2025-2026人教版七年级数学分层精析精练章末复习（一）相交线与平行线（含答案）

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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
章末复习（一）相交线与平行线
考点1 相交线有关的概念和性质
1．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，与互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，已知，，所以与重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条
D．线段最短
5．如图，下列叙述不正确的是（ ）
A．和是内错角 B．和是同位角
C．和是同旁内角 D．和是邻补角
6．下列各图中，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ．
考点2平行线的性质与判定
1．如果，，那么，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．同位角相等，两直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
2．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ．
4．已知：如图所示，，垂足为，且点在直线上，与直线相交于点，．说明的理由．
5．如图所示，，平分，．试说明：．
6．根据解答过程填空．（理由或数学式）
已知：如图所示，，，试说明：．
解：因为（ ）
（ ）
所以（ ），
所以（ ），
所以．
因为（ ），
所以，
所以（ ）．
7．如图，点F在上，．
(1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，试说明．
8．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于，，求的度数．
9．如图，．
(1)与平行吗？请说明理由？
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
10．如图，已知，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若平分，于点，，求的度数．
考点3命题、定理与证明
1．下列语句是命题的是（ ）
A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C
C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是钝角
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．相等的两个角是对顶角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
3．可以用来说明“若则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
4．下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
5．下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
6．把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式： ．
7．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
8．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
9．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
10．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
考点4平移
1．濮阳杂技是一种非常古老的传统民间杂技艺术．历史悠久，起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．“耍宝”是濮阳杂技艺术节设计出的卡通图案．通过平移，如图中的“耍宝”移动得到的图是（　　）
2．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（ ）
A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm
3．小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置．若下方树干的长为，则树的高度的长为 ．
4．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ．
5．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）．
(1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形．
(2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________．
(3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由．
6．如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段．
(2)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
1．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
2．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为 ．
4．如图，，，那么相等吗？为什么？
解法1：．理由如下：
因为（已知），
所以（①_________）．
同理②_________
所以．（③_________）．
(1)请你将解法1中的证明过程补充完整．
(2)请你用另一种方法完成此题．
5．按要求画图：
(1)如图1，四边形中，，根据题意分别画图：
　　
①连接，，相交于点O；
②延长线段，与线段的延长线相交于点E；
(2)如图2，在方格纸中，按下列要求画图．
①过点P画的平行线；
②过点P画的垂线．
6．如图，点在同一条直线上，已知，平分，，，
求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由．
证明：平分（已知），
______①（角平分线的定义）．
（已知），
______②（垂直的定义）．
（已知），
∴③______（等量代换）．
______④（等量代换）．
（⑤______）．
8．综合与实践
问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间．
初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由；
深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________．
1．在初中物理学中，凸透镜成像原理与数学息息相关．
【凸透镜光学性质】如图1，1．通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变．2．平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点
【物距与像距】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
(1)如图3是凸透镜成像的光路图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是_____．
(2)如图4是凸透镜成虚像的光路图，平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，折射光线与主光轴交于点，光线的反向延长线与光线的反向延长线交于点，若，求的度数（利用作辅助线——平行线的方法解决问题）．
(3)如图5，已知，点是线段上一点，连接，使，且．
①与的位置关系为_____，请说明理由．
②在射线上找一点，使得，则与有怎样的数量关系？请直接写出答案．
2．【项目化学习】“玩转三角尺”．
【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务．
任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________
任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数．
任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数．
3．已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方．
(1)观察·思考
直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________；
(2)操作 思考
将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分；
(3)联系拓广
将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值．
4．综合与实践
问题情境：将一副三角尺（，，）和（，）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点О重合，在上．
初步感知：（1）如图2，将三角尺绕点О逆时针旋转一定的角度，使得，则的度数是_____．
深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺，使得，求的度数．
拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺，使得（在上方），试判断与的位置关系，并说明理由．
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章末复习（一）相交线与平行线（解析版）
考点1 相交线有关的概念和性质
1．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键．
根据对顶角的判定条件依次判断各选项．
【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
选项：和没有公共顶点，不是对顶角；
选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角；
选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角．
故选：．
2．下列图形中，与互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为．
【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意；
B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意；
C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意；
D、与的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）．
3．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短．
根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可．
【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动，
∴，
只有A选项不在范围内．
故选：A．
4．如图，已知，，所以与重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条
D．线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的性质，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．
根据垂线的唯一性性质，逐一判断选项．
【详解】解：根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
5．如图，下列叙述不正确的是（ ）
