F＝qE可得，同一位置带电荷量越多的尘埃所受静电力越大，D正确。
7.（多选）如图所示是消除烟气中煤粉的静电除尘器示意图，它由金属圆筒外壳A和悬在筒中的金属丝B组成。带煤粉的烟气从下方进气口进入，煤粉带负电，脱尘后从上端排气孔排出。要让除尘器正确工作，下列说法正确的是（ ）
A.外壳A应接电源的正极
B.金属丝B应接电源的正极
C.外壳A应接地，原因是防止触电
D.外壳A应接地，原因是导走电荷，防止爆炸
解析：AC 煤粉带负电，向正极运动，所以外壳A应接电源的正极，金属丝B应接负极，A正确，B错误；外壳A应接地，原因是防止高压触电，C正确，D错误。
8.如图所示，带电荷量为－Q的点电荷旁有一接地的大金属板，A为金属板内一点，B为金属板左侧外表面上一点，下列关于金属板上感应电荷在A点和B点的场强方向判断正确的是（ ）
A.感应电荷在A点的场强沿E1方向
B.感应电荷在A点的场强沿E2方向
C.感应电荷在B点的场强一定沿E3方向
D.感应电荷在B点的场强可能沿E4方向
解析：B 金属板内部场强为0，点电荷在A点场强沿E1方向，感应电荷在A点的场强沿E2方向，故选项A错误，B正确；B点在金属板表面上，那么B点合场强方向应垂直金属板向外，而点电荷引起的场强方向指向负电荷，则感应电荷引起的场强方向可能为题目所给的E3方向，故选项C、D错误。
9.如图所示，静电除尘器由板状收集器A和线状电离器B组成。A接几千伏高压电源的正极，B接高压电源的负极，它们之间有很强的电场，而且距B越近，电场强度越大，该电场可以把B附近空气中的气体分子电离成正离子和电子。电子在向着正极A运动的过程中，遇到烟气中的粉尘，使粉尘带电被吸附到正极A。关于该静电除尘器，下列说法正确的是（ ）
A.除尘器内部形成的电场为匀强电场
B.越靠近线状电离器B，电场线越密集
C.除尘过程中，粉尘做减速运动
D.粉尘靠近收集器A过程中，运动轨迹为抛物线
解析：B B为线状，A为板状，距离B越近，电场线越密，场强越大，故该电场不是匀强电场，选项A错误，B正确；粉尘带负电，被吸附到正极A，做加速运动，选项C错误；粉尘靠近收集器A过程中，所受电场力是变力，重力是恒力，则所受合力为变力，粉尘的运动轨迹不是抛物线，选项D错误。
10.一点电荷Q放在半径为R的空心导体球壳的球心O处，距球心O为l处（很远）有另一点电荷q，则Q对q的作用力大小为（ ）
A.0 B.k
C.k D.k
解析：B 点电荷放在球心处，对球壳外部产生的电场强度等于点电荷产生的电场，即内部对外部有影响；根据库仑定律可得F＝k，故B正确，A、C、D错误。
11.（多选）如图所示，金属球壳A带有正电，其上方有一小孔a，静电计B的金属球b用导线与金属小球c相连，以下操作所发生的现象正确的是（ ）
A.将c移近A，但不与A接触，B会张开一定角度
B.将c与A外表面接触后移开A，B不会张开
C.将c与A内表面接触时，B会张开一定角度
D.将c从导线上解下，然后用绝缘细绳吊着从小孔a放入A内，并与其内壁接触，再提出空腔，与b接触，B会张开一定角度
解析：AC 将c移近A的过程中，由于静电感应，金属小球c感应出负电荷，静电计指针上感应出正电荷，B会张开一定角度，选项A正确；将c与A外表面接触后移开A，由于接触使静电计带电，B会张开一定角度，选项B错误；将c与A内表面接触，静电平衡后，电荷只分布在导体外表面，静电计可视为导体外表面，静电计B会张开一定角度，选项C正确；将c从导线上解下，然后用绝缘细绳吊着从小孔a放入A内，并与其内壁接触，由于空腔导体内部没有电荷，再提出空腔，与b接触，B不会张开，选项D错误。
12.（多选）如图所示，一个原来不带电的半径为r的空心金属球放在绝缘支架上，右侧放置一个电荷量为＋Q的点电荷，点电荷到金属球表面的最近距离为2r，则下列说法正确的是（ ）
A.金属球在达到静电平衡状态后，左侧感应出正电荷
B.感应电荷在球心处所激发的电场强度大小为E＝，方向水平向右
C.如果用一小段导线的一端接触金属球的左侧，另一端接触金属球的右侧，金属球两侧的电荷将被中和
D.如果用导线的一端接触金属球的右侧，另一端与大地相连，则有电子流入大地
解析：AB 金属球在达到静电平衡状态后，左侧感应出正电荷，故A正确；发生静电感应时，导体内部合场强为零，所以感应电荷在金属球内部产生的场强与外部点电荷在金属球内部产生的场强大小相等，方向相反，所以感应电荷在球心处所激发的电场强度大小为E＝，方向水平向右，故B正确；用一小段导线的一端接触金属球的左侧，另一端接触金属球的右侧，则导线和金属球成为一个导体，左侧依然带正电荷、右侧依然带负电荷，故C错误；如果用导线的一端接触金属球的右侧，另一端与大地相连，则金属球和大地相当于一个新的大导体，在靠近点电荷的一端即金属右侧感应出负电荷，在远离场源电荷的一端即大地感应出正电荷，即有电子流入金属球，故D错误。
13.如图，在真空中同一水平线上有两个点电荷A和B，所带电荷量分别为－Q和＋2Q，它们相距L，如果在两点电荷的连线上有一个半径为r（2r＜L）的空心金属球（未画出），且球心位于连线中心O点，求：
（1）A在O点产生的电场强度的大小与方向；
（2）球壳上的感应电荷在O点处产生的场强大小与方向。
答案：（1） 方向水平向左 （2） 方向水平向右
解析：（1）由点电荷场强公式E＝可知A在O点产生的电场强度的大小EA＝k＝，场强方向水平向左。
（2）两个点电荷A和B在O点处产生的合场强大小为E0＝k＋k＝，方向水平向左。金属球最终处于静电平衡状态，根据静电平衡状态导体的特征可知，球壳上的感应电荷在O点处产生的场强大小与两个点电荷在O点处产生的合场强大小相等，方向相反，则球壳上的感应电荷在O点处产生的场强大小为E0'＝E0＝，方向水平向右。
1 / 3第2课时 电场线 匀强电场
知识点一 电场线
1.定义：画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的 切线 方向表示该点的电场强度方向。
2.特点
（1）电场线从 正电荷 或无限远出发，终止于无限远或 负电荷 。
（2）电场线在电场中 不相交 ，这是因为在电场中任意一点的电场强度不可能有两个方向。
（3）电场线的 疏密 程度可以描述电场的强弱，电场强度较大的地方，电场线较 密 。
知识点二 匀强电场
1.定义：各点的电场强度大小 相等 、方向 相同 的电场。
电场线特点：间隔 相等 的平行线。
2.实例：相距 很近 的一对带 等量 异种电荷的平行金属板间的电场。
【情景思辨】
将一个铜质小球置于圆形玻璃器皿中心，将蓖麻油和头发碎屑置于玻璃器皿内拌匀。用起电机使铜球带电时，铜球周围的头发碎屑会呈现如图所示的发散状图样。判断下列说法的正误。
（1）发散状的黑线是电场线。（×）
（2）带电铜球周围存在着电场。（ √ ）
（3）电场线可以描述电场的强弱和电场的方向。（ √ ）
（4）两条电场线之间的空白处电场强度为零。（ × ）
（5）电场线不是实际存在的，但电场是实际存在的。（ √ ）
要点一 电场线 匀强电场
【探究】
（1）电荷周围存在着电场，法拉第采用了什么简洁方法来描述电场？
（2）在实验室，可以用实验模拟电场线；头发屑在蓖麻油中排列显示了电场线的形状，这能否说明电场线是实际存在的线？
提示：（1）法拉第采用了画电场线的方法描述电场。（2）不能。电场线实际不存在，但可以用实验模拟。
【归纳】
1.电场线是人们为了研究电场而假想的线，只是为了更形象地描述电场的分布情况。电场线是完全虚拟出来的，并不是真实存在的，而电场是客观存在的，尽管它看不见、摸不着。
2.单一点电荷的电场线
（1）点电荷的电场线呈辐射状，正电荷的电场线向外至无限远，负电荷则相反，如图甲、乙所示。
（2）以点电荷为球心的球面上，电场线疏密相同，但方向不同，说明电场强度大小相等，但方向不同。
（3）同一条电场线上，电场强度方向相同，但大小不等。实际上，点电荷形成的电场中，任意两点的电场强度都不同。
3.匀强电场的电场线
匀强电场的电场线是间隔相等的平行线，场中各点电场强度大小相等、方向相同。
【典例1】 如图所示是静电场的一部分电场线分布，下列说法中正确的是（ ）
A.这个电场不可能是孤立的负点电荷的电场
B.点电荷q在A点处受到的静电力与在B点处受到的静电力一样大
C.点电荷q在A点处的瞬时加速度比在B点处的瞬时加速度小（不计重力）
D.负电荷在B点处受到的静电力的方向沿B点的切线方向
答案：A
解析：孤立的负点电荷形成电场的电场线是会聚的射线，可知这个电场不可能是孤立的负点电荷形成的电场，A正确；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以EA＞EB，又F＝Eq，则FA＞FB，aA＞aB，B、C错误；电场线的切线方向为该点场强的方向，由F＝qE知，负电荷在B点处受到的静电力的方向与场强的方向相反，D错误。
1.在如图所示的电场中，a、b两点的电场强度相同的是（ ）
解析：C 根据公式E＝k可知，A选项中电场强度大小相同，但方向不同，B选项中电场强度的大小不同，方向相同，故A、B错误；在匀强电场中，电场强度处处相同，故C正确；电场线密的地方电场强度大，由题D图可知b点电场强度大于a点的电场强度，故D错误。
2.如图为金属球放入匀强电场后电场线的分布情况。设该电场中A、B两点的电场强度大小分别为EA、EB，则A、B两点（ ）
A.EA＝EB，电场方向相同
B.EA＜EB，电场方向相同
C.EA＞EB，电场方向不同
D.EA＜EB，电场方向不同
解析：D 电场线的疏密表示电场强度的大小，故EA＜EB，电场线上某点切线方向表示电场强度的方向，可以确定A、B两点电场强度方向不同，故D正确。
要点二 两等量点电荷的电场
【探究】
如图所示，A、B是点电荷a、b连线上的两点，实线是它们间的电场线。
讨论：（1）电荷a、b各带有什么性质的电荷？
（2）A、B两点的电场强度相同吗？方向相同吗？
提示：（1）a带正电，b带负电。
（2）A、B两点电场强度不同，从电场线的疏密程度可以看出EB＞EA，方向相同。
【归纳】
等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较
等量异种点电荷 等量同种 （正）点电荷
电场线 分布图
连线上的电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大
等量异种点电荷 等量同种 （正）点电荷
中垂线上的电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小
关于O点对称的点A与A'、B与B'的电场强度 等大同向 等大反向
【典例2】 如图所示，a、b两点分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的静电力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是（ ）
A.Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右
B.Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上
C.Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0
D.Fd、Fc、Fe的大小都相等
答案：A
解析：根据电场强度叠加原理，d、c、e三点电场强度方向都是水平向右，正点电荷在各点所受静电力方向与电场强度方向相同，故A正确，B、C错误；两点电荷连线上电场强度由a到b先减小后增大，中垂线上由c到无穷远处逐渐减小，因此c点电场强度是两点电荷连线上最小的（但不为0）且是中垂线上最大的，所以Fd＞Fc＞Fe，故D错误。
1.（多选）如图所示，在等量负点电荷连线的中垂线上取A、B、C、D四点，B、D两点关于O点对称，关于这几点的场强大小关系，正确的是（ ）
A.EA＞EB，EB＝ED
B.EA＜EB，EB＜ED
C.可能有EA＜EB＜EC
D.可能有EA＝EC＜EB
解析：CD 根据两个等量同种点电荷电场线分布的对称性可知，B、D两点处电场线疏密程度一样，则有EB＝ED，故B错误；根据两个等量同种点电荷连
线的中垂线上场强的特点可知，O点场强为零，无穷远处场强也为零，从O到无穷远处场强先增大后减小，由于A、B、C、D四点具体位置不能确定，可能有EA＜EB＜EC，也可能有EA＝EC＜EB，故C、D正确，A错误。
2.真空中两点电荷A、B形成的电场中的一簇电场线如图所示，已知该电场线关于虚线对称，O点为A、B电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是（ ）
A.A、B可能是带等量异种的正、负电荷
B.A、B可能是带不等量的正电荷
C.a、b两点处无电场线，故其电场强度可能为零
D.同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反
解析：D 根据电场线的特点，从正电荷出发到负电荷或无限远终止可以判断，A、B是两个等量同种电荷，选项A、B错误；电场线只是形象描述电场的假想曲线，a、b两点处无电场线，其电场强度也不为零，选项C错误；在a、b两点处电场强度大小相等、方向相反，同一试探电荷在a、b两点所受电场力大小相等，方向一定相反，选项D正确。
1.如图所示，带箭头的直线是某一电场中的一条电场线，在该直线上有a、b两点，用Ea、Eb分别表示a、b两点的电场强度大小，则（ ）
A.电场线从a指向b，所以Ea＜Eb
B.电场线从a指向b，所以Ea＞Eb
C.电场线是直线，所以Ea＝Eb
D.不知a、b附近的电场线分布，Ea、Eb大小关系不能确定
解析：D 电场线的疏密表示电场的强弱，只有一条电场线时，则应讨论如下：若此电场线为正点电荷电场中的，则有Ea＞Eb；若此电场线为负点电荷电场中的，则有Ea＜Eb；若此电场线是匀强电场中的，则有Ea＝Eb；若此电场线是等量异种点电荷电场中的那一条直的电场线，则Ea和Eb的关系不能确定，故D正确。
2.某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.c点的电场强度大于b点的电场强度
B.若将一试探电荷＋q由a点静止释放，它将沿电场线运动到b点
C.b点的电场强度大于d点的电场强度
D.a点和b点的电场强度的方向相同
解析：C 电场线的疏密表征了电场强度的大小，由题图可知Ea＜Eb，Ed＞Ec，Eb＞Ed，Ea＞Ec，故选项C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点静止释放的正电荷不可能沿电场线运动，故选项B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不在同一条直线上，故选项D错误。
3.（多选）A、B两个点电荷在真空中产生电场的电场线（方向未标出）如图所示。图中C点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，D为中垂线上的一点，电场线的分布关于MN左右对称。则下列说法中正确的是（ ）
A.这两个点电荷一定是等量异种电荷
B.这两个点电荷一定是等量同种电荷
C.把某正电荷从C点移到D点所受电场力方向不变
D.C点的电场强度可能比D点的电场强度小
