2025-2026人教版七年级数学分层精析精练 7.2.1平行线的概念（含解析）

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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
7.2.1平行线的概念
知识点1、认识平行线
一、单选题
1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
2．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．下列说法中，正确的有（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种
B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与相交
D．在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交
三、判断题
4．若两条线段没有相交，则这两条线段所在直线是平行的．( )
5．若两条直线不相交，则它们就平行． ．（判断对错）
四、填空题
6．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号）
五、解答题
7．如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来．
8．在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？
知识点2 平行公理及其推论
一、单选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离
10．下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
故选A．
11．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（ ）
A． B．分别与相交与相交或平行
C． D．分别与相交或平行
二、填空题
12．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性．
13．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ．
14．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线．
15．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ．
16．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是
三、解答题
17．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答．
(1)过点B画直线a的平行线．能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？
18．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由．
19．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字．
(1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
20．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足＝0
(1)求A、B两点坐标；
(2)如图1，直线l⊥x轴，垂足为点．点P为l上一点，且点P在第四象限，若△PAB的面积为3.5，求点P的坐标；
(3)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段AB上任意一点，以O为顶点作∠EOF，使，OF交CD于F．点G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠AEG＝∠AEO．当点E在线段AB上运动时，EG始终垂直于GF，试写出∠CFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论．
易错点
对平行公理理解不透导致错误
21．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的周长为12，OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，且OC：OA=1：2．
(1)求点B的坐标．
(2)如图，点Q在线段BC上，过点Q的直线，若直线l将长方形OABC面积分为1：3两部分，求点Q的坐标．
(3)点Q在线段BC上，过点Q的直线，在直线l上有点M，若∠CMB=120°，求∠OCM＋∠ABM的大小．
22．在同一平面内，有三条直线a，b，c，它们之间有哪几种可能的位置关系？画图说明．
1．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：
(1)过点作的平行线；
(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．
2．用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)如图①，过点E分别画和的平行线；
(2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线．
3．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．
（1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E．
（2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G．
【发现】与的位置关系为______．
【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．
4．在平面直角坐标系中，有点，，且，满足．
(1)如图1，、两点坐标为_________，_________；
(2)如图2，点为轴负半轴上一点，过点作，为线段上任意一点，以为顶点作，交于点．
①写出、、的数量关系并给出证明．
②如图3，若，点为线段与线段之间一点，连接，，且，，求的度数．
5．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数.
6．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点，使得直线，画出直线；
(2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；
(3)找一格点，使得直线，画出直线；
(4)___________；（填“>”“<”或“=”）
1．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ．
2．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B．
(1)请写出A、B点的坐标；，.
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
3．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法，
(1)在图①中，过点A画一条平分△ABC周长的直线AD；
(2)在图②中，过点B画一条平分△ABC面积的直线BE；
(3)在图③中，过点C画一条将△ABC周长分成7：9两部分的直线CF．
2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
7.2.1平行线的概念(解析版)
知识点1、认识平行线
一、单选题
1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
【答案】C
【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系．
同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行．
【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况．
只有平行的直线无公共点；
故选：C．
2．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识．
直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案．
【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或．
故选：D．
二、多选题
3．下列说法中，正确的有（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种
B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与相交
D．在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交
【答案】BD
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，涉及平行公理、相交与平行的性质等初中几何知识．
【详解】解：A、因为在同一平面内，两条直线的位置关系仅有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，并非独立关系；
B、依据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
C、当直线与相交、与相交时，与可能平行（例如三条直线中为横线，为平行竖线），故不一定相交；
D、由且与相交，若则推出（平行传递性），与已知矛盾，故与必相交．
故选：BD．
三、判断题
4．若两条线段没有相交，则这两条线段所在直线是平行的．( )
【答案】×
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，线段没有交点，不代表两条线段所在的直线没有交点，据此进行判断即可．
【详解】解：两条线段没有相交，可能存在两种情况：
①它们所在的直线平行，此时线段不相交；
②它们所在的直线不平行（即相交），但线段未延伸至交点处；
故原说法错误；
故：×
5．若两条直线不相交，则它们就平行． ．（判断对错）
【答案】×
【分析】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，明确研究前提是同一平面内成为解题的关键．
根据平面内两直线的位置关系判断，需考虑是否在同一平面内即可解答．
【详解】解：在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．若不相交则一定平行．但题目未说明“在同一平面内”，因此这两条直线可能位于不同的平面，此时不相交的直线称为异面直线，它们不平行．故原命题缺少前提条件，结论不成立．
故答案为：×．
四、填空题
6．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．
【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意；
②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意；
③百米跑道线，是平行线，符合题意；
④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意；
综上：属于平行线的有①③④，三个．
故答案为：①③④．
五、解答题
7．如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来．
【答案】，，
【分析】本题考查网格中平行线的识别，熟记平行线的特征是解决问题的关键．
根据网格中各个线段的特征求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
由于是矩形的对角线，则图中也是矩形对角线的是，
即；
由于是正方形的对角线，图中正方形的对角线的是，
即；
由于是矩形的对角线，图中矩形对角线的是，
即；
综上所述，互相平行的线段有，，．
8．在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？
【答案】在同一条直线上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可．
【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示．
理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
知识点2 平行公理及其推论
一、单选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离
【答案】D
【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可．
【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意；
D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意．
故选：D．
10．下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键．
根据平行线的定义进行逐一判定即可．
【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意；
故选A．
11．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（ ）
A． B．分别与相交与相交或平行
C． D．分别与相交或平行
【答案】B
【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可．
【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）；
B：正确（如图2）
C：，但反推回去不一定成立（如图3）；
D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）．
二、填空题
12．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性．
【答案】互相平行
【分析】本题主要考查平行线公理及推论，根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.
