陕西省2024年中考数学试卷（副卷）
1．（2024·陕西）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西） 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．0.38×106 B．3.8×105 C．38×104 D．3.8×106
3．（2024·陕西） 如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝59°，则∠2的度数为（ ）
A．118° B．120° C．121° D．131°
4．（2024·陕西） 不等式组的解集为（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＜3 D．1≤x＜3
5．（2024·陕西） 若点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）在同一个正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则（ ）
A．y1＝﹣y2 B．y1＝y2 C．y2＞0 D．y2＞y1
6．（2024·陕西） 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3
7．（2024·陕西）如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为( )
A．1 B． C． D．2
8．（2024·陕西） 关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·陕西）计算：= ．
10．（2024·陕西） 小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则m＝ ．
11．（2024·陕西） 如图，AB为⊙O的直径，，∠A＝53°，则∠B的度数是 ．
12．（2024·陕西） 如图，点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数y（k＞0）的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若△ABC的面积为32，则k的值为 ．
13．（2024·陕西） 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 ．
14．（2024·陕西） 计算：8×（﹣4）+（）0+||．
15．（2024·陕西） 计算：（x﹣1）（x+2）﹣3（x﹣1）．
16．（2024·陕西） 化简：（）．
17．（2024·陕西） 如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法，在边CD上求作一点P，使S△PBCS矩形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）
18．（2024·陕西） 如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上．求证：∠ABC＝∠DFE．
19．（2024·陕西） 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是 ；
（2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．
20．（2024·陕西） 塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万m3？
21．（2024·陕西） 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB．小明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF，使点E，C，A在同一直线上，并测得ND＝1m，FD＝1.7m．已知CD＝2.6m，EF＝1m，F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD，EF均垂直于FB，求避雷针顶端A的高度AB．
22．（2024·陕西） 实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？
23．（2024·陕西） 甲、乙两块试验田里种植了一新品种大麦，为了了解大麦的生长情况，农业科研人员从甲、乙试验田里各随机抽取了10株，量得其麦穗长度（单位：cm）如表：
甲试验田 5.6 5.9 6.0 6.0 6.3 6.3 6.3 6.7 6.8 7.0
乙试验田 5.9 6.2 6.3 6.3 6.3 6.3 6.5 6.6 6.7 6.8
根据以上数据，解答下列问题：
（1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为 cm；
（2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为 cm；
（3）一般情况下，一块田里麦穗的平均长度越长，大麦的整体生长情况就越好，请估计这两块试验田中，哪一块试验田里的大麦整体生长情况好一些？
24．（2024·陕西） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE＝∠C，并与DA的延长线交于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当AB＝16，BC＝12时，求DE的长．
25．（2024·陕西） 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是yx2+bx+c和yx2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
26．（2024·陕西）
（1）问题提出
如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ；
（2）问题解决
如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是.
故选：A ．
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此分析计算，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：380000＝3.8×105．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．【答案】C
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，l2∥l3，
∴l1∥l3，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝59°，
∴∠2＝180°﹣59°＝121°，
故答案为：C.
【分析】先根据平行公理的推论得出l1∥l3，再根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠2＝180°，即可求出∠2的度数．
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x≥3﹣x，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜3．
故答案为：D.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
5．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：根据题意得，y1＝﹣2k＞0，y2＝2k＜0，故选项C错误；
y1＞y2，故选项D错误；
y1＝﹣y2，故选项B错误，选项A正确．
故答案为：A.
【分析】根据题意得，y1＝﹣2k＞0，y2＝2k＜0，y1＝﹣y2，然后判断四个选项是否正确．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，
∴AB＝
由旋转的性质得到：A'B'＝AB＝，OA'＝OA，OB'＝OB，∠A'OB'＝∠AOB＝90°，
∴OA'＝OB'，
∵△AOB绕点O顺时针旋转45°，
∴∠BOB'＝45°，
∴∠BOA'＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOB'＝∠BOA'，
∵OA'＝OB'，
∴D是A'B'的中点，
OD＝A'B'＝3．
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质得到：A'B'＝AB，OA'＝OA，OB'＝OB，∠A'OB'＝∠AOB，因此OA'＝OB'，求出∠BOA'＝45°，得到∠BOB'＝∠BOA'，由等腰三角形的性质得到D是A'B'的中点，由直角三角形斜边中线的性质即可得到OD的值.