解析：AC 电场线是从正电荷发出，终止于负电荷，由图中分布对称的电场线可得A、B为等量异种电荷，故A正确，B错误；等量异种电荷产生的电场中，在它们连线的中垂线MN上，各个点的电场方向均垂直于中垂线指向负电荷一侧，同一电荷在此中垂线上所受电场力方向相同，故C正确；电场线的疏密程度表示电场的强弱，电场线的切线方向表示电场的方向，C点的电场线比D点密，所以两点电场强度大小关系为EC＞ED，故D错误。
4.在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点，其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是（ ）
A.甲图中与点电荷等距的a、b两点
B.乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C.丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D.丁图中非匀强电场中a、b两点
解析：C 甲图中与点电荷等距的a、b两点，电场强度大小相等、方向不相反，故A错误；对乙图，根据电场线的疏密及对称性可判断，a、b两点的电场强度大小相等、方向相同，故B错误；丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点，电场强度大小相等、方向相反，故C正确；对丁图，根据电场线的疏密可判断，b点的电场强度大于a点的电场强度，故D错误。
考点一 电场线 匀强电场
1.如图所示的是某电场中的一条电场线的直线部分，M、N为这条电场线上的两点，则（ ）
A.该电场一定是匀强电场
B.该电场一定是单个点电荷产生的电场
C.M、N两点的电场强度方向一定相同
D.M、N两点的电场强度大小一定相同
解析：C 电场线是直线，可能是点电荷的电场，也可能是匀强电场，故A、B错误；依据电场线某点的切线方向即为电场强度方向，则M、N两点的电场强度方向一定相同，故C正确；由A、B选项分析，可知，M、N两点的电场强度大小不一定相同，故D错误。
2.（多选）如图所示为点电荷Q产生的电场中的三条电场线，下列说法正确的是（ ）
A.若Q为负点电荷，EA＜EB
B.若Q为负点电荷，EA＞EB
C.若Q为正点电荷，EA＜EB
D.若Q为正点电荷，EA＞EB
解析：BD 由于不知道电场线的方向，所以不能判断该电场是正点电荷还是负点电荷产生的，但是无论是正点电荷产生的还是负点电荷产生的，都是A点处的电场线密，B点处的电场线疏，则EA＞EB，所以A、C错误，B、D正确。
3.图中画了四个电场的电场线，其中图A和图C中小圆圈表示一个点电荷，图A中虚线是一个圆，图B中几条直线间距相等且互相平行，则在选项图A、B、C、D中M、N两处电场强度相同的是（ ）
解析：B 电场强度为矢量，M、N两处电场强度相同，则电场强度方向、大小都要相同。图A中M、N两点的电场强度大小相同、方向不同。图B是匀强电场，M、N两点的电场强度大小、方向都相同。图C中M、N两点的电场强度方向相同、大小不同。图D中M、N两点的电场强度大小、方向都不相同，故B正确。
4.电场中某区域的电场线分布如图所示，A、B是电场中的两点，则（ ）
A.A点的电场强度较大
B.因为B点处没有电场线，所以电荷在B点不受电场力作用
C.同一点电荷放在A点受到的电场力比放在B点时受到的电场力小
D.正电荷在A点由静止释放，电场线就是它的运动轨迹
解析：A 电场线越密，电场强度越大，故A点的电场强度大于B点的电场强度，故A正确；电场线的疏密表示电场强度的大小，在任意两条电场线之间虽没有电场线，但仍有电场，故B错误；由于A点的电场强度大于B点的电场强度，故同一点电荷放在A点受到的电场力大于放在B点受到的电场力，故C错误；在题图所示的非匀强电场中，由静止释放的电荷的运动轨迹不沿电场线，故D错误。
考点二 两等量点电荷的电场
5.如图所示是真空中两等量的异种点电荷周围的电场分布情况。图中O点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，OM＝ON，下列说法正确的是（ ）
A.同一电荷在O、M、N三点所受电场力相同
B.同一电荷在O、M、N三点所受电场力方向相同
C.O、M、N三点的电场强度大小关系是EM＝EN＞EO
D.把另一自由电荷在M点静止释放，将在MON间往复运动
解析：B O、M、N三点的电场强度方向相同，但大小不同，O点场强最大，EM＝EN＜EO，同一电荷在三点所受的电场力大小不同，方向相同，A、C错误，B正确；把另一电荷从M点静止释放，由于受到水平的电场力作用，不会在MON间往复运动，D错误。
6.两个带等量正电荷的点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，如图所示，若在a点由静止释放一个电子，关于电子的运动，下列说法正确的是（ ）
A.电子从a向O运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大
B.电子从a向O运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大
C.电子运动到O时，加速度为零，速度最大
D.电子通过O后，速度越来越小，加速度越来越大，一直到速度为零
解析：C 带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上，中点O处的电场强度为零，向中垂线的两边电场强度先变大，达到一个最大值后，再逐渐减小到零，但a点与最大电场强度点的位置关系不能确定，当a点在最大电场强度点的上方时，电子从a点向O点运动的过程中，加速度先增大后减小，当a点在最大电场强度点的下方时，电子的加速度则一直减小，故A、B错误；但不论a点的位置如何，电子在向O点运动的过程中都在做加速运动，所以电子的速度一直增大，当到达O点时，加速度为零，速度达到最大值，故C正确；通过O点后，电子的运动方向与电场强度的方向相同，与所受电场力方向相反，故电子做减速运动，由能量守恒定律得，当电子运动到a点关于O点对称的b时，电子的速度为零，同样因b点与最大电场强度的位置关系不能确定，所以加速度大小的变化不能确定，故D错误。
7.两个带电荷量分别为＋q和－q的点电荷放在x轴上，相距L，下列选项所给的图中，能正确反映两个点电荷连线上某点的电场强度大小E与x关系的是（ ）
解析：A 越靠近两点电荷的地方电场强度越大，两点电荷连线的中点处电场强度最小，但不是零，B、D错误；两点电荷所带的电荷量大小相等，则两点电荷连线上关于中点对称的点的电场强度大小相等，A正确，C错误。
8.真空中有两个等量同种点电荷，以连线中点O为坐标原点，以它们连线的中垂线为x轴，图中能正确表示x轴上电场强度变化规律的是（ ）
解析：B 两个点电荷是同种电荷，则中点O处的电场强度为0，故图线一定经过原点，A错误；两电荷为同种电荷，则在原点两侧电场方向相反，C、D错误；能正确表示x轴上电场强度变化规律的是B选项。
9.一正电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度—时间图像如图所示，则A、B所在区域的电场线分布情况可能是下列选项中的（ ）
解析：D 由题中v-t图像可知，正电荷做加速度逐渐增大的加速运动，因此该正电荷所受电场力越来越大，电场强度越来越大，由于电场线密的地方电场强度大，且正电荷的受力方向与电场方向相同，故选项A、B、C错误，D正确。
10.两点电荷形成的电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是（ ）
A.A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B.A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C.左边电荷带负电，右边电荷带正电
D.两电荷所带电荷量相等
解析：C 电场线从正电荷出发，到负电荷终止，电场线的疏密程度表示电场的强弱，电场线的切线方向表示电场的方向，A、B两点的电场强度大小不相等，方向也不相同，A、B错误，C正确；电场线分布关于两电荷连线的中垂线不对称，两电荷所带电荷量不相等，D错误。
11.（多选）如图所示，两个带等量正电荷的小球A、B（均可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且PO＝ON。现将一个带负电的小球C（可视为点电荷），从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C运动的速度—时间图像，可能正确的是（ ）
解析：AB 在A、B连线的垂直平分线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为
零，负点电荷沿垂直平分线从无穷远处向O点运动，加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度为零，速度达到最大，此过程中v-t图线的斜率先变大后变小；由O点运动到无穷远速度变化情况，与从无穷远到O点速度的变化情况具有对称性。如果P、N距O点足够远，B正确；如果P、N距O点很近，A正确。
12.如图所示，真空中x轴上的A、B两点相距L＝2.0 m。若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B两点，O点是两电荷连线的中点，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
（1）两点电荷间的库仑力大小；
（2）O点的电场强度；
（3）若只取走A点的点电荷，O点电场强度的大小和方向。
答案：（1）9×10－3 N （2）0 （3）1.8×104 N/C 其方向沿x轴负方向
解析：（1）由库仑定律可得两点电荷间的库仑力大小F＝k＝9×10－3 N。
（2）由于两点电荷的电荷量相同，且同为正电荷，故由电场的叠加可知O点的电场强度为二者电场强度的矢量和，由于两点电荷在O点的电场强度等大、反向，故O点的电场强度为0。
（3）若只取走A点的点电荷，则O点的电场强度仅有B处点电荷产生的电场强度，其大小为E＝k＝1.8×104 N/C，其方向沿x轴负方向。
1 / 3习题课一 库仑力作用下的平衡与加速
要点一 库仑力作用下带电体的平衡
1.库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题，可能是只有库仑力，也可能有其他力，但其本质都是平衡问题。解题的关键是进行受力分析并列出平衡方程。
2.“三步”处理库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题处理方式相同，也就是将力进行合成与分解。
【典例1】 如图所示，质量为m、带电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向的夹角θ＝30°，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则（ ）
A.A、B间库仑力大小F库＝
B.A、B间库仑力大小F库＝
C.细线拉力大小FT＝
D.细线拉力大小FT＝mg
答案：B
解析：对小球A进行受力分析如图所示。由对称性可知细线拉力大小等于库仑力大小。根据平衡条件可知F库 cos 30°＝mg，解得F库＝，细线拉力大小FT＝F库＝，故B正确，A错误；由库仑定律可得A、B间库仑力的大小为F库＝，细线拉力FT也为，故C、D错误。
1.人类已探明某星球带负电，假设它是一个均匀带电的球体，将一带负电的粉尘置于该星球表面h处，恰处于悬浮状态。现设科学家将同样的带电粉尘带到距星球表面2h处，无初速释放，则此带电粉尘将（ ）
A.向星球地心方向下落
B.飞向太空
C.仍在那里悬浮
D.沿星球自转的线速度方向飞出
解析：C 均匀带电的星球可视为点电荷。粉尘原来能悬浮，说明它所受的库仑力与万有引力相平衡，即＝G，可以看出，r增大，等式仍然成立，故C正确。
2.如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（ ）
A.qC＝q0
B.弹簧伸长量为
C.A球受到的静电力大小为2Mg
D.相邻两小球间距为q0
解析：A 以A、B、C整体为研究对象，对其受力分析，受重力、支持力以及弹簧的拉力，则由力的平衡条件可知，弹簧拉力F＝k0x'＝3Mgsin α，解得x'＝，B错误；以A为研究对象，小球受到的静电力大小为FA＝F－Mgsin α＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误；为了使B、C均能静止在光滑的绝缘斜面上，则小球C应带正电，设相邻两球之间的距离为x，则对小球B由力的平衡条件得Mgsin α＋＝，对小球C由力的平衡条件得Mgsin α＋＝，解得qC＝q0，x＝q0，A正确，D错误。
要点二 三个自由电荷的平衡
1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
2.规律
3.解题思路：解决三个自由点电荷的平衡问题时，首先应根据三个自由点电荷的平衡问题的规律确定出点电荷的电性和大体位置。求点电荷间的距离时，对未知电荷量的电荷列平衡方程；求未知电荷的电荷量时，对其中任意已知电荷量的电荷列平衡方程求解。
【典例2】 a、b两个点电荷相距40 cm，电荷量分别为q1、q2，且q1＝9q2，都是正电荷。现引入点电荷c，这时a、b、c电荷恰好都处于平衡状态。试问：点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应该放在什么地方？
答案：负电荷 q1 在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm
解析：设c与a相距x，则c、b相距0.4 m－x，设c的电荷量为q3，根据二力平衡可列平衡方程。
a平衡，则k＝k
b平衡，则k＝k
c平衡，则k＝k
解其中任意两个方程，可解得x＝0.3 m（c在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm），q3＝q2＝q1（q1、q2为正电荷，q3为负电荷）。
1.如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c（可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，它们之间仅在静电力的作用下静止，则以下判断正确的是（ ）
A.a对b的静电力可能是斥力
B.a对c的静电力一定是斥力
C.a的电荷量可能比b少
D.a的电荷量一定比c多
解析：B 根据静电力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”，因此a对b的静电力一定是引力，a对c的静电力一定是斥力，故A错误，B正确；同时根据库仑定律来确定静电力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，因此在电荷量大小上一定为“两大夹一小”，则a的电荷量一定比b多，而a的电荷量与c的电荷量无法确定，故C、D错误。
2.（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是（ ）
A.若a、c带正电，则b带负电
B.若a、c带负电，则b带正电
