北师大版数学八年级下册 3.1图形的平移 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在平面直角坐标系中，将点P（-3，2）向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为（ ）
A．（-6，2） B．（0，2） C．（-3，5） D．（-3，-1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题知，将点P(-3，2)向右平移3个单位长度得到点P1坐标为(0，2).
故答案为：B.
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可.
2．（2025七下·杭州期中）如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，
根据平移的性质可知S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴
故答案为：A.
【分析】利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算.
3．（2025七下·杭州月考）如图，将沿AC方向平移得到.设四边形ABED的周长为，四边形BCFE的周长为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题知，
由平移可知，，
所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得，求出 C1和C2的值求差解题即可.
4．（2025九上·内江期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：
设与直线l交于点C，
∵，
∴，
∵函数的图象为直线，
∴=1，
∵∠A1OA2=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
......，
发现每两次变换后，x和y的坐标分别递增1，
即奇数次点的坐标为A2k-1(k，k-1)，
偶数次点的坐标为A2k(k-1，k)，
∴当（k为正整数）时，，
当时，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出，，，，，进而得到规律，即可求出答案．
5．（2025八上·南海月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着长方形边线循环爬行，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A(1，-1)，B(-1，-1)，C(-1，3)，
∴AB==2；BC==4，
∴蚂蚁爬行一圈的路程：即长方形ABCD周长C=(AB+BC)×2=(2+4)×2=12（单位），
∵2025÷12=168....9，
∴蚂蚁爬了168圈后又爬了9个单位。
∵A到B为2个单位，B到C为4个单位，C到D为2个单位，2+4+2=8（单位），
∴再向下爬1个单位，此时位置坐标为(1，2)。
故选：D
【分析】先求出长方形的边长，进而得到蚂蚁爬行一圈的路程，再用总路程除以一圈的路程得到圈数和余数，根据余数确定位置。
6．（2025八上·石家庄月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：平移距离为，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
两个直角三角形可以重叠在一起，
，
，
．
故选：C．
【分析】
先根据平移的性质得出，结合已知，利用线段的和差可得，然后根据梯形的面积公式可得：，再通过面积的等量代换（两个三角形面积相等，重叠部分相同，故阴影面积等于梯形面积），即可得出。
7．（2025八上·杭州期中）在平面直角坐标系中，把点P（3，-2）先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 .
【答案】（0，1）
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点(3，-2)向左移3个单位，向上移3个单位得(3-3，-2+3)即(0，1).
故答案：(0，1).
【分析】根据点的平移规律，即可得平移后的点的坐标.
8． 如图，已知点A，B的坐标为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，点A对应点A1(3，b)，点B对应点B1(a，3)，则a+b的值为 .
【答案】3
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵A， B的坐标为(2，0)， (0，1)平移后点A对应点 点B对应点
∴将线段AB向右平移1个单位，向上平移2个单位，
故答案为： 3.
【分析】根据点的坐标的变化可得将线段AB向右平移1个单位，向上平移2个单位，然后可确定a、b的值，进而可得答案.
9．（2025七上·宁明月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线．
①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ；
②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ．
【答案】；；
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，
∴草坪的面积，
②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，
∴草坪的面积；
当，时，．
故答案为：，，．
【分析】本题考查平移的性质在图形面积计算中的应用，以及列代数式和代数式求值的知识点。根据平移的性质，小路的左边线向右平移1m得到右边线，说明小路的宽度为1m，且草坪可通过平移拼接成一个完整的长方形，该长方形的长比原长方形的长减少1m，宽与原长方形的宽保持不变。①中直接利用拼接后草坪的长（32-1）和宽21，根据长方形面积公式（面积=长×宽）计算草坪面积；②中先根据上述平移规律列出草坪面积的代数式，再将、代入代数式，计算得出具体的草坪面积。
二、能力提升
10．（2025七下·中山月考）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（ ）
A．403 B．404 C．405 D．406
【答案】A
【知识点】平移的性质；探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形…
，，，
，
的长为：；
，，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键．根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可．
11．（2024八上·镇海区期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵“和点“按上述规则连续平移16次后，到达点，
∴将点反向平移16次后，到达“和点“，
根据题意，可知”和点“ 的平移过程为：向右平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，向左平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，......，
∴平移规则为：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，
①当点先向右平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，
∴应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；
②当点先向下平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到，故符合题意，
∴先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，
∴最后一次若向右平移则为，若向左平移则为 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意得将点反向平移16次后，到达“和点“，然后由”和点“P的平移过程找出平移的规则：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，接下来进行分类讨论：①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意.读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键.
