一元二次方程的实际应用 重点考点梳理 专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

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一元二次方程的实际应用 重点考点梳理
专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，一条与平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570平方米，问小路宽为多少米 设小路的宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．某种商品原价是300元，经两次降价后的价格是180元．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．某旅游景区2023年五一期间接待游客36万人次．这两年当地加大宣传力度，该景区逐渐为人所熟知，2025年五一期间接待游客49万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．某水果商店2023年售出1000箱蓝莓，2025年售出1440箱蓝莓，若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某市利用周末开展精品古旧书阅读分享活动．据统计，活动开展以来，第一个周末共1280人参与，参与活动人次逐周增加，第三个周末共2880人参与．若参与活动的人数周平均增长率相同，设参与活动人次的周平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为，那么根据题意列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆200人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆242人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
11．劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为___________．
14．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为________．
15．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______．
16．据调查，某村 2022年的人均收入为30000元，2024年的人均收入为 36 300元．若从 2022 年到 2024年该村人均收入的平均增长率不变，按此平均增长率预测 2025 年该村的人均收入是________元．
17．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则________．
三、解答题
18．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
(1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；
(2)求这次比赛共有多少个选手参加？
19．某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品．
(1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？
(2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？
20．某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由．
21．商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价元 90 80 70
日销售量件 10 20 30
(1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由．
22．某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克.
(1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围）
(2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元
23．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)该玩具的日销售利润能否达到820元？如果能，求出当天玩具的销售单价是多少元？如果不能，说明理由．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？
(2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B A B A A A C
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可．
因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得．
【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米．
∴
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
∴由题意可得：，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设小路的宽为x米，根据草坪的面积为570平方米，列出方程即可．
【详解】解：设小路的宽为x米，根据题意得：
，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据故意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，
由题意得，，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解题意，正确列式是关键．
根据数量关系，正确列式即可．
【详解】解：根据题意，，
故选：A ．
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景区接待游客人次的年平均增长率为，则2024年五一期间接待游客万人次，则2025年五一期间接待游客万人次，据此列出方程即可．
【详解】解：设该景区接待游客人次的年平均增长率为，
由题意得，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两年销售蓝莓箱数的平均增长率为，那么2024年的销售量为箱，则2025年的销售量为箱，据此列出方程即可．
【详解】解：若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三个周末参与人数=第一个周末参与人数×，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设参与活动人次的周平均增长率为x，根据题意可得，
故选：A．
9．A
【分析】已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，则2020年底该市汽车拥有量为万辆；同理，表示出2021年底汽车拥有量为万辆．结合2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆，列出关于的方程即可．
【详解】解：根据题意，可得．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
10．C
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，根据题目中的数量关系，列式即可求解，掌握一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：第一周进馆200人次，第三周进馆242人次，每周进馆人次的平均增长率为 ，
∴，
故选：C ．
11．D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可．
【详解】解：第一年的产量为，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为，
则列出的方程是．
故选：D．
12．C
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．
假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得，
故选：C．
13．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意正确列出方程即可．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程．
这些桌面的宽度为，结合图用含的代数式表示出三种桌子的长度后列出方程，求解即可．
【详解】解：设：这些桌面的宽度为，
则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为，
有，
解得，
，
，
即这些桌面的宽度为．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
设年到年该地区人均收入的年平均增长率为，则年的人均收入为元，年的人均收入为元，再由年的人均收入为元列出方程求解即可．
【详解】解：设年到年该地区人均收入的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得 ，（不合题意，舍去）．
∴2025 年该村的人均收入是（元）
故答案为：．
17．2
【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，（舍去），
，
．
故答案为：2．
18．(1)
(2)45个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局；
（2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得，
解方程，得（不符合题意，舍）
答：这次比赛共有45个选手参加．
19．(1)售价应降低30元
(2)商家每天获得的最大利润为2025元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． 找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键．
（1）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可求解．
（2）设商家每天获得的利润为元，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，列出w关于x的二次函数关系，然后利用二次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设售价应降低元，由题意得．
，
，
解得，，
又要减少库存，
，
答：售价应降低30元．
（2）解：设商家每天获得的利润为元，
．
，
当时，元，
答：商家每天获得的最大利润为2025元．
20．(1)
(2)商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元
【分析】本题考查一次函数解应用题、一元二次方程解应用题，读懂题意，准确求出一次函数关系式，由等量关系列出一元二次方程求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，设与之间的函数关系式为，由函数图象，将，，代入函数关系式，由待定系数法解方程组即可得到答案；
（2）由总利润单个商品利润销量得到，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数关系式为．
根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式，
∴，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：能．
由题意，可得，
整理，得，
解得．
答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元．
21．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可．
【详解】（1）解：设，
由题意，把，代入，得：
，解得：，
∴；
（2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下：
由题意，得：，
整理，得：，
∵，
∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元．
22．(1)y关于x的函数表达式为
(2)销售单价应为14元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的数量关系．
（1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式；
（2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
把代入得，
，
解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：设销售单价应为x元,根据题意得：
，
解得，，，
∵销售单价不得高于22元，即，
∴，
∴销售单价应为14元．
23．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关键．
（1）设一次函数的关系式为，采用待定系数法即可求解；
（2）设当天玩具的销售单位是x元，由题意得，，然后计算即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点把这两点的坐标代入一次函数，得，
解得，
∴一次函数的关系式为．
（2）解：不能，
理由：设当天玩具的销售单位是x元，
由题意得，，
化简，得
∴，
∴方程无解，
∴该玩具的日销售利润不能达到820元．
24．(1)当天可盈利1692元
(2)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论；
（2）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】（1）解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件，
当天可盈利（元）
答：当天可盈利1692元；
（2）解：根据题意得，
整理，得
解得，
为了尽快减少库存，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.
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