C.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
解析：ABC 三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以a和c带同种电荷，b带异种电荷，故A、B正确；根据库仑定律和矢量的合成有k＝k＝k，化简可得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确，D错误。
要点三 库仑力作用下带电体的加速
1.受力情况
带电物体除受到库仑力作用外，还可能受到其他力作用，如重力、弹力、摩擦力等，合外力不为零。
2.运动情况
（1）匀变速直线运动或非匀变速直线运动。
（2）平抛运动或匀速圆周运动。
3.处理方法
（1）对物体进行受力分析。
（2）明确其运动状态。
（3）根据其所受的合力和所处的状态，合理地选择牛顿第二定律、运动学公式、平抛运动知识以及圆周运动知识等相应的规律解题。
【典例3】 如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为30°的光滑固定绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变、沿斜面向上匀加速运动，已知重力加速度为g，电场力常量为k，求：
（1）加速度a的大小；
（2）F的大小。
答案：（1）－g （2）2k
解析：（1）根据库仑定律得两球间相互吸引的库仑力为F'＝k＝k
对B球由牛顿第二定律有F'－mgsin 30°＝ma
联立解得加速度为a＝－g。
（2）把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有
F－2mgsin 30°＝2ma，
解得F＝2k。
1.如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则（ ）
A.小环A的加速度大小为
B.小环A的加速度大小为
C.恒力F的大小为
D.恒力F的大小为
解析：B 设轻绳的拉力为FT，则对A，有FT＋FTcos 60°＝k，FTcos 30°＝maA，联立解得aA＝，B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2maA＝，C、D错误。
2.（多选）如图所示，带电粒子A带正电，带电粒子B带负电，在库仑力作用下（不计粒子间的万有引力和重力），它们以连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A.它们做圆周运动的向心力大小相等
B.它们的运动半径与电荷量成反比
C.它们的角速度相等
D.它们的线速度与质量成正比
解析：AC 两个带异种电荷的粒子之间的相互作用力为引力，两个粒子不会彼此靠近，和双星相似，两粒子角速度相同，设A质量为m1，带电荷量为＋q1，B质量为m2，带电荷量为－q2，对A有＝m1ω2r1＝m1＝m1v1ω，对B有＝m2ω2r2＝m2＝m2v2ω，可知r1∶r2＝m2∶m1，v1∶v2＝m2∶m1，A、C正确。
1.如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，同时从静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是（ ）
A.速度变大，加速度变大 B.速度变小，加速度变小
C.速度变大，加速度变小 D.速度变小，加速度变大
解析：C 因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小。
2.（多选）如图所示，把质量为m的带电小球B用绝缘细绳悬起，若将电荷量为Q的带正电的小球A靠近B，当两个带电小球在同一高度相距为r时，绳与竖直方向成α角，A、B两球均静止，重力加速度为g，静电力常量为k，A、B两个小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（ ）
A.B球带正电
B.B球带负电
C.绳对B球的拉力为mgcos α
D.B球带的电荷量为
解析：AD 由于A、B之间为库仑斥力，所以B球带正电，A正确，B错误；
对B球受力分析，如图所示。
根据平衡条件得
FTcos α＝mg
FTsin α＝F
F＝k
解得FT＝，q＝，故C错误，D正确。
3.（多选）如图所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球连接后悬挂在空中。三个带电小球质量相等，A球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为0，则（ ）
A.B球和C球都带负电荷
B.B球带负电荷，C球带正电荷
C.B球和C球所带电荷量不一定相等
D.B球和C球所带电荷量一定相等
解析：AD 以B为研究对象，B球受重力及A、C对B球的静电力而处于平衡状态，则A、C球对B球的静电力的合力应与重力大小相等、方向相反，而静电力的方向只能沿两电荷的连线方向，则A对B的静电力应指向A，C对B的静电力应指向B的左侧，由此可知，B、C都应带负电荷，A正确，B错误；由受力分析图可知，A对B的静电力应为C对B静电力的2倍，故C所带电荷量应为A所带电荷量的一半；同理分析C可知，B所带电荷量也应为A所带电荷量的一半，故B、C所带电荷量相等，C错误，D正确。
4.如图所示，粗糙水平面上有一倾角为θ、质量为M的绝缘斜面体，斜面体上有一可视为点电荷的质量为M的物体P。在与P等高（PQ连线水平）且相距为r的右侧固定一个可视为点电荷的物体Q，P、Q所带电荷量相同。P静止且受斜面体的摩擦力为零，斜面体保持静止，已知静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）P、Q所带电荷量；
（2）斜面体所受地面的摩擦力大小；
（3）斜面体对地面的压力大小。
答案：（1）均为 （2）Mgtan θ
（3）2Mg
解析：（1）对物体P受力分析，物体P受到水平向左的库仑力F库，垂直斜面向上的支持力FN，竖直向下的重力Mg。
根据平衡条件有tan θ＝，
设P、Q所带电荷量的大小为q，由库仑定律得
F库＝k
解得q＝。
（2）对斜面体和物体P整体受力分析可知，受到竖直向下的重力2Mg，竖直向上的支持力F支，水平向左的库仑力F库和水平向右的摩擦力Ff，由水平方向受力平衡有Ff＝F库＝Mgtan θ。
（3）对斜面体和物体P整体受力分析，竖直方向上受力平衡，所以地面对斜面体的支持力F支＝2Mg，由牛顿第三定律可知，斜面体对地面的压力大小为2Mg。
考点一 库仑力作用下带电体的平衡
1.如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为（ ）
A.F B.F
C.F D.F
解析：B 当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，有F＝3ma1，＝ma1，若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保持为2L并相对静止时，有F'＝3ma2，＝2ma2，联立可得F'＝F，B正确，A、C、D错误。
2.两材质、大小相同的带电小球， 带有等量的同种电荷，用等长的绝缘细线悬挂于O点，如图所示，平衡时，两小球相距r，两小球的直径比r小得多，可视为点电荷，此时两小球之间的静电力大小为F。若将两小球的电荷量同时各减少一半，当它们重新平衡时（ ）
A.两小球间的距离大于
B.两小球间的距离小于
C.两小球间的距离等于
D.两小球间的静电力等于F
解析：A 设两小球带电荷量均为Q，当两小球相距r时，两球间静电力大小为k，此时两细线的夹角为2θ1。根据两小球处于平衡状态，有k＝mgtan θ1。当两小球所带电荷量都减半时，重新达到平衡，两细线的夹角减小，设此时两细线的夹角为2θ2，两小球相距r'，则有k＝mgtan θ2。易知θ1＞θ2，则k＞k，所以r2＜4r'2，解得r'＞，故A正确。
3.如图所示，V形对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 滑块Q在光滑斜面N上静止，则由平衡条件可知，P与Q带同种电荷，两者之间为库仑斥力，设为F，两滑块的受力分析和相关角度如图所示，对Q，沿斜面方向有mgcos 30°＝Fcos 30°，可得F＝mg，对P，当P与M间的动摩擦因数最小时有N2＝F'＋mgsin 30°，f＝μN2，又f＝mgcos 30°，F＝F'联立解得μ＝，选项D正确。
4.（多选）如图所示，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球a、b、c、d，所带电荷量分别为－q、＋Q、－q、＋Q。四个小球构成一个菱形，a、c的连线与a、d的连线之间的夹角为α。若此系统处于平衡状态，则下列关系式正确的是（ ）
A.cos3α＝ B.cos3α＝
C.sin3α＝ D.sin3α＝
解析：AC 设菱形边长为l，则b、d之间的距离为2lsin α，a、c之间的距离为2lcos α。选取a作为研究对象，由库仑定律和平衡条件得2kcos α＝k，解得cos3α＝，选项A正确，B错误；选取d作为研究对象，由库仑定律和平衡条件得2ksin α＝k，解得sin3α＝，选项C正确，D错误。
考点二 三个自由电荷的平衡
5.如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为（ ）
A.正，B的右边0.4 m处
B.正，B的左边0.2 m处
C.负，A的左边0.2 m处
D.负，A的右边0.2 m处
解析：C 要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电。设C带电荷量为q，A、C间的距离为x，A、B间距离用r表示，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，选项C正确。
6.如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
（1）若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
（2）在（1）中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？
（3）若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷D，才可以使A、B、D三个点电荷都处于平衡状态？
答案：见解析
解析：（1）对C进行受力分析，由平衡条件可知，C应在A、B的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则有＝，解得r＝。
（2）C放置在距离A为处时，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响。
（3）A、B不固定，若将D放在A、B电荷外侧，A、B对D的作用力同为向左（或向右）的力，D不能平衡；若将D放在A、B之间，D为正电荷时，A、B都不能平衡，所以D为负电荷。设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，根据平衡条件
对点电荷A，有＝
对点电荷B，有＝
联立可得r1＝，Q＝q，即应在A的正右方与A相距处放置一个电荷量为q的负电荷，可以使A、B、D三个点电荷都处于平衡状态。
考点三 库仑力作用下带电体的加速
7.如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个质量均为m的带电小球分别固定在直角三角形ABC的三个顶点上，∠ABC＝30°，AC边长为l。已知A、B、C三个顶点上的小球所带电荷量分别为＋q、＋4q、－q，在释放顶点C处小球的瞬间，其加速度大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A C处小球受到A处小球的库仑引力为FAC＝，C处小球受到B处小球的库仑引力为FBC＝＝，且两力的夹角为60°，则合力为F＝2×cos 30°＝，则加速度大小为a＝＝，故选项A正确。
8.如图，氢原子核内只有一个质子，核外有一个电子绕核旋转，轨道半径为r，质子和电子的电荷量均为e，电子的质量为m1，质子的质量为m2，微观粒子之间的静电力远远大于相互间的万有引力，因此可以不计万有引力的作用，静电力常量为k，则电子绕核旋转的线速度大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 静电力提供向心力，则k＝m1，解得v＝，A正确。
9.（多选）如图所示，在光滑水平面上有A、B、C三个质量均为m的小球，A带正电，B带负电，C不带电，A、B带电荷量的绝对值均为Q，B、C两个小球用绝缘细绳连接在一起，当用外力F拉着A球向右运动时，B、C也跟着A球一起向右运动，在运动过程中三个小球保持相对静止共同运动，已知静电力常量为k，则（ ）
A.B、C间绳的拉力大小为F
B.B、C间绳的拉力大小为F
C.A、B两球间距离为
D.A、B两球间距离为
解析：BC 选取A、B、C作为整体研究，依据牛顿第二定律，则有F＝3ma，对C受力分析，设B、C间绳的拉力大小为T，由牛顿第二定律有T＝ma，解得T＝F，故A错误，B正确；对A受力分析，其受到拉力F及库仑力F'的作用，由牛顿第二定律有F－F'＝ma，解得F'＝F，由库仑定律有F'＝，解得A、B间距离LAB＝，故C正确，D错误。
10.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，对带正电的小球根据平衡条件可得3ksin θ＝mg，联立解得q＝，选项C正确。
11.如图所示，完全相同的金属小球A和B带有等量异种电荷，中间连有一轻质绝缘弹簧，放在光滑的水平面上，平衡时弹簧的压缩量为x0，现将不带电的与A、B完全相同的另一个小球C与A接触一下，然后拿走C，待A、B重新平衡后弹簧的压缩量为x，则（ ）
A.x＝ B.x＞
C.x＜ D.x＝x0
解析：C 平衡时小球间的库仑力大小等于弹簧弹力。第一次平衡有kx0＝，C与A接触后，A所带电荷量变为原来的一半，再次平衡时有kx＝。若r'＝r，则此时弹簧弹力F＝kx0，压缩量刚好为原来的一半，但实际上r'＞r，所以弹簧的压缩量小于，故C正确。
12.如图所示，在倾角为α的足够长光滑绝缘斜面上放置两个质量分别为2m和m的带电小球A和B（均可视为点电
荷），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为L'时，A、B的加速度大小之比为a1∶a2＝11∶5。已知重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性；
（2）在（1）条件下求L'与L的比值。
答案：（1） 正电荷 （2）
解析：（1）由初始B球的加速度等于零及B球带正电荷，可知A球带正电荷。
对B球受力分析，沿斜面方向B球受到的合力为零，即F0－mgsin α＝0
根据库仑定律得F0＝k
解得Q＝。
（2）两球距离为L'时，A球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有F＋2mgsin α＝2ma1
