不等式及不等式组 重点考点梳理 专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

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不等式及不等式组 重点考点梳理 专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C． D．
4．电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　）
A．数量多的狗群每个群有狗条
B．依题意
C．有最小值，但没有最大值
D．是正确解，但不是唯一解
5．如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．不等式的所有非负整数解为___________．
8．一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为140千克，手推车的重量为20千克，货物每箱的重量为50千克，则工人师傅每次最多能搬运货物_______箱．
9．不等式组无解，则的取值范围是________．
10．不等式组的所有整数解的和为_____．
11．已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为______．
12．某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示：
木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸
M 2块／次 4块／次 8块／次
N 不能加工 3块／次 6块／次
其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材．
（1）加工这批木材，M款切割机至少要使用____________次；
（2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少____________元．
13．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为______．
三、解答题
14．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，如第1个台阶上的数是，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2．
(1)求第3个台阶上的数；
(2)求第个台阶上的数（用含的式子表示）：
(3)淇淇发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论．
15．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
16．解不等式组：．
17．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
18．学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表：
甲型号大客车 乙型号大客车
满座载客量（人/辆） 55 35
租车费用（元/辆） 1200 800
(1)若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？
(2)设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元．
①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围；
②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
19．（1）解不等式，并在数轴上表示解集．
（2）已知，求代数式的值．
20．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口，利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”
现有两个水杯容量相同的智能空水杯．
(1)王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为．
①王老师的水杯容量是为________；
②求此时杯中的水温（不计热损失）；
(2)嘉琪拿了另外一个智能空水杯，先接了x秒温水，又接了一会儿开水，接满杯中水．智能杯盖显示此时杯中温度为，请你求出t与x的函数关系式，直接写出x至多为几秒时，才能使杯中温度不低于（x为正整数）
21．某闯关小游戏，玩家初始能量值为100点，每通过1关可获得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣除固定能量惩罚，只有低级的关卡胜利才能到高级的关卡．例如：玩家同第1关，一次成功，能量值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点．
(1)求每关的奖励值和惩罚值（用正负数表示奖励和扣除）；
(2)嘉嘉同学通过第4关后能量值变为了145，则嘉嘉同学闯关中一共失败了几次；
(3)嘉嘉要想能玩到第11关，且能量值不低于220点，则嘉嘉最多能失败几次？
22．某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据：
（件） 20 40
（元） 20 15
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本．
23．太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价）
24．人工智能的发展改变了人们的工作与生活，某市农业局准备购买甲、乙两种型号的无人机在农田上空精准喷洒农药和肥料．已知购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万元．
(1)求甲、乙两种型号无人机的单价．
(2)若计划购买甲、乙两种型号的无人机共12台，总费用不超过100万元，则最多能购买甲型无人机多少台？
25．开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件．
(1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元．
(2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？
26．月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同．
(1)求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
(2)该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D B D C B
1．B
【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，根据“不超过1000元购买篮球和足球共15个”，列不等式即可．
【详解】解：设购买足球m个，则购买篮球个，
则可列不等式为，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上确定出解集，判断即可．
【详解】解：解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示解集为：；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为 ，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理清狗群数量多的一方与狗群数量少的一方存在的数量关系．
设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的那个群为条，且狗群数量都是奇数，据此逐一分析判断即可．
【详解】A、设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误；
B、依题意应该是：，此选项错误；
C、依题意得(x为奇数)，解得：(x为奇数)，故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误；
D、由C可知，(x为奇数)，故是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确．
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，求出每个不等式的解集，找出公共部分即可得到不等式组的解集，然后根据数轴上点的位置判断即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式的，
∴不等式组的解集为，
可得数轴上c的值满足不等式组，
故选：C．
6．B
【分析】先通过移项、合并同类项、系数化为求解不等式的解集，再依据解集判断其在数轴上的正确表示．本题主要考查一元一次不等式的解法（移项、合并同类项、系数化为 ）及解集在数轴上的表示（实心点表示包含该点，折线方向体现不等号方向 ）．熟练掌握不等式变形规则和数轴表示解集的方法是解题关键，同时要留意题目可能存在的输入误差，结合选项合理分析．
【详解】解： ：
；
；
．
把表示在数轴上为
故选：B．
7．
【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解此题的关键是求出不等式的解集．
先求出不等式的解集，再求出不等式的非负整数解即可．
【详解】解：，
，
，
所以所有非负整数解为，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了不等式的应用，解题的关键是列出不等式进行求解．
【详解】解：设工人师傅每次最多能搬运货物箱，由题意得：
，
解得：，因为为整数，
工人师傅每次最多能搬运货物箱，
故答案为：．
9．
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确理解大大小小找不到．首先解出第一个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定的取值范围．
【详解】解： ，
解①得：，
解得：，
不等式组无解，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而得出不等式组的所有整数解，再相加即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为，，，，
∴所有整数解的和为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再结合数轴即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
12． 2 235
【分析】该题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材，M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，即可得到答案；