【详解】平行线的传递性定理指出：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.
故答案为：互相平行．
13．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ．
【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行
延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
14．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线．
【答案】②
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【详解】解：∵当时，时，．
点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：②．
15．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ．
【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案．
【详解】解：不能，
与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行，
故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
16．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点N，P，M在同一条直线上，
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
三、解答题
17．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答．
(1)过点B画直线a的平行线．能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？
【答案】(1)能画1条
(2)见解析；平行
【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数；
（2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系．
【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条．
（2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．
18．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．
【详解】解：，理由如下：
，，
（平行公理）．
19．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字．
(1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）
(2)．理由见解析
【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理．
（1）根据平行线的定义解答即可；
（2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可．
【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）；
（2）解：．理由如下：
，
．
20．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足＝0
(1)求A、B两点坐标；
(2)如图1，直线l⊥x轴，垂足为点．点P为l上一点，且点P在第四象限，若△PAB的面积为3.5，求点P的坐标；
(3)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段AB上任意一点，以O为顶点作∠EOF，使，OF交CD于F．点G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠AEG＝∠AEO．当点E在线段AB上运动时，EG始终垂直于GF，试写出∠CFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用偶次方和绝对值的非负性求出的值，由此即可得；
（2）连接，设点的坐标为，根据建立方程，解方程即可得；
（3）过点作于点，设，则，根据四边形的内角和可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得，
，．
（2）解：如图，连接，
由题意，设点的坐标为，则，
，
，
的面积为，
，即，
解得，
则点的坐标为．
（3）解：，证明如下：
如图，过点作于点，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
又，
，
，
即．
【点睛】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、坐标与图形、平行线的性质、平行公理推论等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
易错点
对平行公理理解不透导致错误
21．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的周长为12，OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，且OC：OA=1：2．
(1)求点B的坐标．
(2)如图，点Q在线段BC上，过点Q的直线，若直线l将长方形OABC面积分为1：3两部分，求点Q的坐标．
(3)点Q在线段BC上，过点Q的直线，在直线l上有点M，若∠CMB=120°，求∠OCM＋∠ABM的大小．
【答案】(1)点B：（4，2）
(2)点Q的坐标为（1，2）或（3，2）
(3)∠OCM+∠ABM=120°或∠OCM+∠ABM=240°
【分析】（1）根据长方形OABC的周长为12，OC：OA=1：2，求出，，得出点B的坐标；
（2）分四边形COPQ的面积与四边形QPAB的面积之比为1：3或四边形COPQ的面积与四边形QPAB的面积之比为3：1两种情况，分别求出点Q的坐标即可；
（3）分点M在点Q的上方或点M在点Q的下方两种情况进行讨论，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵长方形OABC的周长为12，OC：OA=1：2，
∴，，
∴点B的坐标为（4，2）．
（2）解：当四边形COPQ的面积与四边形QPAB的面积之比为1：3时，CQ：BQ=1：3，则，
∴此时点Q的坐标为（1，2）；
当四边形COPQ的面积与四边形QPAB的面积之比为3：1时，CQ：BQ=3：1，则，
∴此时点Q的坐标为（3，2）；
综上分析可知，点Q的坐标为（1，2）或（3，2）．
（3）解：当点M在点Q的下方时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴∠OCM+∠ABM=120°；
当点M在点Q的上方时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴∠OCM+∠ABM=180°+180°-120°=240°；
综上分析可知，∠OCM+∠ABM=120°或∠OCM+∠ABM=240°．
【点睛】本题主要考查了长方形的性质，平行线的性质，平行线公理的应用，熟练掌握两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．
22．在同一平面内，有三条直线a，b，c，它们之间有哪几种可能的位置关系？画图说明．
【答案】有四种可能的位置关系，见解析.
【分析】在同一平面内，三条直线位置关系有四种可能：（1）三条直线相互平行，（2）两条直线平行，第三条直线与两条平行直线相交；（3）三角直线相交于一点，（4）三条直线两两相交.
【详解】解：有四种可能的位置关系,如下图：
（1）三条直线相互平行,
（2）两条直线平行,第三条直线与两条平行直线相交,
（3）三角直线相交于一点,
（4）三条直线两两相交.
【点睛】本题考查的是平面内三条直线的位置关系，清晰的分类讨论是解本题的关键.