B球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有mgsin α－F'＝ma2
依题意有a1∶a2＝11∶5
由牛顿第三定律得F＝F'
解得F'＝mgsin α
又F'＝k
解得＝。
1 / 32.库仑定律
课标要求 素养目标
1.了解库仑定律的内涵，具有与库仑力相关的相互作用观念。 2.能在熟悉情境中运用点电荷模型分析问题。 3.体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。 4.了解库仑扭秤实验并能提出相关问题，体会科学研究的一些共性，并进行创新 1.通过与质点模型类比，体会将带电体看作点电荷的条件，进一步理解科学研究中的理想模型法。（物理观念） 2.通过探究库仑定律的过程，体会科学思想和方法。（科学探究） 3.通过例题和习题，掌握运用库仑定律分析求解问题的方法。（科学思维）
知识点一 电荷之间的作用力
1.库仑定律
（1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的 乘积 成正比，与它们的距离的 二次方 成反比，作用力的方向在它们的连线上。
（2）适用条件：① 真空 ；② 点电荷 。
2.静电力：电荷之间的相互作用力，也叫库仑力。
3.点电荷： 形状 、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以 忽略 的带电体，是一种理想化模型。
知识点二 库仑的实验
1.实验装置：库仑扭秤（如图所示）
2.实验步骤
（1）改变A和C之间的距离r，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。
（2）根据完全相同的金属小球接触后所带的电荷量相等，改变A和C的带电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。
3.实验结论
（1）力F与距离r的二次方成反比，即F∝。
（2）力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，即F∝q1q2。
4.库仑定律表达式：F＝ k ，其中k叫作静电力常量，k＝ 9.0×109 N·m2/C2。
知识点三 静电力计算
1.微观粒子间的万有引力 远小于 库仑力。在研究微观带电粒子的相互作用时，可以把万有引力忽略。
2.如果存在两个以上的电荷，那么，每个点电荷都要受到其他所有电荷对它的作用力。两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的 矢量和 。
【情景思辨】
用控制变量法可以研究影响电荷间相互作用力的因素。如图所示，O是一个带电的物体，若把系在绝缘丝线上的带电小球先后挂在横杆上的P1、P2、P3等位置，就可以比较小球在不同位置所受带电物体的作用力的大小，这个力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ显示出来。
（1）探究电荷之间的作用力与某一因素的关系时，必须采用控制变量法。（ √ ）
（2）只有电荷量很小的带电体才能看成点电荷。（ × ）
（3）两点电荷所带的电荷量越大，它们间的静电力就越大。（ × ）
（4）两点电荷所带的电荷量一定时，电荷间的距离越小，它们间的静电力就越大。（ √ ）
（5）若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力。（ × ）
要点一 库仑定律的理解与应用
【探究】原子结构模型示意图如图所示。该模型中，电子绕原子核做匀速圆周运动，就像地球的卫星一样。
观察图片，思考：电子做匀速圆周运动所需的向心力是由原子核对电子的万有引力提供的吗？
提示：不是，原子核对电子的库仑力提供了向心力，两者间的万有引力要比库仑力小得多，完全可以忽略不计。
【归纳】
1.静电力的大小计算和方向判断
（1）大小计算
利用库仑定律计算静电力的大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。
（2）方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
2.库仑定律与万有引力定律的比较
比较项目 万有引力定律 库仑定律
公式 F＝ F＝
力的效果 只能是引力 既可以是引力，也可以是斥力
适用条件 质点或质量分布均匀的球体 真空中静止的点电荷
常数 引力常量G 静电力常量k
相同点 与距离的平方成反比
3.两个带电球体间的库仑力
（1）两个规则的均匀带电球体，相距比较远时，可以看成点电荷，也适用库仑定律，球心间的距离就是二者的距离。
（2）两个规则的带电球形导体相距比较近时，不能被看作点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随所带电荷量的改变而改变，即电荷的分布会发生改变。若带同种电荷时，如图（a），由于排斥而距离变大，此时F＜k；若带异种电荷时，如图（b），由于吸引而距离变小，此时F＞k。
【典例1】 两个大小相同、可看成点电荷的金属小球a和b，带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电力的大小为F。现用一个不带电且与金属小球a、b大小相同的金属小球c先与a球接触，再与b球接触后移走，则a、b两球间的静电力大小变为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：设a球与b球的电荷量大小均为q，假设a球带正电，则b球带负电，当不带电的小球c与a球接触后，a、c两球平分电荷，每球带电荷量为＋，当再把c球与b球接触后，两球的电荷先中和再平分，每球所带电荷量为－，由库仑定律F＝k可知，当移开c球后，由于a、b两球间距离不变，所以a、b两球之间的静电力的大小为F1＝。
规律方法
解决此类问题的思路
（1）先根据库仑定律写出原来a、b间静电力的表达式；
（2）再根据“两个完全相同的导体球相互接触后电荷量平分”确定接触后a、b各自所带的电荷量；
（3）最后根据库仑定律写出变化后a、b间静电力的表达式。
1.图示的仪器叫库仑扭秤，法国科学家库仑用此装置找到了电荷间相互作用的规律，装置中A、C为带电金属球，两球间静电力大小为F，B为不带电的平衡小球，现将C球电荷量减半，扭转悬丝使A回到初始位置，则A、C两球间静电力大小为（ ）
A. B. C.F D.2F
解析：B 根据库仑定律可得F＝k，将C球电荷量减半，扭转悬丝使A回到初始位置，则A、C两球间距离不变，则A、C两球间静电力大小为，所以B正确。
2.两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（ ）
A.F B.F
C.F D.12F
解析：C 由库仑定律知F＝k，当两小球接触后，带电荷量都为Q，故接触后库仑力F'＝＝k，由以上两式解得F'＝F，故C正确。
要点二 静电力的叠加
1.两个或三个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论叫作静电力叠加原理。
2.静电力具有力的一切性质，静电力叠加原理实际就是力叠加原理的一种具体表现。
3.库仑力是矢量，若电荷受到的两个库仑力不在同一直线上，合成遵循平行四边形定则，如图所示。
【典例2】 如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则（ ）
A.a、b带同种电荷，k＝
B.a、b带异种电荷，k＝
C.a、b带同种电荷，k＝
D.a、b带异种电荷，k＝
答案：D
解析：如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或均为引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由相似三角形可知＝＝，结合库仑定律可得＝＝，同理易知若a对c的作用力为引力，b对c的作用力为斥力，结果相同，B错误，D正确。
1.如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示，那么可以判定点电荷C所带电荷的电性为（ ）
A.一定是正电
B.一定是负电
C.可能是正电，也可能是负电
D.无法判断
解析：B 对点电荷A受力分析，B对A的是库仑斥力，沿BA的连线向上，若C带正电，则C对A的库仑斥力沿CA的连线向上，这两个斥力的合力方向在BA延长线和CA延长线夹角范围内，不包括两条延长线，不可能偏BA延长线向右；若C带负电，C对A的库仑引力沿AC的连线向下，与B对A的库仑斥力的合力偏向BA延长线右侧，所以C一定带负电，故B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，分别在A、B两点放置电荷量为Q1＝＋2×10－14 C和Q2＝－2×10－14 C的两点电荷。在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2 m。如果有一电子静止放在C点处，则它所受的库仑力的大小和方向如何？
答案：8.0×10－21 N 方向平行于AB连线水平向左
解析：电子带负电荷，在C点同时受A、B两处点电荷的作用力FA、FB，如图所示。由库仑定律F＝k得，FA＝k＝9.0×109× N＝8.0×10－21 N，FB＝k＝8.0×10－21 N。由矢量的平行四边形定则和几何知识得静止放在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21 N，方向平行于AB连线水平向左。
1.下列对点电荷的认识，正确的是（ ）
A.只有体积很小的带电体才能看成点电荷
B.体积很大的带电体一定不能看成点电荷
C.只有球形带电体才能看成点电荷
D.当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
解析：D 由带电体看作点电荷的条件可知，当带电体的形状、大小及电荷分布对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，带电体能否看作点电荷由研究问题的性质决定，与带电体自身大小、形状无关，选项A、B、C错误；当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，两带电体的大小、形状及电荷分布对两带电体间相互作用力的影响可忽略不计，因此可将这两个带电体看成点电荷，选项D正确。
2.两个分别带有电荷量－Q和＋7Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，两小球相互接触后再分别放回原处，则两球间库仑力的大小为（ ）
A.F B.F
C.F D.F
解析：D 接触前两个带电小球之间的库仑力大小为F＝＝，接触之后两球所带电荷先中和后均分，故两球所带电荷量均变为＋3Q，此时两球之间的库仑力大小为F'＝＝，解得F'＝F，故D正确。
3.如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知三角形的边长为1 cm，B、C所带电荷量为qB＝qC＝＋1×10－6 C，A所带电荷量为qA＝－2×10－6 C，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向为（ ）
A.180 N，沿AB方向
B.180 N，沿AC方向
C.180 N，沿∠BAC的角平分线
D.180 N，沿∠BAC的角平分线
解析：D 点电荷B、C对点电荷A的静电力大小相等，为FBA＝FCA＝＝ N＝180 N，如图所示，A受大小相等的两个静电力，两静电力夹角为60°，由平行四边形定则和几何知识得A受到的静电力的合力大小为F＝2FBAcos 30°＝2×180× N＝180 N，方向沿∠BAC的角平分线，故D正确。
4.如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，A、B处的点电荷所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是（ ）
A.A处的点电荷带正电，QA∶QB＝1∶8
B.A处的点电荷带负电，QA∶QB＝1∶8
C.A处的点电荷带正电，QA∶QB＝1∶4
D.A处的点电荷带负电，QA∶QB＝1∶4
解析：B 要使C处的正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，该正点电荷所受力的情况应如图所示，所以A带负电，B带正电。设A、C间的距离为L，则B、C间的距离为2L。FBsin 30°＝FA，即k·sin 30°＝，解得＝，故选项B正确。
考点一 库仑定律的理解与应用
1.关于点电荷、元电荷，下列说法正确的是（ ）
A.电子一定可以看成点电荷
B.点电荷所带电荷量一定是元电荷的整数倍
C.形状不规则的带电体不能看成点电荷
D.点电荷、元电荷是同一种物理模型
解析：B 带电体可以看成点电荷的条件是带电体的形状、大小及电荷分布状况对它和其他带电体间相互作用力的影响可忽略不计，与带电体自身大小、形状及所带电荷量无必然联系，选项A、C错误；元电荷是带电体所带电荷量的最小值，因此点电荷所带电荷量一定是元电荷的整数倍，选项B正确；点电荷是物理模型，元电荷是电荷量的最小值，不是物理模型，选项D错误。
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.法国物理学家库仑发现了电荷之间的相互作用规律
B.若点电荷q1的电荷量大于点电荷q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
C.凡计算真空中两个静止点电荷间的相互作用，都可以使用公式F＝k
D.根据F＝k可知，当r→0时，F→∞
解析：AC 法国物理学家库仑发现了电荷之间的相互作用规律，故A正确；两点电荷之间的作用力是相互的，根据牛顿第三定律可知，无论点电荷q1的电荷量与点电荷q2的电荷量大小关系如何，q1对q2的静电力大小总等于q2对q1的静电力大小，故B错误；库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷，如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它看成一个几何点，则这样的带电体就是点电荷，一个实际的带电体能否看成点电荷，不仅和带电体本身有关，还取决于问题的性质和精度的要求，故C正确；当r→0时，带电体不能看成点电荷，公式F＝k不再适用，故D错误。
3.如图所示，两根完全相同的绝缘细线，把两个质量相等的小球悬挂在同一点O上，甲球的电荷量大于乙球的电荷量，则（ ）
A.甲、乙两球都一定带正电
B.甲、乙两球都一定带负电
C.甲球受到的静电力大于乙球受到的静电力
D.甲、乙两球受到的静电力大小相等
解析：D 依据题图可知，两球之间相互排斥，因此它们带同种电荷，可以是都带正电，也可以是都带负电，究竟带何种电荷不能确定，故A、B错误；两球之间的库仑力属于作用力和反作用力，大小相等，方向相反，故C错误，D正确。
