北师大版数学八年级下册 2.3一元一次不等式与一次函数 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·郑州期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·长清月考）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·永寿期末）一次函数与的图象如图，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·福州期中）如图，函数和的图象相交于点P(1，m)，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），则不等式4x+2>kx+b的解集为（ ）
A．x<-2 B．x>-1 C．x<-1 D．x>-2
6．（2025八下·青羊期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·柯城期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ．
8．（2025八下·成都期中）如图，一次函数y1=kx-m（k、m是常数，且k≠0），y2=-x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为 .
9．（2025八上·深圳期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是 ．
二、能力提升
10．（2024八下·沈阳月考）如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．关于x的方程的解是
D．关于x的不等式的解集是
11．（2025八下·北川期中）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
12．（2025·揭西期末） 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
13．如图，已知一次函数与y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象相交于点A（m，-2），则m= ，关于x的不等式组的解集是 。
14．（2025八上·兰溪月考）如图，函数y=-3x和y=kx+b的图象交于点A(m，4)，则关于x的不等式(k+3)x+b<0的解集为 。
15．（2025八下·成都期末） 根据如图所示的部分函数图象，可得不等式的解集为 ．
16．（2025八上·镇海区期末）如图，直线 与直线 相交于点 ．
（1）求 的值．
（2）根据图象，直接写出 的解集．
17．（2025八上·上城期末）已知一次函数，其中．
（1）若点在的图象上，求的值；
（2）当时，若函数有最大值，求的函数表达式；
（3）对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围．
三、拓展创新
18．（2025八上·龙岗期中）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y＝|x|﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．
（1）列表：y与x的部分对应值如表，则a＝ ，b＝ ．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … a 0 -1 -2 -1 b 1 …
（2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y＝|x|﹣2的图象；
（3）结合图象，写出一条函数y＝|x|﹣2的性质： ．
（4）根据函数图象填空：
①方程|x|﹣2＝2有 个解；
②若关于x的方程|x|﹣2＝m无解，则m的取值范围是 ．
19．（2024八下·罗湖期中）
（1）【问题提出】如何解不等式|x-1|+|x-3|＞x+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：
当x＞-2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3＞x+1的解集为 .
预备知识2：函数y=|x|= ，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简|x-1|+|x-3|时，可令x-1=0和x-3=0，分别求得x=1，x=3（称1，3分别是|x-1|和|x-3|的零点值），这样可以就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论：
（1）当x＜1时，|x-1|+|x-3|=-（x-1）-（x-3）=4-2x；
（2）当1≤x＜3时，|x-1|+|x-3|=（x-1）-（x-3）=2；
（3）当x≥3时，|x-1|+|x-3|=（x-1）+（x-3）=2x-4．
∴|x-1|+|x-3|就可以化简为 ．
预备知识3：函数y=b（b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示．
（2）【知识迁移】如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m，3)， 则关于x的不等式x+l≤ax+b的解集是 。
（3）【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x-1|+x-3>x+2。
①请在图⑤所示请在平面直角坐标系内作出函数y=|x-1|+|x-3|的图象.
②通过观察图象，便可得到不等式|x-1|+|x-3>x+2的解集.这个不等式的解集为 ▲ 。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知：时，直线在直线的上方，
所以的不等式的解为，
故选：B．
【分析】当直线的图象在直线的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式kx+b＞x+a的解集是x＜-2．故选：B．
【分析】当一次函数y1=kx+b的图象在y2=x+a的图象的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），∴k+b=m，
当x=-1时，kx-b=-k-b=-（k+b）=-m，
即（-1，-m）在函数y=kx-b的图象上．
又∵（-1，-m）在y=mx的图象上．
∴y=kx-b与y=mx相交于点（-1，-m）．
则函数图象如图．
∴不等式-b≤kx-b≤mx的解集为-1≤x≤0．
故答案为：B．
【分析】由题意首先确定y=mx和y=kx-b的交点以及作出y=kx-b的大体图象，进而根据图象求不等式组-b≤kx-b≤mx的解集，就是求直线y=kx-b的图象在直线y=-b交点及上方部分，且直线y=kx-b的图象在直线y=mx图象交点及下方的部分对应的自变量的取值范围，结合图形及交点坐标即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】
解： 观察图像：在交点的右边部分满足不等式4x+2>kx+b
∴ x>-1
故答案为：B
【分析】根据一次函数与不等式的关系：在交点的右边部分直线y=4x+2的图像在直线y=kx+b的上方，即为交点的右边，写出解集即可解答.