A．和是内错角 B．和是同位角
C．和是同旁内角 D．和是邻补角
【答案】C
【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意；
B、和是同位角，说法正确，不符合题意；
C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意；
D、和是邻补角，说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．下列各图中，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键；
根据同位角的概念分析是否为同位角即可．
【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角；
A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意；
B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意；
C、符合同位角定义，符合题意；
D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意；
故选：C ．
7．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键．
根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段．
【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
故选：C．
8．如图，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，由补角的定义得，由角的和差得，即可求解．
【详解】解：因为，
所以
，
所以
，
故答案为：．
考点2平行线的性质与判定
1．如果，，那么，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．同位角相等，两直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键．
【详解】解：∵已知，，
∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出，
∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行，
故选：D．
2．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论．
【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意；
②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意；
④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意；
∴ 错误的有①和④，共个．
故选：B．
3．如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ．
【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断．
【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在一条直线上．
故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
4．已知：如图所示，，垂足为，且点在直线上，与直线相交于点，．说明的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据同角的余角相等得出，再根据同位角相等，两直线平行，即可得出．
【详解】解：因为（已知），
所以（垂直的概念），即．
又因为（已知），
所以（同角的余角相等），
所以（同位角相等，两直线平行）．
5．如图所示，，平分，．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，根据已知条件可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证．
【详解】解：因为平分，（已知），
所以（角平分线的概念）．
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行）．
6．根据解答过程填空．（理由或数学式）
已知：如图所示，，，试说明：．
解：因为（ ）
（ ）
所以（ ），
所以（ ），
所以．
因为（ ），
所以，
所以（ ）．
【答案】邻补角的概念；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；已知；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，关键是灵活应用知识点进行论证；根据题意填写理由即可．
【详解】解：因为（ 邻补角的概念）
（ 已知 ）
所以（同角的补角相等 ），
所以（ 内错角相等，两直线平行 ），
所以．
因为（ 已知 ），
所以，
所以（ 同位角相等，两直线平行 ）．
故答案为：邻补角的概念；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；已知；同位角相等，两直线平行．
7．如图，点F在上，．
(1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，试说明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键．
（1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得；
（2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的线段；
（2）解：，
，
，
由（1）得，，
，
．
8．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义．
（1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论；
（2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
9．如图，．
(1)与平行吗？请说明理由？
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1), 理由见解析
(2), 理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质得到，等量代换得到， 即可判定， 根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）解： ， 理由如下：
∵， ，
∴，
∴；
（2）解：， 理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．如图，已知，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若平分，于点，，求的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算；
（1）根据，得出，进而证明，得出；
（2）根据平行线的性质得，进而根据角平分线的定义得出，进而根据平行线的性质得，进而根据垂直的定义即可求解．
【详解】（1）解：与平行，理由如下：
（已知），
（同位角相等，两直线平行），
，
∵，
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
考点3命题、定理与证明
1．下列语句是命题的是（ ）
A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C
C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项．
【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意；
B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意；
C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意；
D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意．
故选：D．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是钝角
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．相等的两个角是对顶角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【分析】本题考查真假命题的判断，角的和差、平行线的性质与判定、对顶角的定义．
根据角的和差、平行线的性质与判定、对顶角的定义逐一分析选项即可．
【详解】解：两个锐角的和可能是锐角（如）、直角（如）或钝角，A是假命题；
两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同旁内角才互补，B是假命题；
相等的两个角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，C是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，它们的同位角均为，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，这两条直线平行，D是真命题；
故选：D．
3．可以用来说明“若则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了反证法的应用．
本题需找到满足“”但不满足“”的反例，以此证明原命题为假命题．
【详解】∵选项A中，，
∴，
∵，即，且，即
∴该选项满足原命题的前提但不满足结论，可作为反例说明原命题是假命题
选项B中，，符合原命题结论，不是反例
选项C、D中，，不满足原命题的前提，均不是反例
故选：A
4．下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句．
根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意；
C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意；
D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意；
故选：D．
5．下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
【答案】C
【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案．
【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．
根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的．
故选：C．
6．把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式： ．
【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0
【分析】本题主要考查了命题，原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写．
【详解】解：命题“正数的绝对值大于0”中，“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”．
故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0．
7．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
8．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
【答案】见解析，证明见解析
【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可．
【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时：
证明：平分，
．
，
，．
；
当条件是①③，结论是②时：
证明：平分，
．
∵，
∴，
∴，
∴；
当条件是②③，结论是①时：
，
，．
，
，
∴平分．