4.真空中有两个静止的点电荷，它们的带电荷量分别为q1、q2，相距R，它们间相互作用的静电力的大小为F。若它们的带电荷量分别变为2q1、4q2，而距离增大为原来的2倍，则它们间的静电力的大小将变为（ ）
A. B.
C.2F D.8F
解析：C 根据库仑定律知，真空中两个静止点电荷间的静电力大小为F＝k，若它们的带电荷量分别变为2q1、4q2，而距离增大为原来的2倍，则两点电荷间的静电力大小为F'＝k＝k＝2F，选项C正确。
考点二 静电力的叠加
5.如图所示，在一条直线上的三点分别放置电荷量QA＝＋3×10－9 C、QB＝－4×10－9 C、QC＝＋3×10－9 C的A、B、C点电荷，则作用在点电荷A上的库仑力的大小为（ ）
A.9.9×10－4 N B.9.9×10－3 N
C.1.17×10－4 N D.2.7×10－4 N
解析：A A受到B、C点电荷的库仑力，如图所示。根据库仑定律有
FBA＝＝ N＝1.08×10－3 N，
FCA＝＝ N＝9×10－5 N
规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为FA＝FBA－FCA＝（1.08×10－3－9×10－5）N＝9.9×10－4 N，故A正确。
6.如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是（ ）
A.－Q，在A左侧距A为L处
B.－2Q，在A左侧距A为处
C.－4Q，在B右侧距B为L处
D.＋2Q，在A右侧距A为处
解析：C 根据电荷受力平衡规律可知，C应放在B的右侧，且与A电性相同，带负电，由FAB＝FCB得k＝k，由FAC＝FBC得k＝k，解得rBC＝L，QC＝4Q，故选C。
7.如图所示，电荷量分别为Q1、Q2的两个正点电荷分别置于A点和B点，两点相距L，在以AB为直径的光滑绝缘半圆环上，穿着一个带电荷量为q的小球（视为点电荷），小球在P点受力平衡，若不计小球的重力，那么PA与AB的夹角α与Q1、Q2的关系满足（ ）
A.tan2α＝ B.tan2α＝
C.tan3α＝ D.tan3α＝
解析：D 对小球进行受力分析，如图所示，设A、B两点与P点的距离分别为r1、r2，根据库仑定律有F1＝k，F2＝k，由几何关系知r1＝Lcos α，r2＝Lsin α，根据平衡条件，过P点沿圆环切向方向有F1sin α＝F2cos α，解得tan3α＝，故A、B、C错误，D正确。
8.如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q。静电力常量为k，求a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力。
答案：
解析：a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的静电力为引力，b电荷对a电荷的静电力为斥力。
根据库仑定律可得Fca＝，Fba＝Fda＝。
b、d电荷对a电荷的合力为F合＝，其方向与c电荷对a电荷的静电力的夹角为90°。
根据力的合成法则，a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小F＝＝。
9.如图所示，三个绝缘带电小球A、B、C处于竖直平面内，三个小球的连线构成直角三角形，∠A＝90°，∠B＝60°。用竖直向上的力F作用在小球A上，三个小球恰好处于静止状态。下列关于三个小球所带电荷量的关系中正确的是（ ）
A.qA＝qC B.qA＝qB
C.＝qBqC D.qB＝qC
解析：D 由平衡条件可知，A、B间和A、C间必是引力，B、C间必是斥力，故B、C带同种电荷，电性与A相反，对B球受力分析，如图所示
由平衡条件可得FABcos 60°＝FBC
同理对于C球满足FACcos 30°＝FBC
设A、B距离为l，则A、C距离为l，B、C距离为2l，由库仑定律可得FAB＝k，FAC＝k，FBC＝k，联立可得qA∶qB∶qC＝∶2∶2，D正确。
10.如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上。圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷＋q，则＋q在A点所受的库仑力为（ ）
A.，方向向上 B.，方向向上
C.，方向向上 D.，方向向上
解析：B 先把带电圆环均分成若干个小部分，每一小部分均可视为点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直向上方向上的库仑力大小为＝，故选B。
11.如图所示，半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为＋Q的电荷，另一电荷量为＋q的点电荷放在球心处，由于对称性，点电荷受力为零。现在球壳上挖去半径为r（r R）的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受静电力的大小为多少？方向如何？（已知静电力常量为k）
答案： 方向由球心指向小圆孔中心
解析：解法1：由于球壳上均匀带电，原来每条直径两端相等的一小块面积上的电荷对球心处点电荷＋q的静电力相互平衡。当在球壳上挖去半径为r的小圆孔后，因为是绝缘球壳，其余部分的电荷分布不改变，所以其他直径两端的电荷对球心处点电荷＋q的作用力仍相互平衡，剩下的就是与小圆孔相对的半径也为r的一小块圆面上的电荷对它的作用力。又r R，所以这一带电小圆面可看成点电荷，库仑定律适用。
小块圆面上的电荷量为q'＝Q＝Q
根据库仑定律得它对球心处的点电荷＋q的静电力大小F＝k＝k＝
其方向由球心指向小圆孔中心。
解法2：根据中和的特点可知，挖去的小圆孔相当于在此处加上了等量的异种电荷，因为完整球壳对球心处的点电荷的静电力为零，则被挖去小圆孔后的球壳对球心处点电荷的静电力等于在小圆孔处补上的等量异种电荷对该点电荷的作用力。
由库仑定律有F＝
其中Q'＝πr2＝。
得出F＝，方向由球心指向小圆孔中心。
12.如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小是多少？
答案：F
解析：由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F。将题图乙中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F。
1 / 3章末综合检测（一） 静电场及其应用
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.将带正电荷的小球靠近绝缘柱上不带电的导体，导体表面感应电荷分布大致为（ ）
解析：A 带正电荷的小球靠近绝缘柱上不带电的导体，在小球静电力的作用下，导体内部负电荷向左移动，导致导体左端聚集负电荷而带负电，右端因失去负电荷而带正电，A正确，B、C、D错误。
2.在干燥天气下，一个小孩从滑梯上往下滑，在下滑过程中，发现小孩的头发向四周“炸开”，如图所示，产生这一现象的原因可能是（ ）
A.小孩与滑梯间摩擦起电，使头发带上了异种电荷
B.小孩与滑梯间摩擦起电，使头发带上了同种电荷
C.小孩与滑梯间感应起电，使头发带上了异种电荷
D.小孩与滑梯间感应起电，使头发带上了同种电荷
解析：B 小孩在下滑的过程中与滑梯间摩擦起电，使头发带上了电荷，小孩的头发向四周“炸开”，说明头发带有同种电荷，同种电荷相互排斥，故B正确，A、C、D错误。
3.如图所示，A为带正电的金属板，其所带电荷量为Q，在金属板的垂直平分线上，距板r处放一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，小球受水平向右的静电力偏转θ角保持静止，静电力常量为k，重力加速度为g，则小球与金属板之间的库仑力大小为（ ）
A.k B.k
C. D.mgtan θ
解析：D A为带正电的金属板，此时不能将其看成点电荷，所以不能使用库仑定律求小球受到的库仑力，故A、B错误；小球受到的静电力方向水平向右，重力竖直向下，则小球的受力情况如图所示，由平衡条件得F＝mgtan θ，故C错误，D正确。
4.在正方形四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，则下列四个选项中，正方形中心处电场强度最大的是（ ）
解析：B 根据点电荷的电场强度公式E＝k，结合矢量合成法则可知，选项A中正方形中心处的电场强度为零，设顶点到正方形中心的距离为r，选项B中正方形中心处的电场强度大小为2k，选项C中正方形中心处的电场强度大小为k，选项D中正方形中心处的电场强度大小为k，故选B。
5.如图所示，两条曲线中一条是电场线，另一条是带电粒子P的运动轨迹，图示时刻其速度为v，加速度为a，有以下四种说法：①bc是电场线，de是轨迹线；②bc是轨迹线，de是电场线；③此时P粒子正在做加速运动；④此时P粒子正在做减速运动。其中正确的是（ ）
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析：C 做曲线运动的带电粒子速度沿轨迹切线方向，所以de是轨迹线；电场力沿电场线的切线方向，当带电粒子所受的电场力就是合力时，加速度方向和电场力的方向相同，所以bc为电场线。当合力与速度的夹角为锐角时，带电粒子做加速运动；当合力与速度的夹角为钝角时，带电粒子做减速运动，由图可知，粒子正在做减速运动，综上所述，选项C正确。
6.如图所示，正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OA连线延长线向上移动的距离到B点处，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，静电力常量为k，则此时O点的电场强度大小为（ ）
A.k B.k
C.k D.k
解析：C 线框上其他部分的电荷在O点产生的场强与A点处对应的带电荷量为q的电荷在O点产生的电场强度大小相等、方向相反，故E1＝＝k，B点处的电荷在O点产生的电场强度为E2＝k，由电场强度的叠加原理可知E＝E1－E2＝k，故选C。
7.如图所示，有两个相同的空心金属球M和N，M接地，N不接地（M、N相距很远，互不影响），旁边各放一个不带电的金属球P和R，当把带电荷量为＋Q的小球分别放入M和N的空腔中时（ ）
A.P、R上均出现感应电荷
B.P上没有感应电荷，而R上有感应电荷
C.P上有感应电荷，而R上没有感应电荷
D.P、R上均没有感应电荷
解析：B 把一个带电荷量为＋Q的小球放入原来不带电的金属空腔球壳N内，带负电的电子被带正电的小球吸引到内表面，内表面带负电，外表面剩余了正电荷，外表面带正电，而R处于电场中，出现静电感应现象，从而导致R上有感应电荷出现；若将带电荷量为＋Q的小球放入M中，M接地，由于静电屏蔽，P没有感应电荷，B正确。
8.如图所示，在一半径为R的圆周上均匀分布有N个绝缘带电小球（可视为质点），它们无间隙排列，其中A点的小球带电荷量为＋4q，其余小球带电荷量为＋q，此时圆心O点的电场强度大小为E，现仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为（ ）
A.大小为E，方向沿A、O连线斜向下
B.大小为，方向沿A、O连线斜向下
C.大小为，方向沿A、O连线斜向上
D.大小为，方向沿A、O连线斜向上
解析：C 假设圆周上均匀分布的都是电荷量为＋q的小球，根据对称性及电场的叠加原理知圆心O处电场强度为0，所以圆心O点处的电场强度大小等效于A点处电荷量为＋3q的小球在O点产生的电场强度，有E＝k，方向沿A、O连线斜向下；除A点小球外，其余带电荷量为＋q的小球在O点处产生的合电场强度大小等于在A点处带电荷量为＋q的小球在圆心O点产生的电场强度的大小，其大小为E1＝k＝，方向沿O、A连线斜向上，C正确，A、B、D错误。
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.用金属箔做成一个不带电的空心小圆球，放在干燥的绝缘桌面上。小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦，将笔套自上向下慢慢靠近小圆球，当距离约为1.0 cm时圆球被吸引到笔套上。对上述现象的判断与分析，下列说法正确的是（ ）
A.小圆球带负电
B.笔套靠近圆球时，圆球上部感应出异种电荷
C.圆球被吸引到笔套的过程中，圆球所受静电力大于圆球的重力
D.笔套碰到圆球后，笔套所带的电荷立刻被全部中和
解析：BC 绝缘材料做的笔套与头发摩擦，摩擦使笔套带电，带电的笔套靠近圆球时，圆球发生静电感应，圆球上部感应出与笔套相反的电荷，下部感应出与笔套相同的电荷，故圆球不是带负电；在圆球被吸引过程中，圆球加速度向上，则圆球所受静电力大于圆球的重力；绝缘材料做的笔套，自由电子无法移动，笔套所带的电荷无法立刻被全部中和。综上所述可知B、C正确。
10.如图，质量为m、电荷量为＋q的小球，从地面B点正上方的A点以某一初速度水平抛出，经过时间t后，小球落在地面上的C点，落地时的动能为Ek。若空间增加竖直向下的匀强电场，且场强大小E＝，小球仍以相同的速度从A点抛出，重力加速度为g，则小球（ ）
A.落地点位于BC中点
B.落地点位于BC中点的右侧
C.落地时动能小于2Ek
D.在空中运动的时间小于
解析：BC 若空间增加竖直向下的匀强电场，且场强大小E＝，则小球的加速度变为原来的2倍，由公式h＝gt2得t＝，可知当小球的加速度变为原来的2倍时，小球在空中运动的时间变为原来的，由公式x＝v0t，可知小球运动的水平位移变为原来的，故A、D错误，B正确；设小球的初动能为Ek0，未加电场时，由动能定理可知mgh＝Ek－Ek0，加电场后，由动能定理可知2mgh＝Ek'－Ek0，由以上两式可知，加电场后小球落地时动能Ek'小于2Ek，故C正确。
11.如图所示，真空空间中菱形区域ABCD的顶点B、D处分别固定有两个相同的点电荷，电荷量为＋Q，若在A处放置一点电荷，C处的电场强度恰好为零。已知菱形的边长为a，∠DAB＝60°，不计点电荷的重力。下列说法正确的是（ ）
A.在A处放置的点电荷的电荷量大小为｜QA｜＝3Q
B.若将A处的点电荷由静止释放，该点电荷将做加速直线运动
C.若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷可能做匀速圆周运动
D.若将A处的点电荷以某一初速度释放，该点电荷在A、C之间做往复直线运动
解析：AC 如图所示，B、D两处的点电荷在C处产生的合电场强度大小E＝2cos 30°＝，则A处的点电荷在C处产生的电场强度大小E1＝E＝，解得｜QA｜＝3Q，A正确；分析可知，A处的点电荷带负电，将A处的点电荷由静止释放，该电荷在电场力作用下先由A向O做加速直线运动，再由O向C做减速直线运动，该电荷在A、C之间做往复直线运动，B错误；若将A处的点电荷以某一垂直菱形ABCD所在平面的初速度释放，受到静电力指向BD中点，在静电力作用下，该电荷可能以O点为圆心做匀速圆周运动，C正确；将A处的点电荷以某一初速度释放，如果初速度方向与A、C连线不共线，该电荷将做曲线运动，如果初速度方向与A、C连线共线，该电荷做往复直线运动的范围超过A、C之间，D错误。
12.如图所示，水平面绝缘且光滑，一绝缘的轻弹簧左端固定，右端有一带正电荷的小球，小球与弹簧不相连，空间存在着水平向左的匀强电场，带电小球在静电力和弹簧弹力的作用下静止，现保持电场强度的大小不变，突然将电场反向，若将此时作为计时起点，则下列描述小球速度与时间、加速度与位移之间变化关系的图像正确的是（ ）
