20.1 勾股定理及其应用 第2课时 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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20.1 勾股定理及其应用 第2课时 跟踪练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（ ）
A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米
2．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
3．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了_________．
6．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______．
7．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，
再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是_______．
8．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
三、解答题
9．一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米．
(1)求梯子顶端到地面的高度；
(2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？
10．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）．
11．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度．
12．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
13．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离．
14．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？
15．由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 B D A C
1．B
【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理求出，再求和即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴在中，，
即，
∵，
∴在中，
∴，
∴，
∴，
∴两个书柜之间的距离为2.2米；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：在中，根据勾股定理得到，
即，
解得，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】如图，连接．
依题意，
∵，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．
先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示：
由题意得：米，米，米，，
∴米，
在中，由勾股定理得：（米）；
故选：C．
5．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出杆的长度．根据勾股定理求出杆的长度，然后减去B距离O的距离即可得出答案．
【详解】解：由题意得，即．
当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是，
故滑块滑动了．
故答案为：
6．米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米．
【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河，
，
，
在中，米，米，
米．
故答案为：米．
7．12米
【分析】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
【详解】解：根据题意知：米，米．
在直角中，由勾股定理得：
，
故．
解得，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12．
8．70
【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案．
【详解】解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．(1)米
(2)米
【分析】（）设梯子顶端到地面的高度为米，根据勾股定理列出方程解答即可求解；
（）设底端将水平滑动米，根据勾股定理列出方程解答即可求解；
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米，
由勾股定理得，，
解得，
答：梯子顶端到地面的高度为米；
（2）解：设底端将水平滑动米，
由题意得，，
解得，
答：底端将水平滑动米．
10．米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∵米，米，
∴米，
答：两点间的距离为米．
11．旗杆的高度为9米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设米，则绳子长为米，再由题意得出米，然后由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：设米，则绳子长为米，
∴米，
由题意得：四边形是长方形，
∴米，
∴米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：旗杆的高度为9米．
12．小鸟至少飞行了10米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，
过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在中，（米），
答：小鸟至少飞行了10米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
13．的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键．
先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
答：的距离为．
14．超速
【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．
【详解】∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴这辆小汽车超速了．
15．这棵树在折断前（不包括树根）的高度
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，根据勾股定理得：．
所以大树的高度是．
答：这棵树在折断前（不包括树根）的高度．
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