高一《数列》强化提高练习题
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高一《数列》强化提高练习题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，
则= （ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在等差数列中，已知则等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
4．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ （ ）
A． B． C． D．
5．设是公差为正数的等差数列，若，，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A．100 B．101 C．200 D．201
7．设数列{an}的前n项和为Sn, 已知，且( n∈N*)， 则过点P(n,) 和Q(n+2,)( n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）
A．（2，） B．(-1, -1) C．(, -1)? D．（）
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
9．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝
A．8 B．－8 C．±8 D．
10．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.
11．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
12．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为 ．
13．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，
则__________.
14．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b (m≠n，m，n∈N+)，则”．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N+)为等比数列，且bm=a，bn=b (m≠n，m，n∈N+)，若类比上述结论，则可得到bm+n= ．
15、若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c依次成等比数列，公比为q，则q3＋q2＋q＝ ．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{an}与{bn}的通项公式．
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2010的值．
17．已知f(x＋1)＝x2－4，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－ ，a3＝f(x)．求：
⑴x的值；⑵数列{an}的通项公式an；⑶a2＋a5＋a8＋…＋a26．
18．正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．
试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．
19．已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{an}满足a1＝，an+1＝，设bn＝．
⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(an)的表达式；
⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn <成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
高一《数列》强化提高练习题参考答案
1．D．依题意有
2．C． ，故选C．
3．B． ∵等差数列中， ∴公差．
∴＝＝42．
4．A． 由等差数列的求和公式可得且
所以，故选A．
5．B．，，
将代入，得，从而.选B．
6．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选A．
7．D 解：由条件知=2 ∴{}是等差数列，∴= 5+ (n – 1)×2 = 2n + 3
∴Sn = 2n2 + 3n，当n≥2时，an = Sn = Sn – 1 = 4n+1 (a1也适合)
∴kPQ == 4，设直线PQ的方向向量为= (a , b)，则有= 4，只有D符合.
8．B 解： 由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，
所以S=45，选B
9． 4．∵
10．A．认识信息，理解理想数的意义有，
，选A．
11．由，即=2，所以数列｛＋3｝是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3），=－3.
12．∵n＋2＝2k，由n＝2k－2∈(1，2004)有2≤k≤10(k∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝－18＝2026．
13． 18 和是方程的两根，故有：
或（舍）。
14．
15．设x＝a＋b＋c，则b＋c－a＝xq，c＋a－b＝xq2，a＋b－c＝xq3，∴xq＋xq2＋xq3＝x(x≠0) ∴q3＋q2＋q＝1．
16．⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故
17．⑴∵f(x＋1)＝(x＋1－1)2－4，∴f(x)＝(x－1)2－4
∴a1＝f(x－1)＝(x－2)2－4，a3＝(x－1)2－4．
又a1＋a3＝2a2，∴x＝0，或x＝3．
（2）由（1）知a1，a2，a3分别是0，－ ，－3或－3，－ ，0．
∴
（3）当时，
当时，
18．（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，
即，而an>0，∴
又
（2）
19．（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，
∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．
（2）
，即
∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－2n－1．
（3）．
若恒成立（n∈N＋），则
∵n∈N＋，∴当n＝1时，有最大值4，故m>4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使得对任意n∈N＋，有．
www.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，
则= （ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在等差数列中，已知则等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
4．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ （ ）
A． B． C． D．
5．设是公差为正数的等差数列，若，，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A．100 B．101 C．200 D．201
7．设数列{an}的前n项和为Sn, 已知，且( n∈N*)， 则过点P(n,) 和Q(n+2,)( n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）
A．（2，） B．(-1, -1) C．(, -1)? D．（）
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
9．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝
A．8 B．－8 C．±8 D．
10．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.
11．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
12．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为 ．
13．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，
则__________.
14．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b (m≠n，m，n∈N+)，则”．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N+)为等比数列，且bm=a，bn=b (m≠n，m，n∈N+)，若类比上述结论，则可得到bm+n= ．
15、若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c依次成等比数列，公比为q，则q3＋q2＋q＝ ．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{an}与{bn}的通项公式．
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2010的值．
17．已知f(x＋1)＝x2－4，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－ ，a3＝f(x)．求：
⑴x的值；⑵数列{an}的通项公式an；⑶a2＋a5＋a8＋…＋a26．
18．正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．
试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．
19．已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{an}满足a1＝，an+1＝，设bn＝．
⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(an)的表达式；
⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn <成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
高一《数列》强化提高练习题参考答案
1．D．依题意有
2．C． ，故选C．
3．B． ∵等差数列中， ∴公差．
∴＝＝42．
4．A． 由等差数列的求和公式可得且
所以，故选A．
5．B．，，
将代入，得，从而.选B．
6．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选A．
7．D 解：由条件知=2 ∴{}是等差数列，∴= 5+ (n – 1)×2 = 2n + 3
∴Sn = 2n2 + 3n，当n≥2时，an = Sn = Sn – 1 = 4n+1 (a1也适合)
∴kPQ == 4，设直线PQ的方向向量为= (a , b)，则有= 4，只有D符合.
8．B 解： 由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，
所以S=45，选B
9． 4．∵
10．A．认识信息，理解理想数的意义有，
，选A．
11．由，即=2，所以数列｛＋3｝是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3），=－3.
12．∵n＋2＝2k，由n＝2k－2∈(1，2004)有2≤k≤10(k∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝－18＝2026．
13． 18 和是方程的两根，故有：
或（舍）。
14．
15．设x＝a＋b＋c，则b＋c－a＝xq，c＋a－b＝xq2，a＋b－c＝xq3，∴xq＋xq2＋xq3＝x(x≠0) ∴q3＋q2＋q＝1．
16．⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故
17．⑴∵f(x＋1)＝(x＋1－1)2－4，∴f(x)＝(x－1)2－4
∴a1＝f(x－1)＝(x－2)2－4，a3＝(x－1)2－4．
又a1＋a3＝2a2，∴x＝0，或x＝3．
（2）由（1）知a1，a2，a3分别是0，－ ，－3或－3，－ ，0．
∴
（3）当时，
当时，
18．（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，
即，而an>0，∴
又
（2）
19．（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，
∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．
（2）
，即
∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－2n－1．
（3）．
若恒成立（n∈N＋），则
∵n∈N＋，∴当n＝1时，有最大值4，故m>4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使得对任意n∈N＋，有．
www.