2025-2026人教版七年级数学分层精析精练 7.2.3 平行线的性质（含解析）

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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
7.2.3 平行线的性质
知识点1、两直线平行，同位角相等
1．如图，直线，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线，直线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，木工师傅用直角尺画直线，，则与的关系是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等
5．如图，，；若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 两直线平行，内错角相等
7．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，AD平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，交于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
13．如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ．
14．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ．
15．如图，，则 ．
16．如图，，，则的度数为 ．
17．如图，已知，则 ．
18．如图， ，，，则 ．
知识点4 平行线的性质判定综合
19．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ．
20．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ．
21．如图，直线，．若，则的大小为 度．
22．如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为 ．
23．如图，直线，直线分别与，相交于点、点，平分，已知，则的度数为 ．
24．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ．
25．如图：已知，，．
(1)求证：；
(2)若平分，于，，求的度数．
26．如图，已知，点在上方，连接，．．
(1)如图（1），若，求的度数；
(2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数．
易错点
误用平行线的性质致错
27．下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若，则；⑤点到直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
28．下列图形中，由能得到 的是（ ）
A． B．
C． D．
1．如图，，，求证：．
2．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，．
(1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______；
(2)解决问题：
①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数；
②在①中若，则______，若，则______；
(3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明．
3．如图，已知B，E分别是，上的点，．
(1)与相等吗？为什么？
(2)与相等吗？请说明理由．
4．如图，已知．
(1)试判断直线与的位置关系；
(2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明；
(3)在（2）的条件下，若，求的大小．
5．如图，，，D为上的一点，连接并延长交于点F，且，问：与的位置关系如何？说明理由．
6．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由．
(3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题．
7．如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，．
(1)求证：．
(2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．
①若，，，求的度数，
②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示）
8．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
(1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作，
∵，∴______（两直线平行，内错角相等），
∵，，∴（______），
∴______（______），∴（等量代换）
(2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______．
(3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示）
1．如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
(1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)若于点，求的度数．
2．综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
3．如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．

(1)若和互补．
①求的度数；
②当，且时，求的度数；
(2)设，．若，求m，n满足的等量关系．
4．根据图象完成题目：

(1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________．
(2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________．
5．已知：如图1，．求证：．
老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ；
(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）；
(3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ．
6．如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”．
(1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数．
(2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系．
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7.2.3 平行线的性质（解析版）
知识点1、两直线平行，同位角相等
1．如图，直线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质和邻补角的性质．根据可得出，再根据邻补角的性质可得结论．
【详解】解：∵，，
，
；
故选：C．
2．如图，已知直线，直线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，两直线平行同位角相等，垂线的定义理解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先利用平行线的性质得出，，从而可得，再结合垂直的意义求得．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A
3．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用平行线性质求角度，熟记平行线的性质是解决问题的关键．
由平行线的性质：同位角相等、同旁内角互补得到，，代值计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