解析：AC 将电场反向，小球在水平方向上受到向右的电场力和弹簧的弹力，小球离开弹簧前，根据牛顿第二定律得小球的加速度a＝，可知a随x的增大均匀减小，当脱离弹簧后，小球的加速度a'＝，保持不变，可知小球先做加速度逐渐减小的加速运动，然后做匀加速运动，故A、C正确，B、D错误。
三、非选择题（共4小题，共60分）
13.（12分）以煤作燃料的电站，每天排出的烟气带走大量的煤粉，不仅浪费燃料，而且严重污染环境，利用静电除尘可以除去烟气中的煤粉。静电除尘器的原理图如图所示，除尘器由金属管A和悬在管中的金属丝B组成，在A、B上各引电极a、b接直流高压电源。假定煤粉只会吸附电子，而且距金属丝B越近电场强度越大。
（1）试定性说明静电除尘器的工作原理；
（2）设金属管A的内径r＝3 m，长为L＝50 m，该除尘器吸附煤粉的能力D＝3.5×10－4 kg/（s·m2），求其工作一天能回收煤粉多少吨。（最后结果取3位有效数字）
答案：（1）带电粒子在静电力的作用下奔向电极，并吸附在电极上
（2）28.5 t
解析：（1）由于煤粉吸附电子带电，故将在静电力的作用下奔向电极，并吸附在电极上。
（2）设一天回收煤粉的质量为m，管内表面积S＝2πrL。
则m＝＝ t≈28.5 t。
14.（14分）如图所示，一质量m＝2×10－4 kg，电荷量q＝3×10－9 C的带正电的小球A用长为10 cm的轻质绝缘细线悬挂于O点，另一带电荷量未知的小球B固定在O点正下方绝缘柱上（A、B均可视为点电荷）。当小球A平衡时，恰好与B处在同一水平线上，此时细线与竖直方向的夹角θ＝37°。已知重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）小球A受到的静电力大小；
（2）小球A所在位置的电场强度大小和方向；
（3）小球B的电荷量。
答案：（1）1.5×10－3 N （2）5×105 N/C 方向水平向右 （3）2×10－7 C
解析：（1）小球A受重力、细线的拉力和B球的斥力，根据小球A受力平衡可知，A球受到水平向右的静电力大小为F＝mgtan θ＝1.5×10－3 N。
（2）根据电场强度的定义式可知，小球A所在位置的电场强度大小为E＝＝5×105 N/C，方向水平向右。
（3）根据库仑定律得F＝，解得小球B的电荷量为Q＝2×10－7 C。
15.（16分）如图所示，匀强电场方向沿与水平方向成θ＝30°斜向右上方，电场强度为E，质量为m的带负电的小球以初速度v0开始运动，初速度方向与电场方向一致。（重力加速度为g）
（1）若小球带的电荷量为q＝，为使小球能做匀速直线运动，求应对小球施加的恒力F1的大小和方向；
（2）若小球带的电荷量为q＝，为使小球能做直线运动，求应对小球施加的最小恒力F2的大小和方向。
答案：（1）mg 方向与水平方向的夹角为60°，斜向右上方 （2）mg 方向与水平方向的夹角为60°，斜向左上方
解析：（1）如图甲所示，欲使小球做匀速直线运动，应使其所受的合力为零，有
F1cos α＝qEcos 30°
F1sin α＝mg＋qEsin 30°
联立解得α＝60°，F1＝mg
即恒力F1与水平方向的夹角为60°，斜向右上方。
（2）为使小球能做直线运动，则小球受的合力应和运动方向在一条直线上，故要求力F2和mg的合力与静电力在一条直线上。如图乙所示，当F2取最小值时，有
F2＝mgsin 60°＝mg
F2的方向与水平方向的夹角为60°，斜向左上方。
16.（18分）如图所示，有一水平向左的匀强电场，电场强度大小为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。再将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动。（静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）求：
（1）小球B开始运动时的加速度为多大？
（2）小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？
答案：（1）3.2 m/s2 （2）0.9 m
解析：（1）如图所示，开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得mgsin θ－－qEcos θ＝ma。解得：a＝gsin θ－－，
代入数据解得：a＝3.2 m/s2。
（2）小球B速度最大时合力为零，即
mgsin θ－－qEcos θ＝0
解得：r＝，
代入数据解得：r＝0.9 m。
1 / 3第九章 静电场及其应用
1.电荷
课标要求 素养目标
1.通过实验，了解静电现象。 2.能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象 1.初步形成电荷的概念，理解电荷守恒定律。（物理观念） 2.明确不同的起电方式和不同起电方式的实质。（科学思维） 3.知道正、负电荷的规定及电荷间相互作用的规律。（物理观念） 4.了解验电器的构造、原理，并借助验电器感受摩擦起电、感应起电的过程。（科学推理）
知识点一 电荷
1.两种电荷：自然界的两种电荷， 正电荷 和 负电荷 。
2.电荷量：电荷的 多少 ，常用Q或q表示，国际单位制单位是 库仑 ，简称 库 ，符号是 C 。
3.物体带电的本质
（1）原子的组成
（2）摩擦起电的原因
两个物体相互摩擦时， 电子 从一个物体转移到另一个物体，原来呈电中性的物体由于 得到 电子而带负电， 失去 电子的物体则带正电。
（3）金属的微观结构
金属中原子的外层电子往往会脱离原子核的束缚而在金属中自由运动，这种电子叫作 自由电子 ，失去自由电子的原子便成为带正电的 离子 。
知识点二 静电感应
1.静电感应：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或 排斥 ，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带 异种 电荷，远离带电体的一端带 同种 电荷的现象。
2.感应起电：利用 静电感应 使金属导体带电的过程。
3.枕形导体感应起电的步骤
第一步：靠近
第二步：分开
第三步：移走
知识点三 电荷守恒定律
1.电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体 转移 到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持 不变 。
2.一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的 代数和 保持不变。
知识点四 元电荷
1.定义：实验发现的最小电荷量就是 电子 所带的电荷量，这个最小的电荷量叫作元电荷，用符号e表示。
2.所有带电体的电荷量都是e的 整数倍 ，电荷量是不能 连续 变化的物理量。
3.元电荷的大小：现在公认的元电荷e的值为e＝1.602 176 634×10－19 C，在计算中通常取e＝ 1.60×10－19 C。
4.电子的比荷：电子的电荷量e与电子的质量me之 比 。电子的比荷为＝1.76×1011 C/kg。
【情景思辨】
如图所示，当一个带电体C靠近导体时，由于电荷间的相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带上与带电体异种的电荷，远离带电体的一端带上与带电体同种的电荷。利用这种方式使物体带电的方法叫感应起电。
（1）感应起电说明带电体可以在不带电的物体内创造电荷。（ × ）
（2）感应起电是利用静电感应，使电荷从物体的一部分转移到物体的另一部分的过程。（ √ ）
（3）先把A、B分开，然后移走C，A、B两端所带电荷都是负电荷。（×）
（4）先把A、B分开，然后移走C，贴在A、B下部的金属箔片都闭合。（ × ）
要点一 三种起电方式
【探究】
下面三幅图对应三种带电方式，试说明图甲、图乙、图丙分别对应哪种带电方式，电荷是如何转移的？
提示：图甲对应接触带电；图乙对应摩擦带电；图丙对应感应带电。图甲中，电荷在球与人体间转移，图乙中，电荷在玻璃棒与丝绸间转移，前两者电荷均是从一个物体转移到另一物体，图丙中，电荷在导体内部从导体的一部分转移到另一部分。
【归纳】
三种起电方式的对比
摩擦起电 感应起电 接触起电
现象 两物体带上等量异种电荷 导体两端出现等量异种电荷 导体带上与带电体同性的电荷
原因 不同物质原子核对电子的束缚能力不同。束缚能力强的得电子，带负电；束缚能力弱的失电子，带正电 电子在电荷间相互作用下发生转移，近端带异种电荷，远端带同种电荷 在电荷间相互作用下，电子从一个物体转移到另一个物体上
实质 电子在物体之间或物体内部的转移
说明 无论哪种起电方式，发生转移的都是电子，正电荷不会发生转移
【典例1】 如图所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触。把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开（ ）
A.此时A带正电，B带负电
B.此时A、B都带正电
C.移去C，则贴在A、B下部的金属箔都闭合
D.先把A和B分开，然后移去C，则贴在A、B下部的金属箔都闭合
答案：C
解析：将一带正电荷的物体C置于A附近，由于静电感应，此时A带负电，B带正电，A、B错误；移去C，由于A、B中正、负电荷中和，则贴在A、B下部的金属箔都闭合，C正确；先把A和B分开，然后移去C，此时A带负电，B带正电，贴在A、B下部的金属箔都张开，D错误。
1.如果天气干燥，晚上脱毛衣时，会听到“噼啪”的响声，还会看到电火花，关于这种现象产生的原因，下列说法正确的是（ ）
A.人身体上产生电流造成的
B.接触带电造成的
C.摩擦起电造成的
D.感应起电造成的
解析：C 脱毛衣时由于摩擦起电，衣服间产生异种电荷，当电荷积累到一定程度时，会产生电火花，并伴有“噼啪”的响声，选项C正确，A、B、D错误。
2.两个原来不带电的金属球B、C接触放置，将带负电的A球靠近B球（不接触），则（ ）
A.B球将带正电
B.C球不带电
C.用手摸一下B球，B球不再带电
D.将B、C分开，移走A，再将B、C接触，B球带正电
解析：A 带负电的A球靠近B球（不接触），由于静电感应使B球带正电，C球带负电，故A正确，B错误；人体是导体，用手摸一下B球，B球与人体、地球构成整体，大地是远端，带负电，B球是近端，带正电，故C错误；将B、C分开，移走A，B球带正电，C球带等量的负电，再将B、C接触，C上的负电荷转移到B上，从而使B、C都不带电，故D错误。
要点二 元电荷 电荷守恒定律
1.元电荷
（1）元电荷是最小的电荷量，而不是实物粒子，元电荷无正、负之分。
（2）虽然质子、电子所带的电荷量等于元电荷，但不能说质子、电子是元电荷。
2.两金属导体接触后电荷量的分配规律
（1）当两个导体材料、形状不同时，接触后再分开，只能使两者均带电，但无法确定电荷量的多少。
（2）若使两个完全相同的带电金属球相互接触，则有
【典例2】 甲、乙两个原来不带电荷的物体相互摩擦，结果发现甲物体带了1.6×10－15 C的电荷量（正电荷），下列说法正确的是（ ）
A.乙物体也带了1.6×10－15 C的正电荷
B.甲物体失去了104个电子
C.乙物体失去了104个电子
D.甲、乙两物体共失去了2×104个电子
答案：B
解析：甲、乙两个物体相互摩擦，甲带1.6×10－15 C的正电荷，那么由电荷守恒定律可知，乙应带1.6×10－15 C 的负电荷，即甲失去了104个电子，乙得到了104个电子，故B正确。
1.关于元电荷，下列说法错误的是（ ）
A.所有带电体的电荷量的绝对值一定等于元电荷的整数倍
B.元电荷的值通常取e＝1.60×10－19 C
C.元电荷实际上是指电子和质子本身
D.元电荷e的数值最早是由美国科学家密立根用实验测得的
解析：C 所有带电体的电荷量的绝对值一定等于元电荷的整数倍，选项A正确；元电荷的值通常取e＝1.60×10－19 C，选项B正确；元电荷是最小的电荷量，不是指电子和质子本身，选项C错误；元电荷e的数值最早是由美国科学家密立根用实验测得的，选项D正确。
2.（多选）甲、乙、丙三个物体最初均不带电，乙、丙是完全相同的导体，今使甲、乙两个物体相互摩擦后，乙物体再与丙物体接触，最后得知甲物体所带电荷量为＋1.6×10－15C，则对于最后乙、丙两个物体的带电情况，下列说法中正确的是（ ）
A.乙物体一定带有电荷量为8×10－16C的负电荷
B.乙物体可能带有电荷量为2.4×10－15 C的负电荷
C.丙物体一定带有电荷量为8×10－16 C的正电荷
D.丙物体一定带有电荷量为8×10－16 C的负电荷
解析：AD 甲、乙、丙三个物体原来都不带电，甲、乙两个物体相互摩擦导致甲物体失去电子而带1.6×10－15 C的正电荷，乙物体得到电子而带1.6×10－15 C的负电荷；乙物体与不带电的丙物体相接触，由于乙、丙两物体完全相同，故乙、丙两物体带等量负电荷，由电荷守恒定律可知乙、丙两物体最终所带电荷量均为8×10－16 C，A、D正确。
要点三 验电器的原理和使用
【探究】
验电器结构简单，同学可以用自制的验电器进行一些探究实验。如图所示，首先使验电器带了负电荷，验电器的金属箔片张开，但是经过一段时间后发现该验电器的金属箔片几乎闭合了。为什么会出现这种现象？是验电器的电荷消失了吗？
提示：验电器上所带负电荷减少的主要原因是潮湿的空气可以导电，电子被导走了。该现象是由电子的转移引起的，验电器的电荷并没有消失，仍然遵循电荷守恒定律。
【归纳】
1.验电器不带电时，其金属箔不张开。若用带电的金属棒靠近或接触验电器上的金属球，发生感应起电或接触起电，有一部分电荷转移到了金属箔上，则金属箔因为同种电荷相互排斥而张开。金属箔张开的角度越大，说明转移的电荷量越多，同时也说明金属棒带的电荷量越多。
2.若验电器本身带电（如带负电），其金属箔张开。如图所示。当用带电的金属棒A（如带正电）跟B接触时，因为电荷间的相互作用，验电器的金属箔可能出现两种现象：金属箔张角减小或先减小再增大。这是因为当A上正电荷较少时，A上的正电荷会与B上的负电荷中和，金属箔的张角就会减小。若A上正电荷较多，则A上的正电荷中和完B上原有的负电荷后，剩余的正电荷会使金属箔再张开。
【典例3】 （多选）如图所示，有一带正电的验电器，当一个金属球A靠近验电器上的金属球B时，验电器中金属箔的张角减小，则（ ）
A.金属球A可能不带电
B.金属球A一定带大量正电荷
C.金属球A可能带大量负电荷
D.金属球A一定带大量负电荷
答案：AC
解析：验电器的金属箔之所以张开，是因为它们都带有正电荷，张开角度的大小取决于两金属箔带电荷量的多少。如果A球带大量负电荷，靠近验电器的B球时，根据同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引可知，B球上的自由电子将向金属箔移动，使得金属箔上所带正电荷减少，从而使两金属箔张角减小；如果A球不带电，在靠近B球时，发生静电感应现象，使A球靠近B球的一面出现负的感应电荷，而背向B球的一面出现正的感应电荷，A球上的负的感应电荷反过来使验电器上的负电荷向金属箔移动，效果与A球带负电相同，从而使金属箔张角减小，选项A、C正确，B、D错误。
