一元二次方程中根与系数的关系求代数式的值 重点考点梳理 专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程中根与系数的关系求代数式的值 重点考点梳理
专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ）
A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2
C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2
3．若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．2025
6．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1 x2等于（　　）
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4
二、填空题
7．若、是一元二次方程的两根，则的值为_____．
8．已知m，n是关于x的方程的两个根，则______．
9．已知两个不相等的实数，，满足：，，则________．
10．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______．
11．若m，n是一元二次方程的两个根，则______．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
13．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为___________．
14．设是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________．
三、解答题
15．阅读并思考：
设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式．
(1)若，则的一个根是___________；
(2)设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数，
得到一元二次方程根与系数的关系：
利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值；
(3)探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：
利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值；
16．阅读材料，解答问题：
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，
例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
已知实数a，b满足：，且，则______，______；
(2)间接应用：
已知实数m，n满足：，，求的值；
(3)拓展应用：
已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值．
17．阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数a、b、c之间存在以下关系：
①两根的和：；②两根的积：．
这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（）．
解决问题：
(1)验证关系：
给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和；
(2)应用关系：
若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______________________；
(3)能力素养：
学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于x的方程的两个实数根，且，求a的值．
小秦同学的解法如下：
解：和是关于x的方程的两个实数根，
∵，，又∵，∴，
则，即，解得，．
你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正．
18．对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
例：若是方程的两个根，不解方程，求的值．
解：由题意，根据根与系数的关系得：，
∴．
根据上面材料，解答下列问题：
(1)已知是方程的两根，则 ， ．
(2)设是方程的两个根，求下列各式的值：
①；
②．
(3)关于x的方程的两实数根满足，求k的值．
19．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
20．【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，．
（1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
①直接写出实数k的取值范围________________；
②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由；
【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，．
（2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值；
21．若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，．
(1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ．
(2)类比探究：小芳同学发现．
请你试证明：．
(3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D B D C C
1．A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
，
，
故选：．
2．D
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1 x2=c=1×（﹣2）=﹣2．
∴b=﹣1，c=﹣2．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，由，即可直接得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实根为，
∴，，
∴．
故选B．
4．D
【详解】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x1+x2=﹣2，x1 x2=k+1，
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：

故选D．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键．
由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，而，，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∴；
故选：C．
6．C
【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2，
∴x1 x2=-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是．
7．
【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，再代入即可解决此题．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
，
则
，
故答案为：．
8．19
【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根，
，
∴，
∴
故答案为：19．
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵两个不相等的实数，，满足：，，
∴实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根，
∴，
故答案为：．
10．8
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，则，再由，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是先得出，再求代数式的值．
【详解】解：已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，
则，
则，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：．
15．(1)2
(2)3
(3)10
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元三次方程的根与系数的关系、完全平方公式的变形以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和公式变形是解题的关键．
（1）根据已知的整式因式分解形式，结合方程根的定义，直接确定方程的一个根．
（2）先利用一元二次方程根与系数的关系求出和，再代入已知条件得到关于的方程，同时结合根的判别式确定的取值．
（3）先根据一元三次方程根与系数的关系求出和，再利用完全平方公式的变形计算求值．
【详解】（1）解：∵，令，则，
∴或，
∴的一个根是，
故答案为：2．
（2）解：∵方程，
∴ ，．
又∵ ，
∴ ，
整理得，
因式分解得，
解得或．
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即，
，
，
．
∴ ．
（3）解：对于方程，
∵ 一元三次方程根与系数的关系为，，这里，，，
∴ ，．
∴
，
．
16．(1)，
(2)2或
(3)3
【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系．
（1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，；
（2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可；
（3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可．
【详解】（1）解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，，
故答案为：，；
（2）解：∵m，n满足，
当时，原式，
当时，m、n可看作方程的两根，
∴，
∴原式，
综上，的值为2或；
（3）解：∵，
∴，，
∴a、b为一元二次方程的两根，
∵，
∵正整数，
∴，即．
∴正整数c的最小值为3．
17．(1)是；
(2)（答案不唯一）；
(3)小秦同学的解法不正确，理由见详解．
【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系和根的判别式．
（1）根据求根公式求出的两个根，再根据题意求出和即可；
（2）根据题意解答即可；
（3）根据题意得出，解答即可．
【详解】（1）解：，
则，
即，，
∴，
；
（2）解：∵一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，
∴设一元二次方程的一般式是，
∴，
解得：，
∴这个一元二次方程的一般形式为；
（3）解：小秦同学的解法不正确，
理由：，
∴，，
又∵，
∴，
则，即，
解得：，，
又∵，解得：，
∴．
18．(1)，2
(2)①；②
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数、完全平方公式的应用和一元二次方程根的分布情况，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用．
（1）根据给定的算法代入即可求得；
（2）先根据给定根与系数关系找到对应的关系，再将①；②代入求解即可；
（3）根据题意列出和，求得，结合有两个根得，解得，当时，求得；当时，求得，找到满足要求得即可．
【详解】（1）解：是方程的两根，
则，，
故答案为：，2；
（2）解：是方程的两个根，
则，，
①；
②；
（3）∵方程的两实数根，
∴， ，
，
，
解得，，
当时，，即，解得，；
当时，，即，解得，，
∵，
∴方程无实根
∴k的值为．
19．(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键：
（1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上：或；
（2）∵方程有两个实根，，
∴，
∴，
解得：或，
当，方程化为：，
∴，满足条件；
当，方程化为：，此时，舍去；
故；
（3）∵方程有两个实根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
当时，原方程化为：，
此时，满足题意，
∴．
20．（1）①；②；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元三次方程根与系数的关系；
（1）①利用根的判别式建立不等式求解即可；②利用根与系数的关系建立等式进行解方程即可；
（2）利用材料中的根与系数的关系得到，然后利用配方法求最值就可．
【详解】解：（1）①解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
∴，
∴；
故答案为
②解：∵，是原方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得或；
又∵，
∴
（2）∵一元三次方程有三个根，，，
，，，
，，
，
∵，即的最小值为．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，解一元二次方程；
（1）利用根与系数的关系可求出的值；
（2）根据，代入求值即可；
（3）先利用根与系数的关系可求出，，再代入计算即可．
【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则，
故答案为：；
（2）证明：由题意可得，，
∴；
（3）解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，，
∴，，
整理得，
解得，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)