20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
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| 名称 | 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
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20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 跟踪练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（ ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形．
A．13 B．14 C．15 D．16
2．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
5．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（ ）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
二、填空题
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为________．
7．如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为_______．
8．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？______（填是或不是）；走新修路比走原路少走_______千米？
9．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号）
①北偏西 ②南偏西 ③南偏东 ④南偏西
10．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．
三、解答题
11．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
12．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
13．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离．
14．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积．
15．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：
如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C C A A C
1．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：∵小淇同学握住第7个结，
∴小惠和小淇之间有6个单位长度，
∵6，8，10是一组勾股数，且，
∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
∴这块可绿化的空地的面积为．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
【详解】解：连接，则在中，
∵，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：A．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东．
【详解】解：由题意得，海里，海里，海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵胜利号轮船沿北偏西方向航行，
∴，
∴，
∴智能号轮船的航行方向是北偏东，
故选：A．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出DC的长，然后加上BD的长就可以求出BC的长．
【详解】解：如图，在，，
，
，即，
在中，AC=150，，
∴BC=BD+DC=50+90=140
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解勾股定理及逆定理是解本题的关键．
6．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：（平方米）（平方千米）．
故答案为．
7．/96平方米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，．
【详解】解：连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
中，；
∵，
∴，
∴．
故答案为：
8． 是 0.5/
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，
首先根据勾股定理的逆定理得到，进而得到新修道路是村庄C到河边最近的路；然后勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】∵千米，千米，千米
∴
∴
∴新修道路是村庄C到河边最近的路；
∵千米
∴
∴千米
∴走新修路比走原路少走0.5千米．
故答案为：是；0.5．
9．①/③
【分析】作出图形，根据勾股定理逆定理证明和是直角三角形，再利用角的和差即可求解．
【详解】解：如图，O表示港口，
根据题意得：OA=20×40=800，OB=15×40=600，AB==1000，
∴OA2+OB2=AB2，
∴是直角三角形，且∠AOB=90°，
同理，是直角三角形，且=90°，
∵甲客轮沿着北偏东的方向航行，即，
∴或等于60°，所以乙客轮的航行方向可能是北偏西 或南偏东 ．
故答案为：①或③
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
10．北偏西40°
【分析】分别求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．
【详解】解：∵“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，
∴，，
∵两船相距30nmile，
∴，
∵，
∴，
∴∠QPR=90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向，
∴∠NPQ=50°，
∴∠NPR=90°－50°=40°，
∴“海天”号沿北偏西40°方向航行，
故答案为：北偏西40°．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解决本题的关键是求出PQ和PR，通过计算得到三角形的三边满足其中两边的平方之和等于第三边的平方，进而求出∠QPR，同时本题还需要学生理解方位角的概念，能正确的表述方位．
11．7200元
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
，
元，
即需要投入7200元．
12．南偏东度
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向．
【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里），
乙船1小时的路程：（海里），
∵，
即
∴，
∵C岛在A北偏东方向，
∴
∴B岛在A南偏东方向．
∴乙船航行的角度是南偏东方向．
13．米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
，
米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
14．
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，证明是直角三角形是关键．连接，用勾股定理求出．证明是直角三角形，．根据即可求出答案．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴在中，．
∵，，
∴．
∴是直角三角形，．
∴
15．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
根据题意得：这个三角形的三边长分别为，然后再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个三角形的三边长分别为 ，
∵
∴以为边长的三角形是直角三角形，其直角在第4个结处．
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20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 跟踪练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（ ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形．
A．13 B．14 C．15 D．16
2．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
5．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（ ）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
二、填空题
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为________．
7．如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为_______．
8．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？______（填是或不是）；走新修路比走原路少走_______千米？
9．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号）
①北偏西 ②南偏西 ③南偏东 ④南偏西
10．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．
三、解答题
11．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
12．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
13．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离．
14．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积．
15．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：
如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C C A A C
1．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：∵小淇同学握住第7个结，
∴小惠和小淇之间有6个单位长度，
∵6，8，10是一组勾股数，且，
∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
∴这块可绿化的空地的面积为．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
【详解】解：连接，则在中，
∵，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：A．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东．
【详解】解：由题意得，海里，海里，海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵胜利号轮船沿北偏西方向航行，
∴，
∴，
∴智能号轮船的航行方向是北偏东，
故选：A．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出DC的长，然后加上BD的长就可以求出BC的长．
【详解】解：如图，在，，
，
，即，
在中，AC=150，，
∴BC=BD+DC=50+90=140
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解勾股定理及逆定理是解本题的关键．
6．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：（平方米）（平方千米）．
故答案为．
7．/96平方米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，．
【详解】解：连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
中，；
∵，
∴，
∴．
故答案为：
8． 是 0.5/
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，
首先根据勾股定理的逆定理得到，进而得到新修道路是村庄C到河边最近的路；然后勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】∵千米，千米，千米
∴
∴
∴新修道路是村庄C到河边最近的路；
∵千米
∴
∴千米
∴走新修路比走原路少走0.5千米．
故答案为：是；0.5．
9．①/③
【分析】作出图形，根据勾股定理逆定理证明和是直角三角形，再利用角的和差即可求解．
【详解】解：如图，O表示港口，
根据题意得：OA=20×40=800，OB=15×40=600，AB==1000，
∴OA2+OB2=AB2，
∴是直角三角形，且∠AOB=90°，
同理，是直角三角形，且=90°，
∵甲客轮沿着北偏东的方向航行，即，
∴或等于60°，所以乙客轮的航行方向可能是北偏西 或南偏东 ．
故答案为：①或③
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
10．北偏西40°
【分析】分别求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．
【详解】解：∵“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，
∴，，
∵两船相距30nmile，
∴，
∵，
∴，
∴∠QPR=90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向，
∴∠NPQ=50°，
∴∠NPR=90°－50°=40°，
∴“海天”号沿北偏西40°方向航行，
故答案为：北偏西40°．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解决本题的关键是求出PQ和PR，通过计算得到三角形的三边满足其中两边的平方之和等于第三边的平方，进而求出∠QPR，同时本题还需要学生理解方位角的概念，能正确的表述方位．
11．7200元
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
，
元，
即需要投入7200元．
12．南偏东度
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向．
【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里），
乙船1小时的路程：（海里），
∵，
即
∴，
∵C岛在A北偏东方向，
∴
∴B岛在A南偏东方向．
∴乙船航行的角度是南偏东方向．
13．米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
，
米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
14．
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，证明是直角三角形是关键．连接，用勾股定理求出．证明是直角三角形，．根据即可求出答案．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴在中，．
∵，，
∴．
∴是直角三角形，．
∴
15．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
根据题意得：这个三角形的三边长分别为，然后再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个三角形的三边长分别为 ，
∵
∴以为边长的三角形是直角三角形，其直角在第4个结处．
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