1.吉尔伯特制作了第一只验电器，后来，英国人格雷改进了验电器，其结构如图所示，验电器原来带正电，如果用一根带大量负电的金属棒接触验电器的金属球，金属箔的张角将（ ）
A.先变小后变大 B.变大
C.变小 D.先变大后变小
解析：A 带大量负电的金属棒接触验电器的金属球是接触起电，验电器上所带的正电荷先与负电荷中和，验电器带电量减少，金属箔张角变小；中和完后，多余的负电荷又会转移到验电器上，使金属箔的张角再次变大。
2.如图所示，用带正电的带电体A靠近（不接触）不带电的验电器的金属球，则（ ）
A.验电器的金属箔片张开，因为整个验电器都带上了正电
B.验电器的金属箔片张开，因为整个验电器都带上了负电
C.验电器的金属箔片张开，因为验电器的两金属箔片都带上了正电
D.验电器的金属箔片不张开，因为带电体A没有和验电器的金属球接触
解析：C 带正电的带电体A靠近原来不带电的验电器的金属球，因为异种电荷相互吸引，电子受到吸引移动到金属球上，所以金属球带负电，金属箔片失去电子带正电，由于同种电荷相互排斥，金属箔片张开，故C正确，A、B、D错误。
1.如图所示，将一束塑料丝一端打结，并用手迅速向下捋塑料丝多次，观察到这束塑料丝下端散开了，产生这种现象的主要原因是（ ）
A.塑料丝之间相互感应起电
B.塑料丝所受重力小，自然松散
C.塑料丝受到空气浮力作用而散开
D.由于摩擦起电，塑料丝带同种电荷而相互排斥
解析：D 由于不同物质对电子的束缚本领不同，当手与塑料丝摩擦时，使塑料丝带上了同种电荷，而同种电荷相互排斥，因此会观察到塑料丝散开，D正确，A、B、C错误。
2.如图所示，起初用绝缘柱支持的导体A和B彼此接触，且均不带电。手握绝缘棒把带正电荷的物体C移近导体A，但不接触，把A、B分开后，A带上－1.0×10－8 C的电荷，则下列说法正确的是（ ）
A.B得到1.0×108个电子
B.B失去1.0×108个电子
C.B带－1.0×10－8 C电荷
D.B带＋1.0×10－8 C电荷
解析：D 由静电感应知，导体A聚集负电荷，导体B聚集正电荷，导体A得到电子，导体B失去电子，电子数为n＝＝个＝6.25×1010个，A、B错误；根据电荷守恒定律可得，A带上－1.0×10－8 C的电荷，则B带＋1.0×10－8 C电荷，C错误，D正确。
3.（多选）M和N是两个都不带电的物体。它们互相摩擦后，M带正电荷2.72×10－9 C，下列判断正确的有（ ）
A.在摩擦前M和N的内部没有任何电荷
B.摩擦过程中电子从M转移到N
C.N在摩擦后一定带负电荷2.72×10－9 C
D.M在摩擦过程中失去1.7×1010个电子
解析：BCD 在摩擦前，物体内部存在着等量的异种电荷，对外不显电性，A错误；M失去电子带正电，N得到电子带负电，所以电子是从M转移到N，B正确；在摩擦起电过程中，得失电子数目是相等的，根据电荷守恒定律，M带正电荷2.72×10－9 C，则N一定带负电荷2.72×10－9 C，C正确；M失去的电子数为n＝＝个＝1.7×1010个，D正确。
4.如图所示，不带电的导体B在靠近带正电的导体A后，P端和Q端分别感应出负电荷和正电荷，则以下说法正确的是（ ）
A.若用导线将Q端接地，然后断开，再取走A，则导体B将带负电
B.若用导线将Q端接地，然后断开，再取走A，则导体B将带正电
C.若用导线将Q端接地，然后断开，再取走A，则导体B将不带电
D.若用导线将P端接地，然后断开，再取走A，则导体B将带正电
解析：A 不带电的导体B在靠近带正电的导体A时，导体B上的自由电子会向P端运动，导体B的P端因有了多余的电子而带负电，Q端因缺少电子而带正电；若用导线接地，无论接导体的任何部位，正电荷都将被大地的负电荷中和，断开接地线，再取走A，导体B将带负电，故A正确。
考点一 三种起电方式
1.下列对静电现象的认识正确的是（ ）
A.感应起电和摩擦起电都是电荷从一个物体转移到另一个物体上
B.制作汽油桶的材料用金属比用塑料好
C.人们在晚上脱衣服时由于摩擦起电创造了电荷，有时会看到火花四溅
D.玻璃棒与丝绸摩擦后带正电，丝绸上的正电荷转移到了玻璃棒上
解析：B 感应起电的实质是电荷从物体的一部分转移到另一个部分，摩擦起电的实质是电子从一个物体转移到另一个物体，A错误；汽油和塑料油桶会摩擦起电，因为塑料是绝缘材料，不能把电荷传走，所以塑料油桶内易产生火花导致塑料油桶爆炸，B正确；摩擦起电的实质是电子的转移，所以摩擦起电并没有创造电荷，C错误；与丝绸摩擦后的玻璃棒带上了正电荷，是因为玻璃棒上的负电荷转移到了丝绸上，从而使玻璃棒带上了正电荷，而丝绸带上了负电荷，D错误。
2.如图所示，将带正电荷的球C移近不带电的枕形金属导体时，枕形金属导体上电荷的移动情况是（ ）
A.枕形金属导体中的正电荷向B端移动，负电荷不移动
B.枕形金属导体中的负电荷向A端移动，正电荷不移动
C.枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向B端和A端移动
D.枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向A端和B端移动
解析：B 当将带正电荷的球C移近不带电的枕形金属导体时，发生了静电感应现象，金属导电的实质是自由电子的移动，即负电荷在外电场的作用下移动，枕形金属导体自由电子向A移动，正电荷不移动，故B正确。
3.（多选）如图所示，将带有负电荷的绝缘棒移近两个不带电的相同导体球甲、乙，两个导体球开始时互相接触且对地绝缘，下述几种方法能使两球都带电的是（ ）
A.先用绝缘工具把两球分开，再移走棒
B.先移走棒，再用绝缘工具把两球分开
C.先将棒接触一下其中的一个球，再用绝缘工具把两球分开
D.先使乙球瞬时接地，再移去棒
解析：ACD 将带负电的绝缘棒移近两球，由于静电感应，甲球感应出正电荷，乙球感应出负电荷，用绝缘工具把两球分开后，它们带上了等量异种电荷，再移走棒并不影响两球带电情况，A正确；若先将棒移走，则两球感应出的等量异种电荷立即全部中和，再用绝缘工具把两球分开，两球不会带上电荷，B错误；使棒与其中一个球接触，则两球会因接触而带上负电荷，C正确；若使乙球瞬时接地，则大地为远端，甲球为近端，由于静电感应，甲球带正电，再将棒移走，由于甲、乙两球是接触的，所以甲球上的电荷会重新分布在甲、乙两球上，结果两球都带上了电荷，D正确。
考点二 元电荷 电荷守恒定律
4.关于元电荷的理解，下列说法正确的是（ ）
A.元电荷就是电子
B.元电荷就是质子
C.物体所带电荷量不一定就是元电荷的整数倍
D.元电荷就是表示跟一个电子所带电荷量数值相等的电荷量
解析：D 元电荷指的是自然界中的最小电荷量，而不是带电粒子，其大小等于一个电子所带电荷量，A、B错误，D正确；任何带电体所带电荷量都是元电荷的整数倍，C错误。
5.一带负电绝缘金属小球放在潮湿的空气中，经过一段时间后，发现该小球上的电荷几乎不存在了，这说明（ ）
A.小球上原有的负电荷逐渐消失了
B.在此现象中，电荷不守恒
C.小球上负电荷减少的主要原因是潮湿的空气将电子导走了
D.该现象是由于正电荷的转移引起的，仍然遵循电荷守恒定律
解析：C 根据电荷守恒定律，电荷不能消灭，也不能创造，只会发生转移。该现象是潮湿的空气将电子导走了，是由于电子的转移引起的，仍遵守电荷守恒定律，故C正确，A、B、D错误。
6.如图所示，A、B是两个完全相同的带绝缘柄的金属小球，A球所带电荷量为－3.2×10－9 C，B球不带电。现将A、B接触后再分开，则（ ）
A.B球将得到1×1010个电子
B.B球将失去1×1010个电子
C.B球将得到2×1020个电子
D.B球将失去2×1010个电子
解析：A 将A、B接触后再分开，A、B所带电荷量均为q＝ C＝－1.6×10－9 C＝－1×1010e，所以B球得到了1×1010个电子。故A正确。
考点三 验电器的原理与使用
7.一个带电棒接触一个带正电的验电器时，金属箔片先闭合而后张开，这说明棒上带的是（ ）
A.正电荷 B.负电荷
C.正、负电荷都有可能 D.不带电
解析：B 因验电器的金属球带正电，验电器的金属箔片先闭合，说明了金属箔片得到电子，将正电荷中和，带电棒带的是负电；验电器的金属箔片后又张开是因为验电器金属球的一端将更多的负电荷传导给了金属箔片一端，验电器的金属箔片因带同种电荷而张开，故B正确。
8.某验电器的结构图如图所示。下列相关说法正确的是（ ）
A.金属箔张开，金属箔必带正电荷
B.金属箔张开，说明金属球与金属箔带等量异种电荷
C.金属箔的带电荷量可以为3.0×10－18 C
D.金属箔的带电荷量越多，金属箔张开的角度越大
解析：D 验电器是利用同种电荷相互排斥的原理工作的，当有带电体接触金属球时，验电器的金属球与金属箔带同种电荷，金属箔由于带同种电荷相互排斥而张开；当有带电体靠近金属球时，金属球与金属箔带等量异种电荷，金属箔由于带同种电荷相互排斥而张开，并且金属箔所带电荷量越多，金属箔张开的角度越大，故A、B错误，D正确；n＝＝＝18.75，而带电体所带的电荷量必须是元电荷的整数倍，故C错误。
9.如图所示，一个不带电的绝缘导体P正向带负电的小球Q靠近（不接触），下列说法中正确的是（ ）
A.导体P两端带等量同种电荷
B.A端的感应电荷电性与毛皮摩擦过的橡胶棒所带电性相同
C.B端的感应电荷电性与毛皮摩擦过的橡胶棒所带电性相同
D.导体P两端的感应电荷越来越少
解析：C 导体P处在负电荷的电场中，由于静电感应现象，导体的右端B要感应出负电荷，在导体的左端A会出现正电荷，故A错误；因毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，则B端的感应电荷电性与毛皮摩擦过的橡胶棒所带电性相同，故B错误，C正确；随着靠得越近，P两端的感应电荷越来越多，故D错误。
10.如图所示，在绝缘支架上的导体A和导体B按图中方式接触放置，原先A、B都不带电，且开关K1、K2均断开，现在将一个带正电的小球C放置在A左侧，以下判断正确的是（ ）
A.只闭合K1，则A左端不带电，B右端带负电
B.只闭合K2，接着移走带电小球C，最后将A、B分开，A带负电
C.K1、K2均闭合时，A、B两端均不带电
D.K1、K2均闭合时，A左端带负电，B右端不带电
解析：D 当只闭合开关K1时，导体A、B和大地组成了一个大导体，A左端为近端，大地为远端，由于静电感应，B右端带的正电荷会被从大地传来的负电荷中和，B右端不再带电，A左端带负电，故A错误；同理可知，当只闭合开关K2时，导体B右端不带电，A左端带负电，接着移走带电小球，导体A所带负电荷和大地中的电荷中和，不再带电，最后将A、B分开，A、B都不带电，故B错误；同理，K1、K2均闭合时，由于静电感应，A左端带负电，B右端不带电，故C错误，D正确。
11.如图所示，左边是一个原先不带电的导体，右边C是后来靠近的带正电的导体球。若用绝缘工具沿图示某条虚线将导体切开，分为A、B两部分，设这两部分所带电荷量的大小分别为QA、QB，则下列结论正确的是（ ）
A.若沿虚线c切开，A带负电，B带正电，且QA＞QB
B.只有沿虚线b切开，才有A带正电，B带负电，且QA＝QB
C.若沿虚线a切开，A带正电，B带负电，且QA＜QB
D.沿任意一条虚线切开，都有A带正电，B带负电，而QA的值与所切的位置有关
解析：D 导体原来不带电，但是在带正电的导体球C的静电感应作用下，导体中的自由电子向B部分转移，使B部分带负电，A部分带正电。根据电荷守恒定律，A部分移走的电子数目和B部分得到的电子数目是相同的，因此无论从哪一条虚线切开，两部分的电荷量大小总是相等的，电子在导体上的分布不均匀，越靠近右端负电荷密度越大，越靠近左端正电荷密度越大，所以从不同位置切开时，A部分所带电荷量的大小QA与所切的位置有关，故只有选项D正确。
12.如图所示，A、B、C、D是四个安装在绝缘支架上的金属物体，其中C、D是两个相同的球，分别带＋5×10－9 C、－1×10－9 C的电荷，A、B是两个相同的不带电枕形导体。则：
（1）将C、D两球接触后，移走C球，求D球所带的电荷量。
（2）将C、D两球接触，再移走C球，如何使A带负电，B带等量的正电荷？
（3）将C、D两球接触，再移走C球，如何使A、B都带等量的负电荷？
答案：见解析
解析：（1）当C、D两球接触时，两球所带总电荷量q＝＋5×10－9 C＋（－1×10－9 C）＝＋4×10－9 C，移走C球后，D球所带的电荷量为＝＋2×10－9 C。
（2）将A、B接触，D球靠近A，根据静电感应原理，在近端A感应出负电荷，远端B感应出等量正电荷，如图所示，在移走D之前，将A与B分开，则A带负电，B带等量的正电荷。
（3）在（2）问做法的基础上，先用手触摸B，再将A、B接触后分开，则A、B都带等量的负电荷。（其他答案合理即可）
1 / 33.电场 电场强度 第1课时 电场强度 电场强度的叠加
课标要求 素养目标
1.知道电场是一种物质。 2.了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。 3.用电场线描述电场 1.掌握电场强度的概念、公式、矢量性及方向的规定。（物理观念） 2.知道电场线，熟记几种常见电场的电场线。（物理观念） 3.领悟比值定义法定义物理量的特点。（物理观念） 4.能根据库仑定律和电场强度的定义式推导点电荷场强的计算式，并能进行有关的计算。（科学推理） 5.在进行场强叠加等计算时培养综合分析能力和知识的迁移能力。（科学思维）
第1课时 电场强度 电场强度的叠加
知识点一 电场 电场强度
1.电场
（1）概念：存在于电荷周围的一种特殊的 物质 ，由电荷产生。它是物质存在的一种形式。
（2）基本性质：对放入其中的电荷产生 力的作用 。电荷之间通过 电场 相互作用。
2.试探电荷：为研究电场各点的性质而引入的 电荷量 和体积都很小的点电荷。
3.场源电荷：激发 电场 的带电体所带的电荷，简称源电荷。
4.电场强度
（1）定义：试探电荷所受的 静电力 与它的电荷量之比。
（2）定义式：E＝ 。
（3）单位：牛每库，符号为N/C。
（4）方向：电场强度是 矢 量，电场中某点电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向 相同 。
知识点二 点电荷的电场 电场强度的叠加
1.点电荷的电场
（1）计算式：E＝ k 。
（2）方向：如图甲所示，若Q为 正 电荷，球面上各点的电场强度方向沿Q和该点的连线背离Q；如图乙所示，若Q为 负 电荷，电场强度方向沿Q和该点的连线指向Q。
2.均匀带电球体（或球壳）在球的外部产生的电场，与一个位于球心，电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同。
3.电场强度的叠加
电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的 矢量和 。
例如，图中P点的电场强度E等于点电荷Q1在该点产生的电场强度E1与点电荷Q2在该点产生的电场强度E2的 矢量和 。
【情景思辨】
A为已知电场中的一固定点，在A点放一电荷量为q的试探电荷B，B所受电场力为F，A点的电场强度为E，判断下列说法的正误。
（1）若在A点换上电荷量为－q的试探电荷，A点电场强度方向发生变化。（ × ）
（2）若在A点换上电荷量为2q的试探电荷，A点的电场强度将变为2E。（ × ）
（3）若移去试探电荷B，A点的电场强度变为零。（ × ）
（4）A点电场强度的大小、方向与试探电荷的有无及电荷量的大小、正负均无关。（ √ ）