6．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，不等式的解集可以看作是函数的图象在的图象上方部分对应的自变量的取值范围．
∵函数和的图象相交于点，
∴结合图象可得，不等式的解集为，
故选：D．
【分析】根据直线 在直线 上方的自变量x的取值范围解答即可．
7．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象可知，
当时，直线在直线的下方，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】求关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是指直线在直线的下方部分自变量的取值范围，结合交点横坐标即可得出答案.
8．【答案】x＞3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解： ∵一次函数 与 的象交于点P(3，2)，
∴当x>3时，kx-m>-x+n，
∴关于x的不等式((k+1)x>m+n的集为x>3.
故答案为：x>3.
【分析】根据直线y1=kx-m 在直线y2=-x+n 上方时自变量x的取值范围解答即可.
9．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：在点右侧图象符合，且点的横坐标为，
∴若不等式，则．
故答案为：．
【分析】当函数图象在函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，故A，B选项正确，不符合题意；
把交点代入一次函数中得，
，解得，，
∴，
把点代入一次函数图象得，，
∴当时，，故C选项正确，不符合题意；
当时，，故D选项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合图象可判断A、B选项；把交点代入一次函数中算出a=-1，则点P(-1，3)，从图象角度看，求方程kx+b=3的解，就是求点P的横坐标，据此可判断C选项；求关于x的不等式kx+b＜-2x+1的解集，从图象角度看就是直线y=kx+b的图象在直线y=-2x+1的图象的下方部分相应的自变量的取值范围，结合点P的横坐标可得答案.
11．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入直线得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（5，0），
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确．
故选：B.
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，然后得到在x轴上方且直线 在直线 上方的自变量x的取值范围即可．
12．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：观察函数图象：在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方，A（3，1）
∴kx+b＜x时， x＞3.
故答案为：A。
【分析】观察函数图象，在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方时，即可得出 当kx+b＜x时，x的取值范是 x＞3.
13．【答案】 3； 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵点A(m， 2)是一次函数y= x 6与y=kx+b的交点，
∴把点A(m， 2)代入y= x 6可得：
2= m 6，
解得：m=-3，
在y= x 6中，令y=0，
则0= x 6，
解得：x=-，
∴直线y= x 6与x轴的交点坐标为( ，0)。
从图象上看，交点A( 3， 2)左侧直线y=kx+b在直线y= x 6下方，
∴kx+b< x 6的解集是x< 3；
直线y= x 6在x轴下方时，x> ，
∴- x 6<0的解集是x> ，
∴不等式组的解集为 故答案为： 3； 【分析】首先利用交点坐标满足函数表达式的性质，将交点的纵坐标代入已知函数y= x 6求出m的值，得到交点坐标。然后通过令y=0求出直线y= x 6与x轴的交点坐标。最后根据一次函数与不等式的关系，即不等式kx+b< x 6的解集就是直线y=kx+b的图象在直线y= x 6图象下方时x的取值范围；不等式- x 6<0的解集就是直线y= x 6的图象在x轴下方时x的取值范围。结合前面求出的交点A( 3， 2)和直线y= x 6与x轴的交点( ，0)，通过观察图象确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数y=-3x和y=kx+b的图象相交于点A(m，4)
∴4=-3m，
解得：
故A点坐标为：
∵kx+b<-3x时，
∴(k+3)x+b<0，
则关于x的不等式(k+3)x+b>0的解集为：，
故答案为：.
