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第19章《二次根式》单元测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
6．（3分）若是正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）已知a＝2，b＝2，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．绝对值相等
8．（3分）已知x＝2，则代数式（7+4）x2+（2）x的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．2
9．（3分）k、m、n为三整数，若k，15，6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（ ）
A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n
10．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为S1和S2的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则S1+S2的值是（ ）
A．48 B． C．62 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）一个长方形的长为cm，宽为cm，则它的周长是 cm．
13．（3分）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45dm2和80dm2的两块正方形木板，剩余木板的面积为 dm2．
14．（3分）观察下列各式的规律：①2；②3；③4，若8，则a＝ ．
15．（3分）已知a2+2ab+b2＝0，则b＝ ．
16．（3分）斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ，第2个数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x，y．
19．（8分）已知2.236，求（）﹣（）的值．（结果精确到0.01）
20．（8分）已知b+1
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
21．（8分）化简：，并将自己所喜欢的x值代入化简结果进行计算．
22．（10分）已知x，，求：
①；
②x2﹣xy+y2的值．
23．（10分）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
；
．
【类比归纳】
（1）填空：
① ；
② ± ）2（a≥0，b≥0）．
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝14cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒后，PQ的长度为？
（2）几秒后，△PBQ的面积为20cm2？
（3）△PBQ的面积能否为24cm2？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第19章《二次根式》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C A B A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】形如的式子叫做二次根式，由此判断即可．
【解答】解：A：被开方数为﹣3（负数），故不是二次根式，故此选项不符合题意；
B：被开方数为x﹣1．当x≥1时，被开方数非负，但题目未限定x的范围，故此选项不符合题意；
C：，被开方数7是正数，根指数为2，完全符合二次根式定义，故此选项符合题意；
D：，根指数为3，不是二次根式，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【分析】由题意得x﹣2≥0即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】各个选项均根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A、∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
B、∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D、∵当a≥0时，；当a＜0时，，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、2，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
B、|x+y|，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
C、被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式．
故选：D．
5．（3分）估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】根据二醋根式的乘法法则计算得到原式＝2，然后根据无理数的估算进行判断．
【解答】解：原式
＝2，
∵12，
∴3＜24．
故选：C．
6．（3分）若是正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先将化简为最简二次根式，然后再根据是整数求解即可．
【解答】解：∵2，是整数，
∴3a是一个完全平方数．
∴a的最小值是3．
故选：A．
7．（3分）已知a＝2，b＝2，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．绝对值相等
【分析】直接利用二次根式的计算得出答案．
【解答】解：∵a＝2，b＝2，
∴ab＝（2）（2）＝1，
∴a与b互为倒数，
故选：B．
8．（3分）已知x＝2，则代数式（7+4）x2+（2）x的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．2
【分析】未知数的值已给出，利用代入法即可求出代数式的值．
【解答】解：∵x＝2，
∴（7+4）x2+（2）x
＝（7+4）（2）2+（2）（2）
＝（7+4）（7﹣4）+（4﹣3）
＝49﹣48+1
＝2．
故选：A．
9．（3分）k、m、n为三整数，若k，15，6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（ ）
A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n
【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．
【解答】解：3，15，6，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，
则m＜k＜n．
故选：D．
10．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为S1和S2的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则S1+S2的值是（ ）
A．48 B． C．62 D．
【分析】设阴影部分的长方形的长为a，宽为b．构建方程组求出a2+b2即可．
【解答】解：设阴影部分的长方形的长为a，宽为b．
由题意，