（5）情景中所给的物理量满足F＝Eq。（ √ ）
要点一 电场 电场强度
【探究】
把同一试探电荷放在电场中的不同位置，由图可知，该试探电荷在不同位置所受的静电力的大小和方向不相同，这说明各点的电场的强弱和方向不相同。
（1）用什么物理量表征电场的强弱？如何定义这个物理量？
（2）同一位置，放不同试探电荷，试探电荷受力越大，则该位置电场强度越大吗？
提示：（1）电场强度。可以通过试探电荷受力来定义。
（2）E与F无关，E与试探电荷q无关。
【归纳】
1.公式E＝是电场强度的定义式，适用于一切电场，因为E与F、q无关，所以不能认为E∝F，E∝。但定义式给出了一种测量电场强度大小的方法。
2.电场中某一点的电场强度是唯一的，与试探电荷无关，它取决于形成电场的电荷（场源电荷）及空间位置。
3.E＝变形可得F＝qE，该式表明，如果已知电场中某点的电场强度E，便可计算在电场中该点放任意电荷量的带电体所受的静电力大小，即电场强度E是反映电场的力的性质的物理量。
【典例1】 由电场强度的定义式E＝可知，在电场中同一点（ ）
A.电场强度E跟F成正比，跟q成反比
B.无论放入电场中的电荷q值多大，F与q的比值都相同
C.先后放入带电荷量为＋q和－q的电荷，所受电场力等大反向，电场强度分别为E和－E
D.如果没有放入电荷q，那么该点的电场强度一定为零
答案：B
解析：电场强度E＝是采用比值法定义的，不能认为电场强度E跟F成正比，跟q成反比，故A错误；电场强度取决于电场本身，与试探电荷的电荷量多少和受力大小无关，试探电荷所带的电荷量变化时，在电场中的同一点受到的电场力与所带电荷量的比值都相同，故B正确；电场强度的方向与正试探电荷受到的静电力方向一致，与负试探电荷受到的静电力方向相反，但电场强度不因试探电荷的变化而变化，故C错误；电场强度取决于电场本身，与有无试探电荷无关，故D错误。
1.在电场中的某点放入电荷量为－q的试探电荷时，测得该点的电场强度为E；若在该点放入电荷量为＋3q的试探电荷，此时测得该点的电场强度（ ）
A.大小为3E，方向和E相反
B.大小为E，方向和E相同
C.大小为3E，方向和E相同
D.大小为E，方向和E相反
解析：B 电场强度是描述电场的强弱和方向的物理量，大小等于试探电荷所受的电场力F与试探电荷所带的电荷量q的比值，由电场本身决定，故与试探电荷的有无、电性、电荷量的大小无关；故在该点放入电荷量为－q的试探电荷时电场强度为E，改放电荷量为＋3q的试探电荷时电场强度大小仍为E，方向不变，故B正确，A、C、D错误。
2.电场中A点的电场强度为E，方向水平向右。若在A点放一电荷量为＋q的试探电荷，则它受到的电场力大小为F；若在A点放置一个电荷量为－2q的试探电荷，下列说法正确的是（ ）
A.A点的电场强度方向变为水平向左
B.A点的电场强度变为2E
C.电荷量为－2q的试探电荷受到的电场力方向水平向左
D.电荷量为－2q的试探电荷受到的电场力大小也为F
解析：C 电场强度是反映电场本身性质的物理量，与试探电荷的正负和大小无关，故在A点放一个负试探电荷时，A点的电场强度方向仍水平向右，大小仍为E，A、B错误；负电荷的受力方向与电场方向相反，由F＝qE可知，电荷量为－2q的试探电荷所受的电场力大小为2F，方向水平向左，C正确，D错误。
要点二 点电荷的电场 电场强度的叠加
1.E＝与E＝k的比较
公式 E＝ E＝k
本质区别 定义式 决定式
适用范围 一切电场 真空中点 电荷的电场
Q或q 的意义 q表示引入电场的（试探、检验）电荷的电荷量 Q表示产生电场的点电荷（场源电荷）的电荷量
关系 E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q的大小无关 E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝
2.电场强度的叠加
（1）电场强度是矢量，遵循矢量运算法则。
（2）同一直线上电场强度叠加，可以把矢量运算转化为代数运算，同向相加，异向相减。
（3）不在同一条直线上时，运用平行四边形定则合成运算。
【典例2】 下列关于点电荷的场强公式E＝k的几种不同的理解，正确的是（ ）
A.以点电荷Q为中心，r为半径的球面上各处的场强相同
B.当r→0时，E→∞；当r→∞时，E→0
C.点电荷Q产生的电场中，各点的场强方向一定背离点电荷Q向外
D.在点电荷Q的电场中，某点的场强大小与Q成正比，与r2成反比
答案：D
解析：以点电荷Q为中心，r为半径的球面上各处的场强大小相等，方向不同，因为场强是矢量，所以场强不同，故A错误；r→0时，带电体已不能看成点电荷了，点电荷的场强公式E＝k不再适用，故B错误；点电荷Q产生的电场中，各点的场强方向与点电荷的性质有关，正点电荷产生的电场中，各点的场强方向背离点电荷Q向外，负点电荷产生的电场中，各点的场强方向指向点电荷Q向内，故C错误；在点电荷Q产生的电场中，场强公式E＝k为决定式，所以某点的场强大小与Q成正比，与r2成反比，故D正确。
【典例3】 如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°。电荷量大小相等、电性相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的电场强度大小变为E2。那么E1与E2之比为（ ）
A.1∶2 B.2∶1
C.2∶ D.4∶
答案：B
解析：依题意，每个点电荷在O点产生的场强大小为，则当N点处的点电荷移至P点时，O点场强如图所示，合场强大小为E2＝，则E1∶E2＝2∶1，B正确。
1.（多选）真空中距点电荷（电荷量为Q）为r的A点处，放一个带电荷量为q（q Q）的点电荷，q受到的电场力大小为F，则A点的电场强度为（ ）
A. B.
C.k D.k
解析：BD E＝中q指的是试探电荷的电荷量，E＝中Q指的是场源电荷的电荷量，故B、D正确。
2.如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度（ ）
A.大小为，方向竖直向上
B.大小为，方向竖直向上
C.大小为，方向竖直向下
D.大小为，方向竖直向下
解析：C 四个点电荷的电荷量相等，两条对角线上的电荷都是一对等量异种点电荷，在交点处的电场强度的方向指向负电荷，且大小相等，如图所示，则合电场强度的方向竖直向下。任意一对等量异种点电荷的合电场强度E＝2×＝，所以合电场强度E合＝，故A、B、D错误，C正确。
1.（多选）下列选项中的图像是电场中某点的电场强度E及试探电荷所受电场力F与放在该点处的试探电荷所带电荷量q之间的函数关系图像，其中正确的是（ ）
解析：AD 电场中某点的电场强度与试探电荷无关，A正确，B错误；由F＝qE可知，F-q图线为过原点的倾斜直线，D正确，C错误。
2.如图所示，O、P、Q三点不在一条直线上，＜，在O处有一正点电荷。若P、Q两点的电场强度分别为EP、EQ，则（ ）
A.EP＜EQ，且方向相同
B.EP＞EQ，且方向相同
C.EP＜EQ，且方向不同
D.EP＞EQ，且方向不同
解析：D 根据正电荷在该点的受力方向为该点电场强度的方向，可知P点与Q点的电场强度方向不同。由点电荷的电场强度公式可得EP＝，EQ＝，由于＜，所以EP＞EQ，选项D正确。
3.如图所示，A、B、C三点的连线构成一个等腰直角三角形，∠A是直角。在B点放置一个电荷量为＋Q的点电荷，测得A点的电场强度大小为E。若保留B点的电荷，再在C点放置一个电荷量为－Q的点电荷，则A点的电场强度大小等于（ ）
A.0 B.E
C.E D.2E
解析：C 正电荷Q在A点产生的电场强度为E，沿BA方向，负电荷Q在A点产生的电场强度也为E，方向沿AC方向，根据电场强度的叠加可知E合＝＝E，故C正确，A、B、D错误。
4.如图所示，真空中一条直线上有四点A、B、C、D，AB＝BC＝CD，只在A点放一电荷量为＋Q的点电荷时，B点电场强度为E，若又将等量异种的点电荷－Q放在D点，则（ ）
A.B点电场强度为E，方向水平向右
B.B点电场强度为E，方向水平向右
C.B点的电场强度大于C点的电场强度
D.BC线段的中点电场强度为零
解析：B 只在A点放正电荷时，B点的电场强度为E＝k，又将等量异种的点电荷－Q放在D点后，B点的电场强度大小为EB＝k＋k＝E，方向水平向右，故A错误，B正确；此时C
点的电场强度大小为EC＝k＋k＝E方向水平向右，与B点的电场强度相同，故C错误；Q和－Q在BC线段的中点产生的电场强度大小相等，方向相同，叠加后合电场强度不为零，故D错误。
考点一 电场 电场强度
1.（多选）关于电场，下列说法正确的是（ ）
A.电荷周围一定存在着电场
B.电场不是客观存在的，是人们虚构的
C.电荷间的相互作用是通过电场产生的，电场最基本的性质是对放在其中的电荷有力的作用
D.电场只能存在于真空中和空气中，不可能存在于物体中
解析：AC 电荷周围存在着电场，电场对放在其中的电荷有力的作用，电荷之间的相互作用是通过电场发生的，A、C正确；电场是一种物质，它与其他物质一样，是客观存在的，在真空中、空气中、导体中都能存在，B、D错误。
2.如图所示为在一电场中的a、b、c、d四个点分别引入试探电荷时，电荷所受的静电力F跟引入的试探电荷的电荷量之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A.该电场是匀强电场
B.这四点的场强大小关系是Ed＞Eb＞Ea＞Ec
C.这四点的场强大小关系是Eb＞Ea＞Ec＞Ed
D.无法比较这四点场强的大小
解析：B 对于电场中给定的位置，放入电荷量不同的试探电荷，它们受到的静电力不同，但是静电力F与试探电荷的电荷量q的比值（即场强E）是不变的量，因为F＝qE，所以F跟q的关系图线是一条过原点的直线，该直线斜率的绝对值表示场强的大小，由此可得Ed＞Eb＞Ea＞Ec，故选项B正确，A、C、D错误。
3.在电场中A点放一个＋2×10－6 C的电荷，受到的静电力为4×10－4 N，把电荷拿走后，A点的电场强度为（ ）
A.0 B.2×102 N/C
C.5×10－3 N/C D.无法确定
解析：B 电场强度与检验电荷无关，所以把电荷拿走后，A点的电场强度仍为E＝＝ N/C＝2×102 N/C，B正确，A、C、D错误。
考点二 点电荷的电场 电场强度的叠加
4.如图所示，a、b两点位于以负点电荷－Q（Q＞0）为球心的球面上，c点在球面外，则（ ）
A.a点电场强度与b点电场强度相同
B.a点电场强度的大小比c点大
C.b点电场强度的大小比c点小
D.条件不足，无法判断a、b、c三点的电场强度大小关系
解析：B 根据点电荷电场强度的计算公式E＝k可知，a点电场强度大小和b点电场强度大小相等，但是方向不同，故A错误；a点到点电荷的距离比c点近，则a点电场强度的大小比c点大，同理可知，b点电场强度的大小比c点大，故B正确，C、D错误。
5.公式E＝①和公式E＝k②分别为电场强度的定义式和点电荷的场强公式。下列说法中正确的是（ ）
A.①式中的场强E不是①式中的电荷q所产生的电场的场强，②式中的场强E是②式中的电荷q所产生的电场的场强
B.①式中的F是放入某电场中的电荷所受的力，q是产生这个电场的电荷
C.②式中的场强E是某电场的场强，q是放入此电场中的电荷
D.①②两式都只对点电荷产生的电场才成立
解析：A ①式中的场强E不是①式中的电荷q所产生的电场的场强，②式中的场强E是②式中的电荷q所产生的电场的场强，故A正确；①式中的F是放入某电场中的电荷所受的力，q是放入这个电场中的电荷，故B错误；②式中的场强E是某电场的场强，q是产生此电场的电荷，故C错误；公式E＝是电场强度的定义式，适用于任何电场，而②式只对点电荷产生的电场才成立，故D错误。
6.如图所示，边长为l的正三角形ABC的三个顶点上各有一点电荷，B、C两点处的电荷所带电荷量均为＋q，A点处的点电荷所带电荷量为＋3q，则BC边中点D处的电场强度大小为（ ）
A. B. C. D.
解析：A 根据点电荷的电场强度公式可知，点电荷B、C在D点合电场强度为0，点电荷A在D点的电场强度EA＝k＝
所以D处的电场强度大小为ED＝EBC＋EA＝
故选A。
7.如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距。先在a点固定一点电荷＋Q，测得b点场强大小为E。若再将另一等量异种点电荷－Q放在d点，则（ ）
A.b点的场强比c点的大
B.c点的场强大小为E
C.b点的场强方向向左
D.c点的场强方向向左
解析：B 设ab＝bc＝cd＝L，点电荷＋Q在b点产生的场强大小为E，方向水平向右，则E＝；点电荷－Q在b点产生的场强大小为E1＝＝E，方向水平向右，所以此时b点的场强大小为Eb＝E＋E＝E，方向水平向右。由对称性可知，c点的场强大小也为E，方向水平向右，故B正确。
8.如图所示，真空中有一等边三角形ABC，边长d＝0.30 m。在A点固定一电荷量q1＝＋3.0×10－6 C的点电荷，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
（1）点电荷q1产生的电场在C处的电场强度E1大小；
（2）在B点固定另一个q2＝－3.0×10－6 C点电荷，则C处合电场强度E的大小及方向；
（3）试探电荷q3＝＋5.0×10－7 C放在C处受到的静电力F大小。
答案：（1）3×105 N/C （2）3×105 N/C 方向水平向左 （3）0.15 N
解析：（1）由点电荷电场强度公式有E1＝k
代入数据得E1＝3×105 N/C。
（2）点电荷q2在C点产生的电场强度大小E2＝E1
根据平行四边形定则有E＝2E1cos 60°
代入数据得E＝3×105 N/C，方向水平向左。
（3）电荷q3在C处受到的静电力F＝qE
代入数据得F＝0.15 N。
9.如图所示的真空空间中，仅在正方体的黑点处存在着电荷量大小相等的点电荷，则图中a、b两点电场强度相同的是（ ）
解析：C 由正、负点电荷的电场强度特点及电场强度的叠加原理可知，只有选项C正确。
10.如图所示，AB为等量同种点电荷间的连线，CB垂直AB且∠CAB＝30°，D为AC的中点。若已知D点的电场强度大小为E，则C点的电场强度大小为（ ）
A.E B.E
C.E D.E
解析：B 根据几何关系可知，D到A、B两点间的距离等于AC的一半，也等于BC，根据点电荷电场强度的方向可知，两点电荷在D点的电场强度方向夹角为120°，由点电荷电场强度公式E＝及电场强度叠加原理可知，它们在D点的电场强度大小相等，且都为E；那么A点电荷在C点的电场强度大小为，B点电荷在C点的电场强度大小为E，方向如图所示。（以A、B处点电荷均为正点电荷为例），根据平行四边形定则，结合余弦定理，可得C点的电场强度大小为EC＝E，故B正确，A、C、D错误。
11.如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
（1）A球刚释放时的加速度大小；
（2）当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
答案：（1）gsin α－ （2）
解析：（1）对A球，由牛顿第二定律可知
mgsin α－F库＝ma
根据库仑定律得F库＝k
又r＝
解得a＝gsin α－。
（2）当A球受到的合力为零时，加速度为零，动能最大，设此时A球与B点间的距离为d，则有mgsin α＝，
解得d＝。
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