【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m的值，再利用函数图象得出答案.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象知：y=ax+b与y=mx+n交于点(4，3)
∴当ax+b>mx+n时，x<4，
故答案为：x<4.
【分析】根据函数图象的上下位置关系确定一元一次不等式的解集，用到数形结合的思想.
16．【答案】（1）解：把点P(1，b)代入y= - 2x+4得
b=-2×1+4，
∴b=2，
∴点P(1，2)，
把点P(1，2)代入y= kx+1得， 2 =k+1，
∴k=1；
（2）解：由函数图象可知， 0≤kx+1<-2x+4的解集为0≤x<1.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)先求出直线 表达式，再求点B坐标，根据OB=OC， 即得点C坐标， 结合点A(1，2)， 即可求出直线 的解析式；(2)根据图象， 要找满足0≤kx+1<-2x+4的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线 的图象在 的图象上方，且 的图象在x轴的上方.
17．【答案】（1）解：把代入得，∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把代入中可求出a的值；
（2）分类讨论：在y1=ax+1中，当时，y1随x的增大而增大，故时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；在y1=ax+1中，当时，y1随x的增大而减小，故时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式；
（3）分类讨论：结合图象，①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，②当一次函数与一次函数的图象有交点时，求解即可.
（1）解：把代入得，
∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
18．【答案】（1）1；0
（2）解：根据表格数据，描点、连线即可作函数图象如下：
（3）的图象关于y轴对称
（4）2；
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）当时，，则a＝1，
当时，，则b＝0.
故答案为：1；0.
（3）如图，
观察发现，函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称.
故答案为：函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称.
（4）①如图，
方程|x|﹣2＝2的解可理解为函数y＝|x|﹣2与y＝2的交点坐标的横坐标，观察图像发现，函数y＝|x|﹣2与y＝2有两个交点，则方程|x|﹣2＝2有2个解.
故答案为：2.
②如图，
方程|x|﹣2＝m无解时，即函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点，观察图像发现，时，函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点，则方程|x|﹣2＝m无解时m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】（1）分别把，代入即可求出a，b的值.
（2）根据表格数据，在坐标系中描点、连线即可得函数y＝|x|﹣2的图象.
（3）观察图像发现，函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称即可.
（4）①方程|x|﹣2＝2的解可理解为函数y＝|x|﹣2与y＝2的交点坐标的横坐标，观察图像发现，函数y＝|x|﹣2与y＝2有两个交点，则方程|x|﹣2＝2有2个解即可得答案.
②方程|x|﹣2＝m无解时，即函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点，观察图像发现，时，函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点即可得答案.
19．【答案】（1）x≤2
（2）x≤2
（3）解：①设y=|x-1|+|x-3|，
根据题意可得：，
作图如下：
②或x＞6.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵当x＞-2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式2x+3＞x+1的解集为：x＞-2，
故答案为：x＞-2；
（2）∵点A（m，3）在y=x+1上，
∴m+1=3，
解得：m=2，
∴A（2，3），
∵当x≤2时，直线y=ax+b的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式ax+b≥x+1，即x+1≤ax+b的解集为：x≤2，
故答案为：x≤2.
（3）②如图，由函数图象得，y=4-2x与y=x+2有交点，
则有：，
解得：，
y=2x-4与y=x+2有交点，
则有：，
解得，
∴y=|x-1|+|x-3|与y=x+2的两个交点坐标分别为，（6，8）；
由函数图象可知，当时，y=|x-1|+|x-3|的图象在y=x+2上方，当x＞6时，y=|x-1|+|x-3|的图象在y=x+2上方，
故不等式|x-1|+|x-3|＞x+2的解集为或x＞6．
故答案为：或x＞6.
【分析】（1）观察图象即可得出结论；
（2）先将A点代入直线y=x+1求出m的值，再结合图象即可得出关于x的不等式x+1≤ax+b的解集；
（3）①先根据题意求出函数解析式，据此作图即可；
（2）求出函数y=|x-1|+|x-3|和y=x+2的图象交点坐标，结合函数图象的位置即可求解.
