第八章 实数 章末测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册

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实数 章末测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．下列说法不正确的是(　　　)
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的一个平方根
2．的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
3．对于两个实数，定义一种新的运算如下，，如：，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．在一列数，，，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数出现的频率为（　　）
A．0.9 B．0.5 C．0.3 D．0.1
5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
6．在与之间的整数是（ ）
A．，，0，1，2，3 B．，，0，1，2
C．，0，1，2 D．，0，1，2，3
7．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在实数中，无理数的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．与最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
11．若x＜0，则等于(　　)
A．x B．2x C．0 D．﹣2x
12．对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为，，；
④方程的解为或．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．如图，直径为1个单位长度的圆从原点向左滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，点对应的数是 _______．
14．已知实数x，y满足，则的值为______．
15．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数4，则关于m的方程为______，______．
16．算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________．
17．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是________．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
19．求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
20．小云的作业中有这样一道题：
请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列．
(1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）；
(2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务．
21．实数和在数轴上对应的点如图所示．
(1)将，，，按从小到大的顺序排列起来；
(2)若实数为8的立方根，求代数式的值．
22．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积．
23．已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2．
(1)求的平方根；
(2)若的算术平方根是3，求的立方根．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是___________；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
25．阅读《无理数》课堂实录，解决问题：
数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了．
(1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分；
(2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的平方根．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B D C C B C D
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求解.
【详解】解：A、的平方根是，故此选项正确；
B、的平方根是，故此选项不正确；
C、的算术平方根是，故此选项正确；
D、是的一个平方根，故此选项正确；
故选择：B
【点睛】此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根及算术平方根的性质.
2．C
【分析】根据相反数和倒数的概念求解即可．
【详解】解：∵的相反数为，的倒数为2021，
∴的相反数的倒数是2021，
故选：C．
【点睛】本题考查相反数和倒数，解答的关键是理解相反数和倒数概念：只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数．
3．C
【分析】根据题干中提供的信息进行计算即可．
【详解】解：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义实数运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的求解方法．
4．B
【分析】本题考查了算术平方根、无理数，频率，根据算术平方根、无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）逐个判断即可得无理数个数，再根据频率频数总数即可求解．熟记无理数的概念是解题关键．
【详解】解：，
则无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），共3个，
∴无理数出现的频率为，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C不符合题意；
D、，，故选项D符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】此题主要考查了无理数的估算．由，，由此即可确定与的取值范围，再根据取值范围即可求出符合条件的整数．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴在与之间的整数是，0，1，2．
故选：C．
7．C
【分析】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案．
【详解】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确；
②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确；
③当时，则，所以③说法不正确；
④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．
故选：C．
【点睛】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键．
8．B
【详解】∵在实数中，是无理数，其余的是有理数，
∴在上述6个数中无理数有2个.
故选B.
9．C
【分析】估算出的范围，即可得出与最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵和中比较接近的是，
∴比较接近4，即更接近．
故选：C
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键．
10．D
【分析】利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
∵＝﹣a，＝a，
∴与互为相反数，故选项B说法正确；
∵＝﹣，
∴与互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
11．D
【分析】分别利用平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】∵x＜0，
∴.
故答案为D.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.
12．A
【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判断即可；
【详解】①，，
，故①错误；
②，
，
则或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为，，，故③正确；
④，
，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故选：A
13．
【分析】本题考查了圆的滚动和数轴相结合，此题较灵活，但不难；关键把线段的长度转化为圆的周长．圆从滚动到在数轴上线段长即为一个圆周长度．
【详解】解：圆的直径，
周长，
，
点对应的数是，
故答案为：．
14．16
【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
则，
故答案为：16．
15． 或
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新定义的法则，列出方程，进行求解即可．掌握新定义的法则，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：或；
故答案为：，或．
16．
【分析】此题考查了平方根、算术平方根与立方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．由平方根、算术平方根、立方根的定义，即可求得答案．
【详解】解：算术平方根是，的立方根是，的平方根是，
故答案为：，，
17．
【解析】略
18．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再直接利用二次根式加减运算法则即可得出答案；
（2）先利用立方根及二次根式的性质进行化简，再计算乘法，最后计算减法即可得出答案；
（3）先利用乘方、绝对值及立方根的性质进行化简，再进行加减即可得出答案．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
；
（3）解：原式，
19．(1)或
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义，准确计算即可．
（1）直接开平方即可；
（2）两边同时除以，然后两边开立方即可．
【详解】（1）解：
或；
（2）解：
．
20．(1)2；3
(2)图见解析，
【分析】本题考查无理数的估算、在数轴上表示实数．（1）根据估算的取值范围即可；
（2）先化简绝对值，并估算，然后把数值表示在数轴上表示出来．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：2；3；
（2）解：．
，
，
．
将4个实数在数轴上表示出来如图所示．
由图可知．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的比较大小，立方根和算术平方根；
（1）根据数轴得到，，然后比较大小即可；
（2）先求出的值，然后得到，，，，再化简绝对值和算术平方根，最后合并解题．
【详解】（1）解：由数轴可得，，
，，
将，，，按从小到大的顺序排列起来为．
（2）解：实数为8的立方根，
，
．
由（1）可得，，，
原式．
22．175cm2
【分析】根据开方运算，可得大正方体的棱长，根据分割成8个小正方体，可得小正方体的棱长，根据小正方体的组合，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的表面积公式，可得答案．
【详解】解：大正方体的边长为＝5cm，
小正方体的棱长是cm，
长方体的长是10cm，宽是cm，高是5cm，
长方体的表面积是（10×+10×5+×5）×2＝175cm2．
【点睛】此题主要考查长方体的表面积，解题的关键是熟知立方根的定义.
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．
（1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值，再求的平方根即可；
（2）求出p的值，再求的立方根即可．
【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的平方根是；
（2）解：∵的算术平方根是3，
∴，
解得：，
∴，
∴的立方根是．
24．(1)；
(2)2；
(3)．
【分析】（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可；
（2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可；
（3）先根据互为相反数的和为0列式，再根据非负数的意义求出c、d的值，然后分情况求平方根即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
则，，
∴；
答：的值为2；
（3）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，且，
即且，
解得：，，或，，
①当，时，
所以，无平方根．
②当，，时，
∴，
∴的平方根为，
答：的平方根为．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键．
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可；
（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
的小数部分为；
（2）解：，
，，
，，
；
（3）解：
，
∴，
∴，
又∵，其中是整数，且，
∴，
∴，
∴的平方根是．
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