12．（2024七下·黄埔期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
点的坐标为；
故答案为：A．
【分析】
先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
13．（2024七下·临邑期中）如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到，…，按这个规律平移得到点；则点的横坐标为 .
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点A1的横坐标为，
点A2的横坐标为，
点A3的横坐标为，
点A4的横坐标为，
…，
按这个规律平移得到点点An的横坐标为，
点的横坐标为；
故答案为：．
【分析】先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题．
14．（2024七下·乐陵月考）如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是 ．
【答案】抓落实
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可知，“守初心”的对应口令为“担使命”，其中“担”是“守”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，其它各个字对应也是这样得到的，
∴“找差距”对应口令是“抓落实”．
故答案是：抓落实．
【分析】观察题意得到“秘钥”为：上移两个单位后再左移一个单位，然后得到“找差距”的对应口令解答即可．
15．如图，正方形ABCD 的各边分别平行于x轴或y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点 E（3，0）出发，同时沿正方形ABCD 的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以 1 个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后的第三次相遇点的坐标是 .
【答案】(1，-2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为16，
所以蚂蚁甲和蚂蚁乙第一次相遇所用的时间为 16÷(3+1)=4(秒)，蚂蚁乙走的路程为4个单位长度，
所以此时相遇点的坐标为(1，2).
因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度比为3：1，
所以再经过4秒蚂蚁甲和蚂蚁乙第二次相遇，相遇点坐标为(-10).
第三次相遇时蚂蚁乙又走了4秒，路程为4个单位长度，此时相遇点坐标为(1，-2).
故答案为：(1，-2).
【分析】由图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为16，因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度分别为3个和1个单位，所以用正方形的周长除以(3+1)，可得第一次相遇时间，从而算出蚂蚁乙所走过的路程，则第二次和第三次相遇过程中蚂蚁乙所走过的路程和第一次是相同的，从而结合图形可求得第三次相遇时的坐标.
16．（2025七下·龙湖期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为．
（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形；
（3）若点P在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、图形的平移及三角形面积的计算，解题关键是根据已知点坐标确定坐标系，根据平移前后点的坐标变化确定平移规律，再结合面积相等列方程求点的坐标。
(1)根据点、的坐标，确定原点的位置，画出轴和轴；
(2)通过到的坐标变化，得出平移规律为“右移4个单位，下移3个单位”，按此规律画出、，连接得三角形；
(3)设，先求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式，结合面积相等列方程求解。
（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，
∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
17．（2025八上·奉化期中）变换M：在平面直角坐标系中，先将点A向左平移5个单位，再将所得的点作关于y轴的对称点.若点A经过变换M后得到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点.
（1）判断点A1（2，-5），A2（2.5，0）是否为不动点.
（2）已知点A（a，3）为不动点，求a的值.
【答案】（1）解：（1）把A1（2，﹣5）向左平移5个单位，对应点坐标为（﹣3，﹣5）；
∵（﹣3，﹣5）关于y轴的对称点的坐标为：（3，﹣5），
∴A1（2，﹣5）与（3，﹣5）不重合，不是不动点，
把A2（2.5，0）向左平移5个单位，对应点坐标为（﹣2.5，0）；
∵（﹣2.5，0）关于y轴的对称点的坐标为：（2.5，0），
∴A2（2.5，0）与（2.5，0）重合，是不动点
（2）解：点A（a，3）向左平移5个单位，对应点坐标为（a﹣5，3），
∵点A（a，3）为不动点，
∴a＝5﹣a，
解得：a＝2.5
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据新定义的含义得到A1（2，﹣5）变换后的点的坐标为（3，﹣5），结合新定义可得答案，同理可判断A2是不是不动点；
（2）根据新定义的含义得到A（a，3）变换后的点的坐标为（5﹣a，3），结合新定义建立方程可得答案.
三、拓展创新
18．（2025·贵州模拟）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，
∴，，
∵点是在线段上移动的，将沿方向平移到，
∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，
∴当时，的长为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，得，，根据点的运动轨迹以及图形平移的性质得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，于是有当时，的长为的最小值，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得，的值，根据角平分线的性质和定义得，，设，则，可得，得到的值，进而由得的值，最后利用面积法以及三角形面积公式得的值，最后求的值即可.