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，
是正方形的中心，
在上，且，，
，
，，
，
在和中，
，
，
四边形是正方形对边平行，则，
，
，
解得：，
故选：D．
【分析】根据正方形的性质，利用ASA得到△AOF≌△COE，即可得到，然后根据平行证明，根据对应边成比例解答即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，
函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误；
y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误；
当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确．
故答案为：C.
【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确．
9．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：原式==4．
【分析】运用开平方定义化简．
10．【答案】12
【知识点】图形的剪拼；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正m边形的一个内角的度数为＝150°，
∴150°m＝（m﹣2）×180°，
解得m＝12．
故答案为：12.
【分析】根据平面镶嵌的定义，求出正m边形的一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式即可求解出答案．
11．【答案】37°
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝53°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝37°，
∵，
∴∠ABD＝∠ABC＝37°，
故答案为：37°.
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，进而可求出∠ABC＝37°，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出∠ABC的度数．
12．【答案】15
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A（3，m），点B（﹣5，n），AC和BC分别垂直于x轴和y轴，
∴点C的坐标为（3，n），且∠C＝90°，
∴AC＝m﹣n，BC＝3﹣（﹣5）＝8，
∵△ABC的面积为32，
∴BC AC＝32，
∴×8（m﹣n）＝32，
整理得：m﹣n＝8，
∵点A（3，m），点B（﹣5，n）在同一个反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k＝3m＝﹣5n，
方程组，
∴k＝3m＝15．
故答案为：15．
【分析】依题意得点C（3，n），则AC＝m﹣n，BC＝8，根据△ABC的面积为32得×8（m﹣n）＝32，即m﹣n＝8，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝3m＝﹣5n，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值．
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；多边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝=＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
∴AC＝2OA＝6，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴∠OAE+∠OEA＝90°，
∵AE⊥AB，
∴∠OAB+∠OAE＝90°，
∴∠OAB＝∠OEA，
∴△OAB∽△OEA，
∴BE＝OB+OE＝，
∴四边形ABCE的面积为
故答案为：.
【分析】连接AC与BD交于点O，根据菱形的性质求出OB、AC的此，再证△OAB∽△OEA，求出OE的长，即可得出BE的此，再根据对角线互相垂直的四边形面积公式计算即可．
14．【答案】解：原式＝﹣32+1
＝﹣31
【知识点】零指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的运算性质，负数的零指数幂为1，，即可得到结果．
15．【答案】解：（x﹣1）（x+2）﹣3（x﹣1）
＝x2+2x﹣x﹣2﹣3x+3
＝x2﹣2x+1
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据两多项式相乘，对（x﹣1）（x+2）展开，再对﹣3（x﹣1）进行去括号运算，最后合并同类项，即可得到结果．
16．【答案】解：原式＝[]
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简即可．
17．【答案】解：如图，点P为所作．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作CD的垂直平分线交CD于P点，连接BP，则利用CP＝CD得到S△PBC＝ S△DBC＝S矩形ABCD．
18．【答案】解：如图，每个小正方形的边长均为1，
在Rt△BCE和Rt△DGF中，
∵BC，DF，
∴BC＝DF，
同理可得：DE＝AC，EF＝AB，
∴，
∴△ABC≌△EFD（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE
【知识点】三角形全等的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，根据全等三角形的性质，对应角相等，即可得到结果．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种，
所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率＝；
故答案为：；
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
20．【答案】解：解：设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，
根据题意得：31x+17﹣x＝1007，
解得：x＝33．
答：该林场原来的林木总蓄积是33万m3
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，根据现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
21．【答案】解：过点N作NH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，连接EN，如图所示：
∵ND＝EF＝1m，AB，CD，EF均垂直于FB，