1 / 1北师大版数学八年级下册 2.3一元一次不等式与一次函数 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·郑州期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
2．（2025八下·长清月考）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知：时，直线在直线的上方，
所以的不等式的解为，
故选：B．
【分析】当直线的图象在直线的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
3．（2024八下·永寿期末）一次函数与的图象如图，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式kx+b＞x+a的解集是x＜-2．故选：B．
【分析】当一次函数y1=kx+b的图象在y2=x+a的图象的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
4．（2024八下·福州期中）如图，函数和的图象相交于点P(1，m)，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），∴k+b=m，
当x=-1时，kx-b=-k-b=-（k+b）=-m，
即（-1，-m）在函数y=kx-b的图象上．
又∵（-1，-m）在y=mx的图象上．
∴y=kx-b与y=mx相交于点（-1，-m）．
则函数图象如图．
∴不等式-b≤kx-b≤mx的解集为-1≤x≤0．
故答案为：B．
【分析】由题意首先确定y=mx和y=kx-b的交点以及作出y=kx-b的大体图象，进而根据图象求不等式组-b≤kx-b≤mx的解集，就是求直线y=kx-b的图象在直线y=-b交点及上方部分，且直线y=kx-b的图象在直线y=mx图象交点及下方的部分对应的自变量的取值范围，结合图形及交点坐标即可得出答案.
5．如图，经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），则不等式4x+2>kx+b的解集为（ ）
A．x<-2 B．x>-1 C．x<-1 D．x>-2
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】
解： 观察图像：在交点的右边部分满足不等式4x+2>kx+b
∴ x>-1
故答案为：B
【分析】根据一次函数与不等式的关系：在交点的右边部分直线y=4x+2的图像在直线y=kx+b的上方，即为交点的右边，写出解集即可解答.
6．（2025八下·青羊期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，不等式的解集可以看作是函数的图象在的图象上方部分对应的自变量的取值范围．
∵函数和的图象相交于点，
∴结合图象可得，不等式的解集为，
故选：D．
【分析】根据直线 在直线 上方的自变量x的取值范围解答即可．
7．（2025八上·柯城期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象可知，
当时，直线在直线的下方，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】求关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是指直线在直线的下方部分自变量的取值范围，结合交点横坐标即可得出答案.
8．（2025八下·成都期中）如图，一次函数y1=kx-m（k、m是常数，且k≠0），y2=-x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为 .
【答案】x＞3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解： ∵一次函数 与 的象交于点P(3，2)，
∴当x>3时，kx-m>-x+n，
∴关于x的不等式((k+1)x>m+n的集为x>3.
故答案为：x>3.
【分析】根据直线y1=kx-m 在直线y2=-x+n 上方时自变量x的取值范围解答即可.
9．（2025八上·深圳期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：在点右侧图象符合，且点的横坐标为，
∴若不等式，则．
故答案为：．
【分析】当函数图象在函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
二、能力提升
10．（2024八下·沈阳月考）如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．关于x的方程的解是
D．关于x的不等式的解集是
【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，故A，B选项正确，不符合题意；
把交点代入一次函数中得，
，解得，，
∴，
把点代入一次函数图象得，，
∴当时，，故C选项正确，不符合题意；
当时，，故D选项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合图象可判断A、B选项；把交点代入一次函数中算出a=-1，则点P(-1，3)，从图象角度看，求方程kx+b=3的解，就是求点P的横坐标，据此可判断C选项；求关于x的不等式kx+b＜-2x+1的解集，从图象角度看就是直线y=kx+b的图象在直线y=-2x+1的图象的下方部分相应的自变量的取值范围，结合点P的横坐标可得答案.
11．（2025八下·北川期中）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入直线得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（5，0），
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确．
故选：B.
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，然后得到在x轴上方且直线 在直线 上方的自变量x的取值范围即可．
12．（2025·揭西期末） 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：观察函数图象：在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方，A（3，1）
∴kx+b＜x时， x＞3.