19．【定义】若线段AB 上所有的点到x轴的距离的最大值为 W，W就叫线段AB 的界值，记做 WAB·
【理解】如图(1)，线段AB上所有的点到x轴的最大距离是3，则线段. AB 的界值
（1）【应用】如图(2)，已知A(-1，-3)，B(2，-1)，C(-1，1).
① .
②平移线段AB，使点 A 与点 C 重合，平移后线段的界值W为 .
（2）【拓展】如图(3)，A(-3，-7)，B(1，-3)，将线段AB向上平移m(m>0)个单位得到线段CD.
①当5≤m≤6时，WCD 的取值范围为 .
②当m>5时，用含m的式子表示WCD.
【答案】（1）3；3
（2）解：①；
②因为 m>5，所以-7+m>-2，-3+m>2.又因为-3+m>-7+m，所以
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：(1)①因为A(-1，-3)，B(2，-1)，所以
故答案为：3.
②因为平移线段AB，使点A(-1，-3)与点C(-1，1)重合，
所以需将线段AB 向上平移4个单位，所以B(2，-1)平移后的对应点的坐标为(2，3)，所以平移后线段的界值 W为3.
故答案为：3.
(2)已知A(-3，-7)，B(1，-3)，将线段AB 向上平移m(m>0)个单位得到线段 CD，则C(-3，-7+m)，D(1，-3+m).
①因为5≤m≤6，所以-2≤-7+m≤-1，2≤-3+m≤3，
所以 WCD的取值范围为
故答案为：
【分析】(1)①根据线段AB的界值的定义即可求解；
②由平移后点A(-1，-3)的对应点为C(-1，1)， 得出平移规律，根据规律得到B(2，-1)的对应点坐标，进而求出平移后线段的界值；
(2) 将线段AB向上平移m(m>0)个单位长度到线段CD.假设点A与点C重合，点B与点D重合， 根据平移规律求出C(-3，-7+m)， D(1，-3+m).
①当5≤m≤6时，利用不等式的性质得出-2≤-7+m≤-1， 2≤-3+m≤3， 再根据线段的界值的定义即可求出WCD的取值范围；
②当m>5时，利用不等式的性质得出-7+m>-2， - 3+m>2， 再根据线段的界值的定义即可求出WCD.
1 / 1北师大版数学八年级下册 3.1图形的平移 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在平面直角坐标系中，将点P（-3，2）向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为（ ）
A．（-6，2） B．（0，2） C．（-3，5） D．（-3，-1）
2．（2025七下·杭州期中）如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州月考）如图，将沿AC方向平移得到.设四边形ABED的周长为，四边形BCFE的周长为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·内江期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·南海月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着长方形边线循环爬行，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·石家庄月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·杭州期中）在平面直角坐标系中，把点P（3，-2）先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 .
8． 如图，已知点A，B的坐标为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，点A对应点A1(3，b)，点B对应点B1(a，3)，则a+b的值为 .
9．（2025七上·宁明月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线．
①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ；
②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ．
二、能力提升
10．（2025七下·中山月考）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（ ）
A．403 B．404 C．405 D．406
11．（2024八上·镇海区期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
12．（2024七下·黄埔期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024七下·临邑期中）如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到，…，按这个规律平移得到点；则点的横坐标为 .
14．（2024七下·乐陵月考）如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是 ．
15．如图，正方形ABCD 的各边分别平行于x轴或y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点 E（3，0）出发，同时沿正方形ABCD 的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以 1 个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后的第三次相遇点的坐标是 .
16．（2025七下·龙湖期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为．
（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形；
（3）若点P在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点P的坐标．
17．（2025八上·奉化期中）变换M：在平面直角坐标系中，先将点A向左平移5个单位，再将所得的点作关于y轴的对称点.若点A经过变换M后得到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点.
（1）判断点A1（2，-5），A2（2.5，0）是否为不动点.
（2）已知点A（a，3）为不动点，求a的值.
三、拓展创新
18．（2025·贵州模拟）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ．
19．【定义】若线段AB 上所有的点到x轴的距离的最大值为 W，W就叫线段AB 的界值，记做 WAB·
【理解】如图(1)，线段AB上所有的点到x轴的最大距离是3，则线段. AB 的界值
（1）【应用】如图(2)，已知A(-1，-3)，B(2，-1)，C(-1，1).
① .
②平移线段AB，使点 A 与点 C 重合，平移后线段的界值W为 .
