20.1 勾股定理及其应用 第3课时 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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20.1 勾股定理及其应用 第3课时 跟踪练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ）
A． B．3 C．4 D．
2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7 B．9 C．16 D．25
4．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ）
A．14 B． C．15 D．
5．运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________．
7．新考法 如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为________．
8．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______．
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________．
10．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________．
11．如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为__________．
三、解答题
12．如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE2=BE2+AC2．
13．（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：）
（2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明．
14．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
15．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点．
(1)求点到点之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D C C B B
1．D
【分析】利用勾股定理求出可得结论．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，实数与数轴，解题的关键是理解题意，正确计算．
【详解】解：在中，，
，
点C表示的数为．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系．
结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解．
【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为，
由图形可得知，，
则
∵正方形的边长为3
∴
∴
故选C．
3．C
【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得．
【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键．
设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设的长为尺，
尺，尺，
尺，
在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得，
解得，
秋千绳索或的长度为尺，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．
根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：展开图如下，
，
∴．
故选B．
6．
【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可．
【详解】解：在直角三角形中， ，
∴，
∴点C所表示的数为．
故答案为：．
7．8
【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．利用勾股定理依次求出，可总结出，由此可解．
【详解】解：
由勾股定理可得：，
，
……
可知，
，．
故答案为：．
8．50
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点F，
∵和都是等腰直角三角形，，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：50．
9．29
【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案．
【详解】解：由题意知，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
故答案为：29．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
10．
【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点
∴
∴
由勾股定理可得：
即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键．
将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．
【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，
∴，
故答案为：．
12．见解析
【分析】连接AD，根据中点的定义得到BD=CD，利用勾股定理得到，即可证明．
【详解】证明：连接AD，
∵D是BC中点，DE⊥BC，
∴BD=CD，
∵∠C=90°，
∴
=
=．
【点睛】本题考查了勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
13．（1）能，理由见解析；（2）能，理由见解析．
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键．
（1）连接，则与、构成直角三角形，由勾股定理得到，进行比较即可求解；
（2）过点作，则△是等腰直角三角形，即，由勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：（1）能，理由是：
如下图，连接，则与、构成直角三角形，
根据勾股定理得，．
∵ ，
∴该长方形能从内框内通过（将该长方形的宽沿着斜着进去）；.
（2）能，理由是：
过点作，则△是等腰直角三角形，即，
，
，即,
∴，
∴这个立柜能通过过道．
14．最短行程是
【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可．
【详解】解：如图所示，连接即为所求路线，
根据题意：，，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
如图所示，连接即为所求路线，
根据题意：，，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∵
∴
∴最短行程是．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
（2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
即点到点的距离为．
（2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图．
如图2所示，，
如图3所示，，
如图4所示，，
因为，
所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为．
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