故答案为：A。
【分析】观察函数图象，在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方时，即可得出 当kx+b＜x时，x的取值范是 x＞3.
13．如图，已知一次函数与y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象相交于点A（m，-2），则m= ，关于x的不等式组的解集是 。
【答案】 3； 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵点A(m， 2)是一次函数y= x 6与y=kx+b的交点，
∴把点A(m， 2)代入y= x 6可得：
2= m 6，
解得：m=-3，
在y= x 6中，令y=0，
则0= x 6，
解得：x=-，
∴直线y= x 6与x轴的交点坐标为( ，0)。
从图象上看，交点A( 3， 2)左侧直线y=kx+b在直线y= x 6下方，
∴kx+b< x 6的解集是x< 3；
直线y= x 6在x轴下方时，x> ，
∴- x 6<0的解集是x> ，
∴不等式组的解集为 故答案为： 3； 【分析】首先利用交点坐标满足函数表达式的性质，将交点的纵坐标代入已知函数y= x 6求出m的值，得到交点坐标。然后通过令y=0求出直线y= x 6与x轴的交点坐标。最后根据一次函数与不等式的关系，即不等式kx+b< x 6的解集就是直线y=kx+b的图象在直线y= x 6图象下方时x的取值范围；不等式- x 6<0的解集就是直线y= x 6的图象在x轴下方时x的取值范围。结合前面求出的交点A( 3， 2)和直线y= x 6与x轴的交点( ，0)，通过观察图象确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集。
14．（2025八上·兰溪月考）如图，函数y=-3x和y=kx+b的图象交于点A(m，4)，则关于x的不等式(k+3)x+b<0的解集为 。
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数y=-3x和y=kx+b的图象相交于点A(m，4)
∴4=-3m，
解得：
故A点坐标为：
∵kx+b<-3x时，
∴(k+3)x+b<0，
则关于x的不等式(k+3)x+b>0的解集为：，
故答案为：.
【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m的值，再利用函数图象得出答案.
15．（2025八下·成都期末） 根据如图所示的部分函数图象，可得不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象知：y=ax+b与y=mx+n交于点(4，3)
∴当ax+b>mx+n时，x<4，
故答案为：x<4.
【分析】根据函数图象的上下位置关系确定一元一次不等式的解集，用到数形结合的思想.
16．（2025八上·镇海区期末）如图，直线 与直线 相交于点 ．
（1）求 的值．
（2）根据图象，直接写出 的解集．
【答案】（1）解：把点P(1，b)代入y= - 2x+4得
b=-2×1+4，
∴b=2，
∴点P(1，2)，
把点P(1，2)代入y= kx+1得， 2 =k+1，
∴k=1；
（2）解：由函数图象可知， 0≤kx+1<-2x+4的解集为0≤x<1.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)先求出直线 表达式，再求点B坐标，根据OB=OC， 即得点C坐标， 结合点A(1，2)， 即可求出直线 的解析式；(2)根据图象， 要找满足0≤kx+1<-2x+4的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线 的图象在 的图象上方，且 的图象在x轴的上方.
17．（2025八上·上城期末）已知一次函数，其中．
（1）若点在的图象上，求的值；
（2）当时，若函数有最大值，求的函数表达式；
（3）对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把代入中可求出a的值；
（2）分类讨论：在y1=ax+1中，当时，y1随x的增大而增大，故时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；在y1=ax+1中，当时，y1随x的增大而减小，故时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式；
（3）分类讨论：结合图象，①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，②当一次函数与一次函数的图象有交点时，求解即可.
（1）解：把代入得，
∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
三、拓展创新
18．（2025八上·龙岗期中）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y＝|x|﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．
（1）列表：y与x的部分对应值如表，则a＝ ，b＝ ．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … a 0 -1 -2 -1 b 1 …
（2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y＝|x|﹣2的图象；
（3）结合图象，写出一条函数y＝|x|﹣2的性质： ．
（4）根据函数图象填空：
①方程|x|﹣2＝2有 个解；
②若关于x的方程|x|﹣2＝m无解，则m的取值范围是 ．
【答案】（1）1；0
（2）解：根据表格数据，描点、连线即可作函数图象如下：
（3）的图象关于y轴对称
（4）2；
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）当时，，则a＝1，
当时，，则b＝0.