（2）【拓展】如图(3)，A(-3，-7)，B(1，-3)，将线段AB向上平移m(m>0)个单位得到线段CD.
①当5≤m≤6时，WCD 的取值范围为 .
②当m>5时，用含m的式子表示WCD.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题知，将点P(-3，2)向右平移3个单位长度得到点P1坐标为(0，2).
故答案为：B.
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，
根据平移的性质可知S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴
故答案为：A.
【分析】利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算.
3．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题知，
由平移可知，，
所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得，求出 C1和C2的值求差解题即可.
4．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：
设与直线l交于点C，
∵，
∴，
∵函数的图象为直线，
∴=1，
∵∠A1OA2=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
......，
发现每两次变换后，x和y的坐标分别递增1，
即奇数次点的坐标为A2k-1(k，k-1)，
偶数次点的坐标为A2k(k-1，k)，
∴当（k为正整数）时，，
当时，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出，，，，，进而得到规律，即可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A(1，-1)，B(-1，-1)，C(-1，3)，
∴AB==2；BC==4，
∴蚂蚁爬行一圈的路程：即长方形ABCD周长C=(AB+BC)×2=(2+4)×2=12（单位），
∵2025÷12=168....9，
∴蚂蚁爬了168圈后又爬了9个单位。
∵A到B为2个单位，B到C为4个单位，C到D为2个单位，2+4+2=8（单位），
∴再向下爬1个单位，此时位置坐标为(1，2)。
故选：D
【分析】先求出长方形的边长，进而得到蚂蚁爬行一圈的路程，再用总路程除以一圈的路程得到圈数和余数，根据余数确定位置。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：平移距离为，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
两个直角三角形可以重叠在一起，
，
，
．
故选：C．
【分析】
先根据平移的性质得出，结合已知，利用线段的和差可得，然后根据梯形的面积公式可得：，再通过面积的等量代换（两个三角形面积相等，重叠部分相同，故阴影面积等于梯形面积），即可得出。
7．【答案】（0，1）
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点(3，-2)向左移3个单位，向上移3个单位得(3-3，-2+3)即(0，1).
故答案：(0，1).
【分析】根据点的平移规律，即可得平移后的点的坐标.
8．【答案】3
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵A， B的坐标为(2，0)， (0，1)平移后点A对应点 点B对应点
∴将线段AB向右平移1个单位，向上平移2个单位，
故答案为： 3.
【分析】根据点的坐标的变化可得将线段AB向右平移1个单位，向上平移2个单位，然后可确定a、b的值，进而可得答案.
9．【答案】；；
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，
∴草坪的面积，
②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，
∴草坪的面积；
当，时，．
故答案为：，，．
【分析】本题考查平移的性质在图形面积计算中的应用，以及列代数式和代数式求值的知识点。根据平移的性质，小路的左边线向右平移1m得到右边线，说明小路的宽度为1m，且草坪可通过平移拼接成一个完整的长方形，该长方形的长比原长方形的长减少1m，宽与原长方形的宽保持不变。①中直接利用拼接后草坪的长（32-1）和宽21，根据长方形面积公式（面积=长×宽）计算草坪面积；②中先根据上述平移规律列出草坪面积的代数式，再将、代入代数式，计算得出具体的草坪面积。
10．【答案】A
【知识点】平移的性质；探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形…
，，，
，
的长为：；
，，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键．根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可．
11．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵“和点“按上述规则连续平移16次后，到达点，
∴将点反向平移16次后，到达“和点“，
根据题意，可知”和点“ 的平移过程为：向右平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，向左平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，......，
∴平移规则为：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，
①当点先向右平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，
∴应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；
②当点先向下平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到，故符合题意，
∴先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，
∴最后一次若向右平移则为，若向左平移则为 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意得将点反向平移16次后，到达“和点“，然后由”和点“P的平移过程找出平移的规则：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，接下来进行分类讨论：①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意.读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键.
12．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
点的坐标为；
故答案为：A．
【分析】
先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点A1的横坐标为，
点A2的横坐标为，
点A3的横坐标为，
点A4的横坐标为，
…，
按这个规律平移得到点点An的横坐标为，
点的横坐标为；
故答案为：．
【分析】先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题．
14．【答案】抓落实
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可知，“守初心”的对应口令为“担使命”，其中“担”是“守”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，其它各个字对应也是这样得到的，
∴“找差距”对应口令是“抓落实”．
故答案是：抓落实．
【分析】观察题意得到“秘钥”为：上移两个单位后再左移一个单位，然后得到“找差距”的对应口令解答即可．
15．【答案】(1，-2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为16，
所以蚂蚁甲和蚂蚁乙第一次相遇所用的时间为 16÷(3+1)=4(秒)，蚂蚁乙走的路程为4个单位长度，
所以此时相遇点的坐标为(1，2).