（2）将3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材，全部转化为小尺寸木材，则需要加工小尺寸木材块，设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次，则，结合，均为正整数，据此求解即可．
【详解】解：∵需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材，
设加工这批木材，M款切割机使用x次，
则，解得：，
∵x为正整数，
∴加工这批木材，M款切割机至少使用 2 次，
故答案为：2；
（2）∵某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材．
全部转化为小尺寸木材，
则需要加工小尺寸木材块，
设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次，
则，即，
∵，均为正整数，
∴有以下方案：，此时加工成本为元；
，此时加工成本为元；
，此时加工成本为元；
，此时加工成本为元；
∴加工这批木材成本最低为元，
故答案为：235．
13．0.8
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得：
，
解得，，
所以，小明的最小平均速度为．
故答案为：0.8．
14．(1)第3个台阶上的数为
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，有理数加法的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）计算出的结果即可得到答案；
（2）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2列式求解即可；
（3）当时，可证明，据此可证明结论．
【详解】（1）解：，
答：第3个台阶上的数为；
（2）解：由题意得，第个台阶上的数为：
；
（3）证明：当时，
∵第个台阶上的数为
∴第7个台阶以上的数都是正数．
15．，数轴见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
16．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
17．，见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①，得：．
解不等式②，得：．
原不等式组的解集是：．
将解集在数轴上表示如下：
18．(1)租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆；
(2)①；②租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆时，费用最少，为12800元
【分析】（1）设租用甲型号的大客车x辆，根据“租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地”列一元一次方程，求解即可；
（2）①租用甲型号的大客车x辆，根据租车费用列出一次函数，再根据题意列不等式组求得x的取值范围；②利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆，
依题意得，
解得，
，
答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆；
（2）解：①设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆，
依题意得，
，解得，
∴；
②∵，
∴当时，y有最小值，最小值为12800，
，
答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆时，费用最少，为12800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
19．（1），画图见解析；（2）
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，分式的混合运算，化简求值；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：（1），
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
在数轴上表示其解集如下：
．
（2）
；
∵，
∴，
∴原式．
20．(1)①250；
(2)；x至多7秒时，温度不低于
【分析】（1）王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为．
①根据题意，王老师的水杯容量是为，解答即可；
②根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，智能空水杯的容量为，温水的容量为，开水的容量为，根据题意，得，整理即可得到t与x的函数关系式，根据杯中温度不低于建立不等式，求整数解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键．
【详解】（1）（1）①解：根据题意，王老师的水杯容量是为，
故答案为：250；
②解：根据题意，得，
解得．
答：此时杯中的水温为．
（2）解：根据题意，智能空水杯的容量为，温水的容量为，开水的容量为，
根据题意，得，
整理得；
由杯中温度不低于，得，
解不等式，得，
又是整数，
故
故至多7秒．
21．(1)奖励值为15，惩罚值为；
(2)失败了3次
(3)嘉嘉最多能失败6次
【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算的应用，不等式的应用，理解题意是解题关键．
（1）根据题意利用有理数的加减法即可求解；
（2）根据题意利用有理数的四则运算求解即可；
（3）设嘉嘉最多能失败x次，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵玩家闯第1关，一次成功，能量值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点．
∴，
∴奖励值为15，惩罚值为；
（2）解：根据题意得一次性通过四关后的能量值为：，
现在能量值为145，
∴，
∴失败了3次；
（3）解：设嘉嘉最多能失败x次，
根据题意得：，
解得：，
∴嘉嘉最多能失败6次．
22．(1)
(2)最小成本2640元
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，
（1）设，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出不等式，求出，设生产这200件产品的成本为，根据题意表示出W，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设，由题意得，
解得，
所以；
（2）解：由题意得，，
解得，
设生产这200件产品的成本为，
则
因为，
所以随的增大而减小；
所以当时，最小，最小值2640元．
23．此次最少购进20辆A品牌自行车
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，分别表示出A品牌自行车和B品牌自行车的利润，再根据总利润不低于29500元列出不等式求解即可．
【详解】解：设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，
根据题意，得：，
解得：，
因为为正整数，
所以的最小值为20，
答：此次最少购进20辆A品牌自行车．
24．(1)甲、乙两种型号的无人机每台价格分别是10万元、5万元．
(2)最多能购买甲型无人机8台．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用等知识点，分析题意、找到关键描述语、找到合适的关系列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）根据“购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万”，列出方程组求解即可；
（2）设购买甲型无人机a台，乙型无人机台，根据购买总费用不超过100万元列出不等式求出a的最大整数值即可．
【详解】（1）解：甲、乙两种型号无人机的单价分别为x万元、y万元，
根据题意得：
，解得，
答：甲、乙两种型号的无人机每台价格分别是10万元、5万元．
（2）解：设购买甲型无人机a台，乙型无人机台，
根据题意得：，解得：，
所以a的最大值为5，即最多能购买甲型无人机8台．
答：最多能购买甲型无人机8台．
25．(1)款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元
(2)共有3种购买方案
(3)当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可；
（2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可；
（3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，
由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．则．
答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元．
（2）解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得
，解得．
款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半，
，
解得．
．
当时，；
当时，；
当时，．
共有3种购买方案．
（3）解：在（2）的条件下，令表示总费用，则．
，
随着的增大而增大．
当时，取得最小值，
最小值为．
答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元．
26．(1)五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元
(2)五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．
（1）设豆沙月饼每盒的进价为，根据题意列方程即可求解；
（2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为，先根据题意列出关于的不等式，求出的范围，再列出与的解析式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设豆沙月饼每盒的进价为，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
五仁月饼每盒的进价为（元），
答：五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元；
（2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为，
根据题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值为（元），
五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
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