高阶速练
第 6讲 一元二次方程及其应用
1. （2025·广州名校一模）已知：关于 x的一元二次方程x2 (m+3)x+m=0。
（1）求证：无论 m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
答案：证明：Δ=[ (m+3)]2 4×1×m=(m+1)2+8
∵(m+1)2≥0，∴(m+1)2+8>0，即Δ>0，
∴无论实数 m取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）若x1，x2是原方程的两个实数根，且满足x1 x2 (x1+x2) 2=x1 x2，求 m的值。
答案：由根与系数的关系，可知x1+x2=m+3，x1 x2=m，
∵x1 x2 (x1+x2) 2=x1 x2，∴m(m+3) 2=m，
整理得m2+2m 2=0，解得 m= 1+ 3或 m= 1 3。
2.（2025·广州名校一模）某商店以 20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间
内，销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示。
（1）求 y与 x之间的函数解析式；
答案：设 y与 x之间的函数解析式为 y=kx+b（k≠0），
把(20,60)，(80,0)代入 y=kx+b 60=20k+b k= 1，可得 0=80k+b ，解得 b=80 ，
∴y与 x之间的函数解析式为 y= x+80（20≤x≤80）。
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（2）要使销售利润达到 800元，销售单价应定为多少元/千克？
答案：若销售利润达到 800元，则(x 20)( x+80)=800，
整理得x2 100x+2400=0，解得x1=40，x2=60，
答：要使销售利润达到 800元，销售单价应定为 40元/千克或 60元/千克。
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第6讲一元二次方程及其应用
1.（2025·广州名校一模)已知：关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m=0。
(1)求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1,x2是原方程的两个实数根，且满足x1·2·(+x)2=x1·x2,求m的值。
2.(2025·广州名校一模)某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间
内，销售量y(千克)与销售单价x（元/千克)之间为一次函数关系，如图所示。
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/千克？
↑y1千克
60-
020
80y(元/千克)
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