故答案为：1；0.
（3）如图，
观察发现，函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称.
故答案为：函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称.
（4）①如图，
方程|x|﹣2＝2的解可理解为函数y＝|x|﹣2与y＝2的交点坐标的横坐标，观察图像发现，函数y＝|x|﹣2与y＝2有两个交点，则方程|x|﹣2＝2有2个解.
故答案为：2.
②如图，
方程|x|﹣2＝m无解时，即函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点，观察图像发现，时，函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点，则方程|x|﹣2＝m无解时m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】（1）分别把，代入即可求出a，b的值.
（2）根据表格数据，在坐标系中描点、连线即可得函数y＝|x|﹣2的图象.
（3）观察图像发现，函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称即可.
（4）①方程|x|﹣2＝2的解可理解为函数y＝|x|﹣2与y＝2的交点坐标的横坐标，观察图像发现，函数y＝|x|﹣2与y＝2有两个交点，则方程|x|﹣2＝2有2个解即可得答案.
②方程|x|﹣2＝m无解时，即函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点，观察图像发现，时，函数y＝|x|﹣2与y＝m没交点即可得答案.
19．（2024八下·罗湖期中）
（1）【问题提出】如何解不等式|x-1|+|x-3|＞x+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：
当x＞-2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3＞x+1的解集为 .
预备知识2：函数y=|x|= ，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简|x-1|+|x-3|时，可令x-1=0和x-3=0，分别求得x=1，x=3（称1，3分别是|x-1|和|x-3|的零点值），这样可以就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论：
（1）当x＜1时，|x-1|+|x-3|=-（x-1）-（x-3）=4-2x；
（2）当1≤x＜3时，|x-1|+|x-3|=（x-1）-（x-3）=2；
（3）当x≥3时，|x-1|+|x-3|=（x-1）+（x-3）=2x-4．
∴|x-1|+|x-3|就可以化简为 ．
预备知识3：函数y=b（b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示．
（2）【知识迁移】如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m，3)， 则关于x的不等式x+l≤ax+b的解集是 。
（3）【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x-1|+x-3>x+2。
①请在图⑤所示请在平面直角坐标系内作出函数y=|x-1|+|x-3|的图象.
②通过观察图象，便可得到不等式|x-1|+|x-3>x+2的解集.这个不等式的解集为 ▲ 。
【答案】（1）x≤2
（2）x≤2
（3）解：①设y=|x-1|+|x-3|，
根据题意可得：，
作图如下：
②或x＞6.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵当x＞-2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式2x+3＞x+1的解集为：x＞-2，
故答案为：x＞-2；
（2）∵点A（m，3）在y=x+1上，
∴m+1=3，
解得：m=2，
∴A（2，3），
∵当x≤2时，直线y=ax+b的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式ax+b≥x+1，即x+1≤ax+b的解集为：x≤2，
故答案为：x≤2.
（3）②如图，由函数图象得，y=4-2x与y=x+2有交点，
则有：，
解得：，
y=2x-4与y=x+2有交点，
则有：，
解得，
∴y=|x-1|+|x-3|与y=x+2的两个交点坐标分别为，（6，8）；
由函数图象可知，当时，y=|x-1|+|x-3|的图象在y=x+2上方，当x＞6时，y=|x-1|+|x-3|的图象在y=x+2上方，
故不等式|x-1|+|x-3|＞x+2的解集为或x＞6．
故答案为：或x＞6.
【分析】（1）观察图象即可得出结论；
（2）先将A点代入直线y=x+1求出m的值，再结合图象即可得出关于x的不等式x+1≤ax+b的解集；
（3）①先根据题意求出函数解析式，据此作图即可；
（2）求出函数y=|x-1|+|x-3|和y=x+2的图象交点坐标，结合函数图象的位置即可求解.
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