由平行线的性质，可得，，
，
故选：D．
4．如图，木工师傅用直角尺画直线，，则与的关系是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据“平面内垂直于同一直线的两条直线平行”可得，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
【详解】解：由作图过程知：，
∴，
∴与的关系是同位角相等．
故选：A．
5．如图，，；若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，邻补角．
由，可得，结合已知可得，由，可得，从而可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键．
结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
故选：C．
知识点2 两直线平行，内错角相等
7．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
根据两直线平行内错角相等推得即可得解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：．
8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C.
9．如图，，AD平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握．
由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
故选：B．
10．如图，，交于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由邻补角的关系可求出的度数，运用两直线平行，内错角相等即可求出的度数，．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
11．如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等．
根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：A．
12．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
13．如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
14．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ．
【答案】130
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．如图，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，由，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得，，根据对顶角相等得，可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
17．如图，已知，则 ．
【答案】/540度
【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点，分别作，进而利用同旁内角互补得出结论．
【详解】解：如图，过点，分别作，
∵，
∴，
则，，，
∴
．
故答案为：．
18．如图， ，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，由两直线平行得出同旁内角互补，，结合，，得出，再根据角的差关系列式计算，即可求出的度数．
【详解】解：过点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
知识点4 平行线的性质判定综合
19．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键；
过点作，利用平行线的性质与判定即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵，，
∴，，
∴，
∵与的夹角为，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
20．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数．
【详解】解：由题意得，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
21．如图，直线，．若，则的大小为 度．
【答案】113
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平角等知识点，可证明直线，由平行线的性质求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，∵直线，，
∴直线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
22．如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作，
∵直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
23．如图，直线，直线分别与，相交于点、点，平分，已知，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”的性质及角平分线的定义是解题的关键．
先利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数
【详解】解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
故答案为：．
24．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ．
【答案】90
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．
过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点D作，过点E作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：90．
25．如图：已知，，．
(1)求证：；
(2)若平分，于，，求的度数．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)的度数为．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论；
（2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴由得．
∵于点F，，
∴，即，
∴，
∴．
∴的度数为．
26．如图，已知，点在上方，连接，．．
(1)如图（1），若，求的度数；
(2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键．
（1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答；
（2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答．
【详解】（1）解：如图（1），过点作，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图（2），过点作，
，
，
，
，
，，
，
．
易错点
误用平行线的性质致错
27．下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若，则；⑤点到直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，判定以及垂直的性质，点到直线的距离，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：两直线平行，同位角相等，故①错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故③错误；
若，则；故④正确；
点到直线的垂线段的长，叫做点到直线的距离；故⑤错误；
故选A．
28．下列图形中，由能得到 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键，理解两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由 ，可得 ，无法求得 ；
B、由 ，可得 （两直线平行，内错角相等）；
C、和是由直线与被直线所截的一组内错角，由，无法求得；
D、和是由直线与被直线所截的一组同旁内角，由，无法求得．
故选：B．
1．如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键．
先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
2．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，．
(1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______；
(2)解决问题：
①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数；
②在①中若，则______，若，则______；
(3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明．
【答案】(1)相等；等量代换；同位角相等，两直线平行
(2)①，；②，
(3)，证明见解析
【分析】本题在平面镜反射光线的背景下考查角的运算，熟练掌握平行线的判定定理与性质以及补角定义，三角形内角和为是解题的关键．
（1）①根据题意利用平行线的性质进行分析即可；
②根据题意利用平行线的判定定理进行分析即可；
（2）图见解析，根据题意得，再利用平行线的判定定理与性质以及补角定义，得出度数，再利用三角形内角和为进行综合分析求解；
（3）先提出猜想时，再结合平行线的性质以及补角定义，三角形内角和为进行证明．
【详解】（1）解：，
，
又，，
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
故答案为：相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
（2）
①如图所示
由光的反射可知且
故答案为：，；
②
度数与无关，若，；若，
故答案为：，
（3）时，理由如下：
当，则
故答案为：
3．如图，已知B，E分别是，上的点，．
(1)与相等吗？为什么？
(2)与相等吗？请说明理由．
【答案】(1)与相等，理由见解析
(2)与相等，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答的关键是找同位角、内错角和同旁内角证明直线平行及直线平行性质的运用．
（1）根据内错角相等，，从而判定，再根据两直线平行同位角相等即可得证；
（2）根据两直线平行内错角相等，得到，从而根据内错角相等两直线平行，得到，再根据两直线平行内错角相等即可得证．
【详解】（1）解：与相等．
理由：，
，
．
（2）与相等．
理由：由（1）知，
，
，
，
．
4．如图，已知．
(1)试判断直线与的位置关系；
(2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明；
(3)在（2）的条件下，若，求的大小．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将转化为，依据“内错角相等两直线平行”，证得；
（2）先根据平行线的性质得出，结合角平分线的意义得出，再证明，从而可得；
（3）先求得，再利用平行线的性质求得，，然后结合角平分线的意义与，求得的大小．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，直线，相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
又，
∴，，
又平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
5．如图，，，D为上的一点，连接并延长交于点F，且，问：与的位置关系如何？说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和等于180度，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，得到，则，再根据等量代换得到，得出，即可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由．
(3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)两边分别平行的两个角相等或互补
【分析】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答；
（3）综合（1）（2）即可解答．
【详解】（1）解：如图1，
，，
，
．
（2）如图2，，理由如下：
，，
，
．
（3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补．
7．如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，．
(1)求证：．
(2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．
①若，，，求的度数，
②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可；
（2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可；
②同①的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①由（1）得，
∵，，
∴
∵，
∴；
②由（1）得，
∵，，
∴
∵，
∴
∴．
8．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
(1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作，
∵，∴______（两直线平行，内错角相等），
∵，，∴（______），
∴______（______），∴（等量代换）
(2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______．
(3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示）
【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等
(2)
(3)
【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键．
（1）根据平行线的性质证明即可；
（2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案；
（3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点P作，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等．
（2）解：如图，
过点作，过点作，
，．
，
，
，
．
故答案为：．
（3）解：如图③，
延长交于点，延长交于点，
，
．
，，
即，，
，
即，
．
故答案为：．
1．如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
(1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)若于点，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解；
（2）根据已知条件，可得，再由，得，根据，，得出，进而可得的度数．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
．
2．综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可．
（2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可．
（3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：过点E作直线，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：如图，过点作，
，
，
，
，
即．
（3）解：．理由如下：
由（2）可知，
平分，平分，
，
，
，
∴．
3．如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．

(1)若和互补．
①求的度数；
②当，且时，求的度数；
(2)设，．若，求m，n满足的等量关系．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数；
（2）设，可得，，再结合即可求解．
【详解】（1）解：①和互补，
．
，
，
；
②由①得，
，
，
又，
，
．
，
，
；
（2）解：，
．
设，
，，
，
，
又，
，
，
，
即m，n满足的等量关系为．
【点睛】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质．
4．根据图象完成题目：

(1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________．
(2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系；
（2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系.
【详解】（1）解：如图①，过点作．
∵，
∴，
∴，，
∴，
即．
（2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则．
过点作，则，．
∵，
∴，
∴，
∴，
由此推得．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律．
5．已知：如图1，．求证：．
老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ；
(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）；
(3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补
(2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）；
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，
（1）根据平行线的性质进行填空即可；
（2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；
（3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可．
【详解】（1）证明：∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
（2）①
证明：如下图，过D作
∴
∵
∴
∴
∴；
②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
当拖动点至的下方时，如下图，过点D作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
故答案为：或（写出一种即可）．
（3）
过点B作
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
6．如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”．
(1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数．
(2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．
（1）过作，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解．
【详解】（1）解：过作，
，
，
，，
；
（2），
理由：过点作交于点，过点作
，
，，
由（）可得，
，
，
；
（3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作
，，
，
，，，
，
即；
当，，三点共线时，，
；
当，位于同侧时，
，，
，
同理可得，，，
，
即，
综上，或．
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