2025-2026人教版七年级数学分层精析精练 7.3 定义、命题、定理（含解析）

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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
7.3 定义、命题、定理
知识点1、命题
1．下列不属于命题的是（ ）
A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等
C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么
2．下列语句中是命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于
C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？
3．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式 ．
4．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
5．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ．
6．指出下列命题中的条件和结论：
(1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．
(2)绝对值等于5的数一定是5．
(3)两个钝角相等．
(4)如果，,那么．
知识点2判断命题的真假
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等
C．若，则 D．垂直于同一条直线的两条直线平行
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，不相交的两条直线平行 B．互补的角是邻补角
C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行
3．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）．
A． B． C．1 D．2
5．要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
7．请举反例说明下列命题是假命题：
(1)相等的角是直角．
(2)如果，那么．
(3)如果，那么是钝角．
8．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例．
(1)如果，那么，且．
(2)如果，那么．
知识点3 定理与证明
1．下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．对顶角相等 B．同角的余角相等
C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行
2．下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
3．下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．内错角相等 D．同角的补角相等
4．下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
5．下列说法不正确的是（　　）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
6．本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
7．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
8．证明：两个奇数之和是偶数．
9．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
10．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
11．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
12．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
1．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中假命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3．下列不是基本事实的是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4．能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是 ．（只写一个）
5．判断下列句子是否是命题：
（1）0是偶数； ；
（2）两个锐角的和是钝角； ；
（3）画两个相等的角； ；
（4）同旁内角互补； ；
（5）所有的质数都是奇数吗？ ；
（6）两条直线相交，只有一个交点． ，
6．下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
7．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ．
8．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
(2)同旁内角互补．
9．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动．
【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值．
(1)补充完整下列表格：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+2x+3 … 0 3 4 …
(2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ；
(3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明．
10．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
11．如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
12．如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
1．（1）如图1，点O在直线上，作射线，，平分
①求的度数；
②射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动，当射线首次与重合时立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当时，求t的值；
（2）如图2，点O、D在直线上，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动；同时射线从射线出发，绕点D以每秒的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得？若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，．
(1)若，则的度数为 ；
(2)探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分．
①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数；
②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）．
3．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、．
(1)当时，直接填空：___________，____________；
(2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值；
(3)当，时，求的度数．
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7.3 定义、命题、定理（解析版）
知识点1、命题
1．下列不属于命题的是（ ）
A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等
C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题的判断，熟练掌握命题的定义，是解题的关键．命题是能判断真假的陈述句，C项为作图指令，不是陈述句，因此不是命题．
【详解】解：A．取任何数时的值都是正数，是命题，故A不符合题意；
B．对顶角相等，是命题，故B不符合题意；
C．作线段的垂直平分线，是作图指令，非陈述句，不是命题，故C符合题意；
D．如果，那么，是命题，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列语句中是命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于
C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？
【答案】B
【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．根据命题是可以判断真假的陈述句的定义进行判断即可．
【详解】解：A．作线段的垂直平分线，为指令句，故不是命题；
B．三角形三个内角的和等于，为陈述句，故是命题；
C．美丽的月亮湖，为短语，故不是命题；
D．你的寒假想好怎么过了吗？为疑问句，故不是命题；
故选：B．
3．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式 ．
【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论．
【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”．
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零．
4．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
【答案】 两个角相等 它们的余角相等
【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论．
【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角”表示两个角相等，是题设；“余角相等”表示它们的余角相等，是结论．因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”．
故答案为：两个角相等，它们的余角相等．
5．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ．
【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角
【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论．
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论．
【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”，
所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”．
故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角．
6．指出下列命题中的条件和结论：
(1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．
(2)绝对值等于5的数一定是5．
(3)两个钝角相等．
(4)如果，,那么．
【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角．
(2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5．
(3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等．
(4)条件：且；结论：．
【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答，
（1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论．
（2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论．
（3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论．
（4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论．