1．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：
(1)过点作的平行线；
(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键，
（1）根据所有横线都是平行的作图即可；
（2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：所求图形如图所示．
2．用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)如图①，过点E分别画和的平行线；
(2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题考查了画平行线，解答本题的关键是掌握平行线的画法；
（1）将直尺与重合，三角尺与重合，然后将三角尺沿直尺向上平移，使之平移至E点，然后过E点画直线即可得到与平行的直线；利用同样的画法，画出经过点E与直线平行的直线；
（2）将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺移动三角板使一边经过点A，过点A沿这边画直线，此直线即为过点A且平行于的直线;把三角板一边与重合，按上述方法操作，画出过点B且平行于的直线;将三角板一边与重合，通过上述平移三角板的方法，画出过点C且平行于的直线 ．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：如图所示：
3．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．
（1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E．
（2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G．
【发现】与的位置关系为______．
【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行．
【分析】（1）根据网格结构作出的垂线即可；
（2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得与的位置关系以及结论．
【详解】解：（1）如图，，D为垂足；
（2）如图，，，
与的位置关系为平行；
结论：平行于同一条直线的两条直线平行．
【点睛】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，有点，，且，满足．
(1)如图1，、两点坐标为_________，_________；
(2)如图2，点为轴负半轴上一点，过点作，为线段上任意一点，以为顶点作，交于点．
①写出、、的数量关系并给出证明．
②如图3，若，点为线段与线段之间一点，连接，，且，，求的度数．
【答案】(1)，
(2)①，证明见解析；②
【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可求出，从而可得，由此即可得；
（2）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论；
②先根据（2）①的结论可得，从而可得，过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
，
，
，
故答案为：，．
（2）解：①，证明如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
；
②由（2）①已得：，
，
，
，
，，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、点坐标、平行线的性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件和平行线的性质是解题关键．
5．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数.
【答案】∠AOC=60°
【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC．
【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD,
所以A,O,B在同一条直线上，
所以∠AOB=180°.
因为∠AOC=∠AOB，
所以∠AOC=60°
【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c．
6．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点，使得直线，画出直线；
(2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；
(3)找一格点，使得直线，画出直线；
(4)___________；（填“>”“<”或“=”）
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)见详解；
(4)>
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据垂直的定义画图即可
（3）根据垂直定义画图即可；
（4）根据垂线段最短判断即可．
本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义．
【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，画图如下，
则即为所求．
（3）解：根据题意画图如下：
则直线即为所求．
（4）解：∵，
∴根据垂线段最短，得．
故 答案为：>．
1．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ．
【答案】
垂直
【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系．
【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，……
∴与依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵，
∴与的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
2．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B．
(1)请写出A、B点的坐标；，.
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；0；2；0
(2)
(3)P点的坐标为或
【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点B的坐标；
（2）如图2所示：过E作．首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质、角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可；
（3）①当P在y轴正半轴上时，设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，然后，用含t的式子表示出，的长，然后依据列方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N，设点，然后用含a的式子表示出、的长，最后，依据列方程求解即可．
【详解】（1）解：（1），
，，
，，
，．
故答案为：；0；2；0．
（2）如图，过E作．
轴，
轴，，
．
又，
，
．
，
，
，．
，分别平分，，
，，
．
（3）①当P在y轴正半轴上时，如图，
设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，．
，
，
，
解得，
即点P的坐标为．
②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N．
设点，则，，．
，
，
解得，
点P的坐标为．
综上所述，P点的坐标为或．
【点睛】本题是三角形的综合应用，坐标与图形，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解题的关键．
3．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法，
(1)在图①中，过点A画一条平分△ABC周长的直线AD；
(2)在图②中，过点B画一条平分△ABC面积的直线BE；
(3)在图③中，过点C画一条将△ABC周长分成7：9两部分的直线CF．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）如图①，根据等腰三角形的性质，可知与底边的中点的连线即为所求；
（2）如图②，根据中线的性质可知中线将分成两个面积相等的三角形，找中点，连线即为所求；
（3）的周长为16，将周长分成两部分，则一部分的长为，另一部分的长为，则有以下两种情况：①，，如图③，根据平行线分线段成比例定理可知，连接HG，与AB交于点F，连接C、F即可；②，，如图④，作法同①．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴是等腰三角形
如图①，找边上的中点，连接即可；
（2）解：如图②，连接，与的交点为，连接即可；
理由：∵，
∴四边形是矩形，
∴是边上的中点，是中线
∴
∴直线即为所作．
（3）解：的周长为16，将周长分成两部分，则一部分的长为，另一部分的长为
则有以下两种情况：
①，
如图③，连接HG，与AB交于点F，连接C、F即可
理由：∵，，
∴
∵
∴，
∴则点F符合要求，直线CF即为所作；
②，
如图④，连接PQ，与AB交于点F，连接C、F即可
理由：∵，，
∴
∵
∴，
∴则点F符合要求，直线CF即为所作．
【点睛】本题考查了画直线、中线的性质，勾股定理、平行线分线段成比例定理的应用等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
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