∴点E，N，H在同一条直线上，四边形EFDN是矩形，CD∥AB，
∴EN＝FD＝1.7m，CN＝CD﹣ND＝1.6m
∵NH⊥AB于H，仰角α为45°，
∴△ANH是等腰直角三角形，
∴设AH＝NH＝a，
∴AE＝EN+NH＝1.7+a，AB＝AH+EF＝a+1，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△ECN∽△EAH，
∴
即
解得：a＝27.2，
∴AB＝a+1＝28.2（m）．
答：避雷针顶端A的高度AB是28.2m
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】过点N作NH⊥AB于H，连接EN，依题意得ND＝EF＝1m，EN＝FD＝1.7m，CN＝1.6m△ANH是等腰直角三角形，设AH＝NH＝a，则AE＝1.7+a，AB＝a+1，证明△ECN和△EAH相似得由此解出a即可得出避雷针顶端A的高度AB的长．
22．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝16，y＝92和x＝23，y＝155分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
答：y与x之间的函数表达式为y＝9x﹣52
（2）解：将y＝128代入y＝9x﹣52，
得9x﹣52＝128，
解得x＝20，
答：该地当时的温度约是20℃
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将y＝128代入（1）中求得的y与x之间的函数表达式，求出对应x的值即可．
23．【答案】（1）6.3
（2）6.3
（3）解：（5.6+5.9+6.0+6.0+6.3+6.3+6.3+6.7+6.8+7.0）÷10＝6.29，
（5.9+6.2+6.3+6.3+6.3+6.3+6.5+6.6+6.7+6.8）÷10＝6.39，
∵6.39＞6.29，
∴乙块试验田里的大麦整体生长情况好一些
【知识点】数据分析；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为 6.3cm；
故答案为：6.3；
（2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为6.3cm；
故答案为：6.3；
【分析】（1）利用众数的定义解答；
（2）利用中位数的定义解答；
（3）利用平均数的定义解答．
24．【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵，
∴∠D＝∠C，
∴∠C+∠ABD＝90°，
∵∠ABE＝∠C，
∴∠ABE+∠ABD＝90°，
即∠EBD＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线
（2）解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，
由勾股定理得，，
∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
∵BD是⊙O的直径，
∴BD＝AC＝20，∠BAD＝90°，
由勾股定理得，AD，
由（1）知∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠BAD＝90°，
又∵∠D为公共角，
∴△BDA∽△EBD，
∴，
∴，
∴DE
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAD＝90°，于是有∠D+∠ABD＝90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，结合已知∠ABE＝∠C推出∠ABE+∠ABD＝90°，问题即可得证；
（2）由勾股定理求出AC的长，即可得出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，再证△BDA∽△EBD，即可求出DE的长．
25．【答案】（1）解：根据题意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2；
令x＝3，yx2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b；
因此，A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是yx2x+1和yx2x+2；
函数yx2x+1的对称轴为x＝1，此时y，
因此，A喷头喷出的水流的最大高度为m
（2）解：函数yx2x+2，令x＝4，y424+2，
因此，B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可；
（2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x＝4，通过计算y的值即可判断．
26．【答案】（1）
（2）解：可以．
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm，
∴CM＝（160﹣x）cm，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2，
∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，
解得：x＝50，
∴AM（cm），
∴S△ABCBC AM（cm2）
∵点O为△ABC的内心，
∴OH＝OP＝OQ＝R cm，
∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，
∴BC OHAC OPAB OQ，
即（100+160+140）R，
∴R
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；几何图形的面积计算-割补法；等积变换
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，
由勾股定理得：BC＝.
由三角形的面积得：S△ABC＝AB AC＝BC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD＝，
故答案为：.
【分析】（1）先根据勾股定理求出BC＝17，再根据三角形的面积公式可求出AD的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm，则CM＝（160﹣x）cm，再根据勾股定理列出关于x的方程得1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，则x＝50，进而得AM＝，则S△ABC＝，然后根据S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，得（100+160+140）R＝据此可得⊙O的半径．
1 / 1陕西省2024年中考数学试卷（副卷）
1．（2024·陕西）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是.