【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角．
（2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5．
（3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等．
（4）解：条件：且；结论：．
知识点2判断命题的真假
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等
C．若，则 D．垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】A
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角性质、平行线性质与判定、平方的非负性等知识点，根据对顶角的性质可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据平方的非负性可判断C；根据平行线的判定定理可判断D．
【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，原命题是假命题，不符合题意；
C、若，则，不一定有，原命题是假命题，不符合题意；
D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，不相交的两条直线平行 B．互补的角是邻补角
C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】B
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的判定、对顶角性质及邻补角的定义
根据平行线的判定、对顶角的性质以及邻补角的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项：在同一平面内，不相交的两条直线平行，是真命题；
B选项：互补的角不一定相邻，因此不一定是邻补角，是假命题；
C选项：对顶角相等，是真命题；
D选项：内错角相等，两直线平行，是真命题；
故选：B．
3．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了命题的真假，对顶角，平行线的性质，垂线段最短，平行公理和垂直的定义，
根据以上知识点判断每个命题的真假即可．
【详解】解： ①相等的角不一定是对顶角，是假命题；
②两条直线被第三条直线所截时，内错角不一定相等，只有当两直线平行时才成立，是假命题；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线性质，是真命题；
④从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，是真命题．
∴真命题有3个．
故选：C．
4．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查命题证明与举反例，掌握好相关知识是关键．
反例需满足条件 但 ，逐个判断即可．
【详解】解：命题“若，则”是假命题的反例需满足条件 但 ．
对于A，，且，满足题意，故A正确；
对于B，，但，不满足题意，故B错误；
对于C，，，不满足题意，故C错误；
对于D，，，不满足题意，故D错误．
故选：A．
5．要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查判定命题是假命题的一个常用方法——举反例．反例是个实例，它要符合命题的题设，不符合命题的结论．要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足但的一组即可，逐一验证．
【详解】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意；
B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意；
C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意；
D、，且，不能作为反例，不符合题意．
故选：C．
6．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质．
（1）根据题意举反例即可；
（2）由不等式的性质可得，，即可证得结论．
【详解】（1）解：例如：，，，，，得到．
（2）证明：∵，
∴，，
∴．
7．请举反例说明下列命题是假命题：
(1)相等的角是直角．
(2)如果，那么．
(3)如果，那么是钝角．
【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角．
(2)例如，，，则，但，．
(3)例如，，，则，但不是钝角．
【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等．
（1）根据原命题举出反例即可求解；
（2）根据原命题举出反例即可求解；
（3）根据原命题举出反例即可求解．
【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角，
例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角．
∴命题“相等的角是直角”是假命题．
（2）解：∵如果，和可能互为相反数，
例如，，，此时，但，．
∴命题“如果，那么，”是假命题．
（3）解：如果，可能不是钝角，
例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角．
∴命题“如果，那么是钝角”是假命题．
8．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例．
(1)如果，那么，且．
(2)如果，那么．
【答案】(1)假命题，反例：，
(2)假命题，反例：，
【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0．
（2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系．
【详解】（1）解：该命题是假命题
反例：当、时，，但此时．
（2）解：该命题是假命题
反例：当、时，，但．
知识点3 定理与证明
1．下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．对顶角相等 B．同角的余角相等
C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导．
【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明；
选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理；
选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理；
选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理；
选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理．
故选：D．
2．下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
【答案】C
【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系．
根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性．
【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题．
A：公理和定理都是真命题，此说法错误；
B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误；
C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确；
D：公理无需证明即可使用，此说法错误．
故选：C．
3．下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．内错角相等 D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键．
根据定理的概念，逐一进行判定即可．
【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意；
C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意；
D、同角的补角相等，是定理，符合题意．
故选：D．
4．下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
【答案】A
【分析】本题考查了定义的概念，互为余角的定义，对顶角的定义和性质，余角的性质，几何语言，利用定义的定义分别判断各项是解题的关键．
【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，是定义，符合题意；
B.相等的角是对顶角，不是定义，不符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长至D使，不是定义，不符合题意；
故选：A．
5．下列说法不正确的是（　　）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
【答案】C
【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键.
【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意；
定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意；
对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意；
要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意；
故选：C
6．本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
【答案】 15 甲
【分析】本题考查推理与论证，解题的关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
先确定了乙与丙打了8局，乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，进而确定三人一共打的局数，
根据甲当了8局裁判员，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，由此能求出结果．
【详解】甲当了裁判8局，
乙、丙之间打了8局，
又乙、丙分别进行了12局、11局比赛，
乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，
甲、乙、丙三人共进行了局比赛，
又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数，
甲当裁判的局为奇数局，
最后一局比赛的裁判是：甲，
故答案为：15；甲．
7．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【答案】258
【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果．
【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列：
密码由2、5、8组成，共有6种排列：
258，285，528，582，825，852
根据婷婷的条件：2不在末位；
排除末位为2的排列：
∴剩余候选：258，285，528，825，
应用乐乐的条件：5和8相邻，
∴剩余候选：258，285
应用香香的条件：中间位不是8，
最终剩余：258；
故答案为：258．
8．证明：两个奇数之和是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证．
【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则
．
因为，，都为整数，
所以为整数．
所以是偶数．
所以两个奇数之和是偶数．
9．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
．
10．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．
11．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
【答案】见解析，证明见解析
【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可．
【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时：
证明：平分，
．
，
，．
；
当条件是①③，结论是②时：
证明：平分，
．
∵，
∴，
∴，
∴；
当条件是②③，结论是①时：
，
，．
，
，
∴平分．