因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度比为3：1，
所以再经过4秒蚂蚁甲和蚂蚁乙第二次相遇，相遇点坐标为(-10).
第三次相遇时蚂蚁乙又走了4秒，路程为4个单位长度，此时相遇点坐标为(1，-2).
故答案为：(1，-2).
【分析】由图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为16，因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度分别为3个和1个单位，所以用正方形的周长除以(3+1)，可得第一次相遇时间，从而算出蚂蚁乙所走过的路程，则第二次和第三次相遇过程中蚂蚁乙所走过的路程和第一次是相同的，从而结合图形可求得第三次相遇时的坐标.
16．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、图形的平移及三角形面积的计算，解题关键是根据已知点坐标确定坐标系，根据平移前后点的坐标变化确定平移规律，再结合面积相等列方程求点的坐标。
(1)根据点、的坐标，确定原点的位置，画出轴和轴；
(2)通过到的坐标变化，得出平移规律为“右移4个单位，下移3个单位”，按此规律画出、，连接得三角形；
(3)设，先求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式，结合面积相等列方程求解。
（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，
∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
17．【答案】（1）解：（1）把A1（2，﹣5）向左平移5个单位，对应点坐标为（﹣3，﹣5）；
∵（﹣3，﹣5）关于y轴的对称点的坐标为：（3，﹣5），
∴A1（2，﹣5）与（3，﹣5）不重合，不是不动点，
把A2（2.5，0）向左平移5个单位，对应点坐标为（﹣2.5，0）；
∵（﹣2.5，0）关于y轴的对称点的坐标为：（2.5，0），
∴A2（2.5，0）与（2.5，0）重合，是不动点
（2）解：点A（a，3）向左平移5个单位，对应点坐标为（a﹣5，3），
∵点A（a，3）为不动点，
∴a＝5﹣a，
解得：a＝2.5
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据新定义的含义得到A1（2，﹣5）变换后的点的坐标为（3，﹣5），结合新定义可得答案，同理可判断A2是不是不动点；
（2）根据新定义的含义得到A（a，3）变换后的点的坐标为（5﹣a，3），结合新定义建立方程可得答案.
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，
∴，，
∵点是在线段上移动的，将沿方向平移到，
∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，
∴当时，的长为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，得，，根据点的运动轨迹以及图形平移的性质得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，于是有当时，的长为的最小值，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得，的值，根据角平分线的性质和定义得，，设，则，可得，得到的值，进而由得的值，最后利用面积法以及三角形面积公式得的值，最后求的值即可.
19．【答案】（1）3；3
（2）解：①；
②因为 m>5，所以-7+m>-2，-3+m>2.又因为-3+m>-7+m，所以
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：(1)①因为A(-1，-3)，B(2，-1)，所以
故答案为：3.
②因为平移线段AB，使点A(-1，-3)与点C(-1，1)重合，
所以需将线段AB 向上平移4个单位，所以B(2，-1)平移后的对应点的坐标为(2，3)，所以平移后线段的界值 W为3.
故答案为：3.
(2)已知A(-3，-7)，B(1，-3)，将线段AB 向上平移m(m>0)个单位得到线段 CD，则C(-3，-7+m)，D(1，-3+m).
①因为5≤m≤6，所以-2≤-7+m≤-1，2≤-3+m≤3，
所以 WCD的取值范围为
故答案为：
【分析】(1)①根据线段AB的界值的定义即可求解；
②由平移后点A(-1，-3)的对应点为C(-1，1)， 得出平移规律，根据规律得到B(2，-1)的对应点坐标，进而求出平移后线段的界值；
(2) 将线段AB向上平移m(m>0)个单位长度到线段CD.假设点A与点C重合，点B与点D重合， 根据平移规律求出C(-3，-7+m)， D(1，-3+m).
①当5≤m≤6时，利用不等式的性质得出-2≤-7+m≤-1， 2≤-3+m≤3， 再根据线段的界值的定义即可求出WCD的取值范围；
②当m>5时，利用不等式的性质得出-7+m>-2， - 3+m>2， 再根据线段的界值的定义即可求出WCD.
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