故选：A ．
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此分析计算，即可求解．
2．（2024·陕西） 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．0.38×106 B．3.8×105 C．38×104 D．3.8×106
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：380000＝3.8×105．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．（2024·陕西） 如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝59°，则∠2的度数为（ ）
A．118° B．120° C．121° D．131°
【答案】C
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，l2∥l3，
∴l1∥l3，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝59°，
∴∠2＝180°﹣59°＝121°，
故答案为：C.
【分析】先根据平行公理的推论得出l1∥l3，再根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠2＝180°，即可求出∠2的度数．
4．（2024·陕西） 不等式组的解集为（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＜3 D．1≤x＜3
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x≥3﹣x，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜3．
故答案为：D.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
5．（2024·陕西） 若点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）在同一个正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则（ ）
A．y1＝﹣y2 B．y1＝y2 C．y2＞0 D．y2＞y1
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：根据题意得，y1＝﹣2k＞0，y2＝2k＜0，故选项C错误；
y1＞y2，故选项D错误；
y1＝﹣y2，故选项B错误，选项A正确．
故答案为：A.
【分析】根据题意得，y1＝﹣2k＞0，y2＝2k＜0，y1＝﹣y2，然后判断四个选项是否正确．
6．（2024·陕西） 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，
∴AB＝
由旋转的性质得到：A'B'＝AB＝，OA'＝OA，OB'＝OB，∠A'OB'＝∠AOB＝90°，
∴OA'＝OB'，
∵△AOB绕点O顺时针旋转45°，
∴∠BOB'＝45°，
∴∠BOA'＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOB'＝∠BOA'，
∵OA'＝OB'，
∴D是A'B'的中点，
OD＝A'B'＝3．
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质得到：A'B'＝AB，OA'＝OA，OB'＝OB，∠A'OB'＝∠AOB，因此OA'＝OB'，求出∠BOA'＝45°，得到∠BOB'＝∠BOA'，由等腰三角形的性质得到D是A'B'的中点，由直角三角形斜边中线的性质即可得到OD的值.
7．（2024·陕西）如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为( )
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，
是正方形的中心，
在上，且，，
，
，，
，
在和中，
，
，
四边形是正方形对边平行，则，
，
，
解得：，
故选：D．
【分析】根据正方形的性质，利用ASA得到△AOF≌△COE，即可得到，然后根据平行证明，根据对应边成比例解答即可．
8．（2024·陕西） 关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，
函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误；
y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误；
当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确．
故答案为：C.
【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确．
9．（2024·陕西）计算：= ．
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：原式==4．
【分析】运用开平方定义化简．
10．（2024·陕西） 小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则m＝ ．
【答案】12
【知识点】图形的剪拼；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正m边形的一个内角的度数为＝150°，
∴150°m＝（m﹣2）×180°，
解得m＝12．
故答案为：12.
【分析】根据平面镶嵌的定义，求出正m边形的一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式即可求解出答案．
11．（2024·陕西） 如图，AB为⊙O的直径，，∠A＝53°，则∠B的度数是 ．
【答案】37°
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝53°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝37°，
∵，
∴∠ABD＝∠ABC＝37°，
故答案为：37°.