12．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键．
1．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假．
【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身，
∴ 命题①错误；
∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质，
∴ 命题②正确；
∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行），
∴ 命题③错误；
∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条．
∴ 命题④错误；
综上，真命题共1个．
故选：A．
2．有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中假命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查了判断真假命题，平方根、立方根等相关知识，根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案．
【详解】解：∵ 对于①，取，，有，但，∴①为假命题；
∵ 对于②，立方根具有唯一性，，则，∴②为真命题；
∵ 对于③，取，，有，但，∴③为假命题；
∵ 对于④，则 ，∴④为真命题．
∴ 假命题有①和③．
故选：B．
3．下列不是基本事实的是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【详解】解：A．两点确定一条直线，是公理，是基本事实；
B．两点之间线段最短，是公理，是基本事实；
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，不是公理，不是基本事实；
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是公理，是基本事实．
故选C．
4．能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是 ．（只写一个）
【答案】0
【分析】本题考查了举反例判断假命题．只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题．
【详解】解：当时，符合条件，
但，
∴命题“如果，那么”是假命题,
故答案为：0（答案不唯一）．
5．判断下列句子是否是命题：
（1）0是偶数； ；
（2）两个锐角的和是钝角； ；
（3）画两个相等的角； ；
（4）同旁内角互补； ；
（5）所有的质数都是奇数吗？ ；
（6）两条直线相交，只有一个交点． ，
【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题
【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键．
【详解】解：（1）0是偶数；是命题；
（2）两个锐角的和是钝角；是命题；
（3）画两个相等的角；不是命题；
（4）同旁内角互补；是命题；
（5）所有的质数都是奇数吗？不是命题；
（6）两条直线相交，只有一个交点，是命题；
故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题．
6．下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
【答案】2/两
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．
首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
综上所述：③和④是定理，共2个．
故答案为：2．
7．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ．
【答案】
【分析】本题考查逻辑推理与周期性问题，按照规则将前面几位同学所报数写出，可以发现从第位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，即可得出结论．
【详解】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：，，，, , , , , , , , , , , …可以发现从第5位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；
由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，是把前一位同学报的数加上了，
故答案为：．
8．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
(2)同旁内角互补．
【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题
(2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题
【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键．
（1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假；
（2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假．
【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图，和是同旁内角，
但两直线不平行，故和不互补．
9．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动．
【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值．
(1)补充完整下列表格：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+2x+3 … 0 3 4 …
(2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ；
(3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明．
【答案】(1)3,0
(2)当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）
(3)甲的判断不正确，乙的判断正确，反例和证明见解析
【分析】（1）将数值代入计算即可；
（2）填一个从表中数据可以得到的结论，并言之有理即可；
（3）根据表中数据即可举出反例说明甲的判断错误，通过对代数式进行变形，即可得到它的最大值为4，证明乙正确．
【详解】（1）当x=2时，﹣x2+2x+3=3；
当x=3时，﹣x2+2x+3=0；
故答案为：3；0．
（2）当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）甲的判断是不正确的，例如当x=2时，﹣x2+2x+3=3＜4；
∴同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”是错误的；
乙的判断是正确的，原因如下：
，
由于，
∴，
所以同学乙的判断正确．
【点睛】本题考查了代数式的求值及其变化规律问题，解题关键是能够根据表中数据正确判断代数式值的情况，并能够对代数式进行正确的变形．
10．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
【答案】①②③；④，证明见解析
【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；
选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到．
【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④．
证明如下：，
，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：①②③；④．
11．如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
12．如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；
（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．
【详解】解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
1．（1）如图1，点O在直线上，作射线，，平分
①求的度数；
②射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动，当射线首次与重合时立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当时，求t的值；
（2）如图2，点O、D在直线上，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动；同时射线从射线出发，绕点D以每秒的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得？若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①，t值为秒或秒；（2）存在，t值为25秒，70秒
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的数量关系，以及平行线的性质，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
（1）①先求出，由角平分线的定义求出即可；
②分2种情况求解：当在内，当在内；
（2）分4种情况根据平行线的性质列方程求解：当时，与均在上方；当时，在上方，在下方；当时，均在下方；当时，在下方．
【详解】解：（1）①如图1.1，∵
∴
∵平分
∴
②当在内，如图1.2，，
∵
∴，即
∴（秒）
当在内，如图1.3，
∵
∴，即
∴（秒）．
综上所述，t值为秒或秒．
（2）存在某时刻，使，理由如下
∵
∴
当与重合时，（秒）
当与重合时，（秒）
当与重合时，（秒）
当恰好转动一周时，（秒）
当时，与均在上方
如图2.1，，
∵，
∴，
∴
∴（秒），符合题意；
当时，在上方，在下方，
如图2.2，，
∵，
∴，
∴，
∴（秒），不合题意舍去，
当时，均在下方，
如图2.3，，
∵，
∴
即，
∴（秒），不合题意舍去；
当时，在下方，在上方，
如图2.4，，，
∵，
∴，
∴
即，
∴（秒），符合题意
综上所述，满足条件的t值为25秒，70秒．
2．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，．
(1)若，则的度数为 ；
(2)探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分．
①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数；
②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键．
（1）过点P作，则，可知，即可求出的度数；
（2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系；
（3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可；
②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可．
【详解】（1）解：如图1，过点P作，
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
如图1，过点P作，
，
；
（3）解：①由（2）得．
平分平分
．
同（2）可得
；
②．理由如下：
如图，过点P作，则有．
平分
．
平分
．
同（2）可得，
，
．
3．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、．
(1)当时，直接填空：___________，____________；
(2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值；
(3)当，时，求的度数．
【答案】(1)；
(2)不变，
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案；
（2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变；
（3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故答案为：；．
（2）解：的值不发生变化．
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
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