二元一次方程（组） 重点考点梳理 专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

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二元一次方程（组） 重点考点梳理
专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．《九章算术》中给出了方程组的表示及消元算法．如图1表示的是方程组消元算法：“以左行上禾遍乘右行而以直除”，即用左行上禾3乘右行每一个数，然后用运算结果中的每个数减去对应左行每个数，得图2，其中右行表示的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金两和两，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）
A． B． C． D．
10．某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数：
型号 硬件工程师 软件工程师
型 12 4
B型 5 4
型 4 5
若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个．
给出下列结论：
①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个；
②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4．
则下列正确的是（ ）
A．①对，②错 B．①错，②对
C．①②均错误 D．①②均正确
二、填空题
11．若，则_______．
12．明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今25位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为__________________．
13．如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则________．
14．如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则___________．
三、解答题
15．解方程组：
16．袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有两块试验田各10亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？
17．中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？
18．我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗）
19．利用二元一次方程组解应用题
某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？
20．北京市中小学课间延长为15分钟后，某校为丰富学生的课间活动，准备购买一批课外读物．一班买4本《三国演义》与3本《红楼梦》共用190元，二班买3本《三国演义》与6本《红楼梦》共用255元．求《三国演义》和《红楼梦》每本多少元．
21．《中国居民膳食指南（2022）》推荐每人烹调油摄入量为克/天，烹调盐摄入量低于5克/天．2000年该地区居民的烹调油和盐人均摄入总量为65克/天，2025年的人均摄入总量为50.5克/天．2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了．请判断2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量是否符合标准，并说明理由．
22．根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积．
某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B A A C A A D
1．D
【分析】本题考查二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
根据图2，右行上禾为，下禾为，实为5，即可解答．
【详解】解：根据图2，右行上禾为，下禾为，实为5，即
，
∴右行表示的方程是．
故选D．
2．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据“头牛，只羊，值金两；头牛，只羊，值金两”列出方程组即可得答案．
【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为，
故选D．
3．D
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可．
【详解】∵将代入，
∴，解得，即方程组的解为，
A. 将代入，左边，不符合题意；
B. 将代入，左边，不符合题意；
C. 将代入，左边，不符合题意；
D. 将代入，左边右边，符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键．
设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元；根据等量关系“8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，
根据题意，可列方程组为，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可．
【详解】解：由题意得：；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y，
则根据题意可列方程组为，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人，
若每间住人，则余下人无房可住，则，
若每间住人，则余下一间无人住，则，
，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个队胜的场数是，负的场数是，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设这个队胜的场数是，负的场数是，
由题意得，，
故选：．
9．A
【分析】设每一个小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的宽为15及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y，
依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设型小组数为，型为，型为，根据题意可得，，得出，即可判断①；设硬件工程师总数为，软件工程师为，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有人，根据组建型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师人，进而即可判断②，即可求解．
【详解】解：①每个小组的工程师需求：
型：人
型：人
型：人
设型小组数为，型为，型为．
根据条件：①；， ，
②
由①得：，代入②：
解得：
∴，且 ， ，
所以 ， 或 ， （不满足 ）等，
唯一解是 ， ．
因此，型小组数为个，结论①正确；
②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意，
：
解得：，
设型小组数为，型为，型为．
当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时，
需要硬件工程师人数为：，故②正确
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据他们总共饮19瓶酒．得，根据好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今25位客人醉倒了，得，联立方程组即可．
本题考查了古籍中的方程组，熟练掌握方程组的布列是解题的关键．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，得
．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据每行、每列及对角线上三个数的和都相等，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
，解得：；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由题图-1可知，
，
题图-1中大正方形的边长减少1个单位，
题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则，
，
，
，
综上所述，，
解得，
，
故答案为：．
15．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：方程组整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．杂交水稻的亩产量为960千克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据共收获水稻千克，列出方程并解出即可．
【详解】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克．
根据题意得，解得．
杂交水稻亩产量为千克
答：杂交水稻的亩产量为千克．
17．她答对了道题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案．
【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，
根据题意得，
解得，
答：她答对了道题．
18．原来有斗米
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入斗谷子，由题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设原来有x斗米，则后加入斗谷子，
根据题意，得，
解得，
答：原来有斗米．
19．A种车型有45个座位，B种车型有60个座位
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可．
【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，
由题意得，，
解得，
∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位，
答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位．
20．《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
设《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元，得到，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元
根据题意列方程组，得：，
由得：③，
由得：，
解得：，
把代入①，得
解得：．
答：《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元．
21．2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准，理由见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设2000年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为x克/天，烹调盐摄入量为克/天，根据2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了，建立方程组求解即可．
【详解】解：2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准，理由如下：
设2000年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为x克/天，烹调盐摄入量为克/天，
根据题意：，
解得：，
则2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为（克/天），烹调盐摄入量为（克/天），
∵，
∴2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准．
22．绿地率可以合格，理由见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系正确列式求解是关键．
设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，由此列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，
由题意可知，，
解得，
按照该方案改造后的绿地面积为，
根据规定，该小区的绿地面积不得低于，
∵，
∴按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格．
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