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，进而可求出∠ABC＝37°，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出∠ABC的度数．
12．（2024·陕西） 如图，点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数y（k＞0）的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若△ABC的面积为32，则k的值为 ．
【答案】15
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A（3，m），点B（﹣5，n），AC和BC分别垂直于x轴和y轴，
∴点C的坐标为（3，n），且∠C＝90°，
∴AC＝m﹣n，BC＝3﹣（﹣5）＝8，
∵△ABC的面积为32，
∴BC AC＝32，
∴×8（m﹣n）＝32，
整理得：m﹣n＝8，
∵点A（3，m），点B（﹣5，n）在同一个反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k＝3m＝﹣5n，
方程组，
∴k＝3m＝15．
故答案为：15．
【分析】依题意得点C（3，n），则AC＝m﹣n，BC＝8，根据△ABC的面积为32得×8（m﹣n）＝32，即m﹣n＝8，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝3m＝﹣5n，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值．
13．（2024·陕西） 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；多边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝=＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
∴AC＝2OA＝6，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴∠OAE+∠OEA＝90°，
∵AE⊥AB，
∴∠OAB+∠OAE＝90°，
∴∠OAB＝∠OEA，
∴△OAB∽△OEA，
∴BE＝OB+OE＝，
∴四边形ABCE的面积为
故答案为：.
【分析】连接AC与BD交于点O，根据菱形的性质求出OB、AC的此，再证△OAB∽△OEA，求出OE的长，即可得出BE的此，再根据对角线互相垂直的四边形面积公式计算即可．
14．（2024·陕西） 计算：8×（﹣4）+（）0+||．
【答案】解：原式＝﹣32+1
＝﹣31
【知识点】零指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的运算性质，负数的零指数幂为1，，即可得到结果．
15．（2024·陕西） 计算：（x﹣1）（x+2）﹣3（x﹣1）．
【答案】解：（x﹣1）（x+2）﹣3（x﹣1）
＝x2+2x﹣x﹣2﹣3x+3
＝x2﹣2x+1
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据两多项式相乘，对（x﹣1）（x+2）展开，再对﹣3（x﹣1）进行去括号运算，最后合并同类项，即可得到结果．
16．（2024·陕西） 化简：（）．
【答案】解：原式＝[]
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简即可．
17．（2024·陕西） 如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法，在边CD上求作一点P，使S△PBCS矩形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点P为所作．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作CD的垂直平分线交CD于P点，连接BP，则利用CP＝CD得到S△PBC＝ S△DBC＝S矩形ABCD．
18．（2024·陕西） 如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上．求证：∠ABC＝∠DFE．
【答案】解：如图，每个小正方形的边长均为1，
在Rt△BCE和Rt△DGF中，
∵BC，DF，
∴BC＝DF，
同理可得：DE＝AC，EF＝AB，
∴，
∴△ABC≌△EFD（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE
【知识点】三角形全等的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，根据全等三角形的性质，对应角相等，即可得到结果．
19．（2024·陕西） 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是 ；
（2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种，
所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率＝；
故答案为：；
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
20．（2024·陕西） 塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万m3？
【答案】解：解：设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，
根据题意得：31x+17﹣x＝1007，
解得：x＝33．
答：该林场原来的林木总蓄积是33万m3
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，根据现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
21．（2024·陕西） 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB．小明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF，使点E，C，A在同一直线上，并测得ND＝1m，FD＝1.7m．已知CD＝2.6m，EF＝1m，F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD，EF均垂直于FB，求避雷针顶端A的高度AB．
【答案】解：过点N作NH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，连接EN，如图所示：
∵ND＝EF＝1m，AB，CD，EF均垂直于FB，
∴点E，N，H在同一条直线上，四边形EFDN是矩形，CD∥AB，
∴EN＝FD＝1.7m，CN＝CD﹣ND＝1.6m
∵NH⊥AB于H，仰角α为45°，
∴△ANH是等腰直角三角形，
∴设AH＝NH＝a，
∴AE＝EN+NH＝1.7+a，AB＝AH+EF＝a+1，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△ECN∽△EAH，
∴
即
解得：a＝27.2，
∴AB＝a+1＝28.2（m）．
答：避雷针顶端A的高度AB是28.2m
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】过点N作NH⊥AB于H，连接EN，依题意得ND＝EF＝1m，EN＝FD＝1.7m，CN＝1.6m△ANH是等腰直角三角形，设AH＝NH＝a，则AE＝1.7+a，AB＝a+1，证明△ECN和△EAH相似得由此解出a即可得出避雷针顶端A的高度AB的长．