∴a+b＝23，ab＝12，
∴S1+S2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（23）2﹣2462．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【解答】解：要使式子有意义，则2+x≥0，
解得x≥﹣2，
故答案为：x≥﹣2．
12．（3分）一个长方形的长为cm，宽为cm，则它的周长是 10 cm．
【分析】根据长方形的周长＝2（长+宽），利用二次根式的加减，即可解答．
【解答】解：长方形的周长为：2（）＝2（）＝10（cm），
故答案为：10．
13．（3分）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45dm2和80dm2的两块正方形木板，剩余木板的面积为 15 dm2．
【分析】先求出正方形的边长，即可求出剩余木板的面积．
【解答】解：由题意得两个正方形的边长为，，
∴剩余木板的面积为，
故答案为：15．
14．（3分）观察下列各式的规律：①2；②3；③4，若8，则a＝ 63 ．
【分析】利用根号内的分数的分母与根号外的数字之间的关系即可求得结论．
【解答】解：观察各式发现根号内的分数的分母与根号外的数字之间有如下规律：
①3＝22﹣1；
②8＝32﹣1；
③15＝42﹣1；
∴a＝82﹣1＝63．
验证：当a＝63时，
8．
故答案为：63．
15．（3分）已知a2+2ab+b2＝0，则b＝ ﹣1 ．
【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数性质解答即可．
【解答】解：∵a2+2ab+b2＝0，
∴（a+b）2＝0，
∵，（a+b）2≥0，
∴，
解得．
故答案为：﹣1．
16．（3分）斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 1 ，第2个数为 1 ．
【分析】根据题意分别计算（）及[（）2﹣（）2]即可．
【解答】解：（）
＝1；
[（）2﹣（）2]
（）×（）
1
＝1；
即斐波那契数列中的第1个数为1，第2个数为1，
故答案为：1；1．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝232
＝2；
（2）
2
＝432
＝4．
18．（8分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x，y．
【分析】直接利用乘法公式化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2
＝2xy，
当x，y时，
原式＝2
＝2．
19．（8分）已知2.236，求（）﹣（）的值．（结果精确到0.01）
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项，把2.236代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝（4）﹣（）
＝4
＝4
，
∵2.236，
∴原式≈0.45．
20．（8分）已知b+1
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数解答；
（2）结合（1）求得a、b的值，然后开平方根即可．
【解答】解：（1）∵，有意义，
∴，
解得：a＝5；
（2）由（1）知：b+1＝0，
解得：b＝﹣1，
则a2﹣b2＝52﹣（﹣1）2＝24，则平方根是：．
21．（8分）化简：，并将自己所喜欢的x值代入化简结果进行计算．
【分析】首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可化简，然后代入能使根式有意义的值即可求解．
【解答】解：原式
由题意：x＞0；
∴当x＝1时，
原式6．
22．（10分）已知x，，求：
①；
②x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x、y分母有理化，再求出x+y和xy的值，继而分别代入①；②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy计算即可．
【解答】解：∵x，
y，
则x+y5，xy1；
①原式25﹣2＝23；
②原式＝（x+y）2﹣3xy＝52﹣3×1＝25﹣3＝22．
23．（10分）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
；
．
【类比归纳】
（1）填空：
① ① 1 ；
② ± ）2（a≥0，b≥0）．
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积．
【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm，根据题意得：x2＝5，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为2xy，代值计算即可．
【解答】解：（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式可得：
①；
②；
故答案为：①；1；②；；
（2）；
（3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm，
根据题意得：x2＝5，，
∴，，
则．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝14cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒后，PQ的长度为？
（2）几秒后，△PBQ的面积为20cm2？
（3）△PBQ的面积能否为24cm2？请说明理由．
【分析】（1）设运动t秒时，PQ的长度为，则有BP＝（9﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用勾股定理可得：，解方程即可求出t的值；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为20cm2，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出t的值；
（3）设运动t秒时，△PBQ的面积为24cm2，可得方程t2﹣9t+24＝0，根据一元二次根式的判别式可知Δ＝b2﹣4ac＝﹣15＜0，所以方程无解，所以△PBQ的面积不可能为24cm2．
【解答】解：（1）设运动t秒时，PQ的长度为，
∴AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∵AB＝9cm，
∴BP＝（9﹣t）cm，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴根据题意列一元二次方程得，，
整理得：5t2﹣18t﹣72＝0，
解得：（负值不符合题意，舍去）或6，
答：6秒后PQ的长度为；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为20cm2，
根据题意列一元二次方程可得：，
整理得：t2﹣9t+20＝0，
解得t＝4或5，
答：4秒或5秒时，△PBQ的面积为20cm2；
（3）△PBQ的面积不可能为24cm2．
理由如下：
设运动t秒时，△PBQ的面积为24cm2，
根据题意列一元二次方程可得：，
整理得：t2﹣9t+24＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×1×24＝﹣15＜0，
∴方程无解，
∴△PBQ的面积不可能为24cm2．