22．（2024·陕西） 实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝16，y＝92和x＝23，y＝155分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
答：y与x之间的函数表达式为y＝9x﹣52
（2）解：将y＝128代入y＝9x﹣52，
得9x﹣52＝128，
解得x＝20，
答：该地当时的温度约是20℃
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将y＝128代入（1）中求得的y与x之间的函数表达式，求出对应x的值即可．
23．（2024·陕西） 甲、乙两块试验田里种植了一新品种大麦，为了了解大麦的生长情况，农业科研人员从甲、乙试验田里各随机抽取了10株，量得其麦穗长度（单位：cm）如表：
甲试验田 5.6 5.9 6.0 6.0 6.3 6.3 6.3 6.7 6.8 7.0
乙试验田 5.9 6.2 6.3 6.3 6.3 6.3 6.5 6.6 6.7 6.8
根据以上数据，解答下列问题：
（1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为 cm；
（2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为 cm；
（3）一般情况下，一块田里麦穗的平均长度越长，大麦的整体生长情况就越好，请估计这两块试验田中，哪一块试验田里的大麦整体生长情况好一些？
【答案】（1）6.3
（2）6.3
（3）解：（5.6+5.9+6.0+6.0+6.3+6.3+6.3+6.7+6.8+7.0）÷10＝6.29，
（5.9+6.2+6.3+6.3+6.3+6.3+6.5+6.6+6.7+6.8）÷10＝6.39，
∵6.39＞6.29，
∴乙块试验田里的大麦整体生长情况好一些
【知识点】数据分析；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为 6.3cm；
故答案为：6.3；
（2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为6.3cm；
故答案为：6.3；
【分析】（1）利用众数的定义解答；
（2）利用中位数的定义解答；
（3）利用平均数的定义解答．
24．（2024·陕西） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE＝∠C，并与DA的延长线交于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当AB＝16，BC＝12时，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵，
∴∠D＝∠C，
∴∠C+∠ABD＝90°，
∵∠ABE＝∠C，
∴∠ABE+∠ABD＝90°，
即∠EBD＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线
（2）解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，
由勾股定理得，，
∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
∵BD是⊙O的直径，
∴BD＝AC＝20，∠BAD＝90°，
由勾股定理得，AD，
由（1）知∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠BAD＝90°，
又∵∠D为公共角，
∴△BDA∽△EBD，
∴，
∴，
∴DE
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAD＝90°，于是有∠D+∠ABD＝90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，结合已知∠ABE＝∠C推出∠ABE+∠ABD＝90°，问题即可得证；
（2）由勾股定理求出AC的长，即可得出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，再证△BDA∽△EBD，即可求出DE的长．
25．（2024·陕西） 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是yx2+bx+c和yx2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
【答案】（1）解：根据题意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2；
令x＝3，yx2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b；
因此，A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是yx2x+1和yx2x+2；
函数yx2x+1的对称轴为x＝1，此时y，
因此，A喷头喷出的水流的最大高度为m
（2）解：函数yx2x+2，令x＝4，y424+2，
因此，B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可；
（2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x＝4，通过计算y的值即可判断．
26．（2024·陕西）
（1）问题提出
如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ；
（2）问题解决
如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：可以．
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm，
∴CM＝（160﹣x）cm，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2，
∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，
解得：x＝50，
∴AM（cm），
∴S△ABCBC AM（cm2）
∵点O为△ABC的内心，
∴OH＝OP＝OQ＝R cm，
∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，
∴BC OHAC OPAB OQ，
即（100+160+140）R，
∴R
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；几何图形的面积计算-割补法；等积变换
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，
由勾股定理得：BC＝.
由三角形的面积得：S△ABC＝AB AC＝BC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD＝，
故答案为：.
【分析】（1）先根据勾股定理求出BC＝17，再根据三角形的面积公式可求出AD的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm，则CM＝（160﹣x）cm，再根据勾股定理列出关于x的方程得1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，则x＝50，进而得AM＝，则S△ABC＝，然后根据S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，得（100+160+140）R＝据此可得⊙O的半径．
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