9．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型．
写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明．
【详解】解：已知：，，
求证：，
证明：，
．
，
，
，
．
10．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
【答案】①②③；④，证明见解析
【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；
选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到．
【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④．
证明如下：，
，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：①②③；④．
考点4平移
1．濮阳杂技是一种非常古老的传统民间杂技艺术．历史悠久，起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．“耍宝”是濮阳杂技艺术节设计出的卡通图案．通过平移，如图中的“耍宝”移动得到的图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平移的概念，熟练掌握平移后的图形位置改变，大小和形状、方向不变是解题的关键．根据平移的概念进行判断即可．
【详解】解：A、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过旋转变换得到的，故不符合题意；
B、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过旋转变换得到的，故不符合题意；
C、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过轴对称变换得到的，故不符合题意；
D、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过平移变换得到的，故符合题意．
故选：D．
2．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（ ）
A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键．
根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长．
【详解】解：∵将线段平移得到线段
∴，
∵
∴
∵平移的距离为
∴，
∴四边形的周长为：
故选：B．
3．小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置．若下方树干的长为，则树的高度的长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质得到，根据题意计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知：，
由题意得：,
，
故答案为：．
4．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】解：由平移的性质可知，．
，，
∴，
∴三角形的面积为．
故答案为：．
5．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）．
(1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形．
(2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________．
(3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)草地的面积为．理由见解析
【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
（1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形；
（2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为；
（3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积．
【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示．
（2）解：大长方形面积：都是；
阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是；
剩余面积：大长方形面积 阴影面积；
∴．
故答案为：； ； ．
（3）解：草地的面积为．
理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度，
得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是．
6．如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段．
(2)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了图形的平移变换、线段垂直平分线的作图知识点，掌握平移时点的坐标变化规律和线段垂直平分线的定义是解题的关键．
（1）将线段的两个端点分别向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到对应点，然后连接；
（2）先找到线段的中点，再作出过点且与垂直的直线，该直线与的交点即为点，此时直线垂直平分．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求．
（2）解：如图所示，点，即为所求．
1．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
2．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作
∵，
∴
∵，，
∴，
∵
∴
又∵射线平分，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D．
3．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40，
∴中间重叠部分长方形的周长为，
由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，
∴甲、乙的周长和为，
∵甲和乙的周长相等，
∴甲的周长为，
∴正方形甲的边长为，
故答案为：．
4．如图，，，那么相等吗？为什么？
解法1：．理由如下：
因为（已知），
所以（①_________）．
同理②_________
所以．（③_________）．
(1)请你将解法1中的证明过程补充完整．
(2)请你用另一种方法完成此题．
【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②；③同角的补角相等
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键：
（1）根据平行线的性质和等量代换，进行作答即可；
（2）连接，根据平行线的性质，得到，，进而推出即可．
【详解】（1）解：解法1：．理由如下：
因为（已知），
所以（①两直线平行，同旁内角互补）
同理②
所以．（③同角的补角相等）
（2）解：解法2：．理由如下：
连接．
因为，
所以．
同理．
所以．
即．
5．按要求画图：
(1)如图1，四边形中，，根据题意分别画图：
　　
①连接，，相交于点O；
②延长线段，与线段的延长线相交于点E；
(2)如图2，在方格纸中，按下列要求画图．
①过点P画的平行线；
②过点P画的垂线．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查尺规作图—作线段、网格作图、平行线的性质与判定；
（1）①根据题意作图即可，②根据题意作图即可；
（2）①根据平行线的判定作图即可；②根据平行线判定定理即可求解．
【详解】（1）解：①如图，点O即为所求；
②如图，点E即为所求；
（2）解：①如图，即为所求；
由图可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，即为所求；
如图可得，，
∵，
∴，即，
∵，
∴．
6．如图，点在同一条直线上，已知，平分，，，
求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由．
证明：平分（已知），
______①（角平分线的定义）．
（已知），
______②（垂直的定义）．
（已知），
∴③______（等量代换）．
______④（等量代换）．
（⑤______）．
【答案】①②③④⑤内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线判定，角平分线的定义和垂线的定义，根据角平分线的定义可得，由垂直定义得，从而得，，故可得结论．
【详解】证明：平分（已知），
①（角平分线的定义）．
（已知），
②（垂直的定义）．
（已知），
∴③（等量代换）．
④（等量代换）．
（⑤内错角相等，两直线平行.）．
故答案为：①②③④⑤内错角相等，两直线平行．
7．如图所示的是潜望镜中的两面镜子和光线经过镜子反射抽象出的示意图，，，．
(1)猜想和有什么关系，并说明理由．
(2)求证：．
【答案】(1) 见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明．
（2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，
∴．
（2）证明：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．
8．综合与实践
问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间．
初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由；
深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________．
【答案】（），理由见解析；（）．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解；
（）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解．
【详解】解：（），理由，
如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（）如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
1．在初中物理学中，凸透镜成像原理与数学息息相关．
【凸透镜光学性质】如图1，1．通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变．2．平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点
【物距与像距】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
(1)如图3是凸透镜成像的光路图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是_____．
(2)如图4是凸透镜成虚像的光路图，平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，折射光线与主光轴交于点，光线的反向延长线与光线的反向延长线交于点，若，求的度数（利用作辅助线——平行线的方法解决问题）．
(3)如图5，已知，点是线段上一点，连接，使，且．
①与的位置关系为_____，请说明理由．
②在射线上找一点，使得，则与有怎样的数量关系？请直接写出答案．
【答案】(1)
(2)
(3)①，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）直接根据平行线的性质求解即可．
（2）如图，过作，证明，，进一步可得答案．
（3）①设，，可得，证明，进一步证明即可；
②如图，由①得：， 可得，过作，而，证明，可得，结合，再进一步证明即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，过作，
∵，
∴，，
∴．
（3）解：①，理由如下：
∵，设，
∴，
∵，设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
②，理由如下：
如图，由①得：，而，
∴，
∴，
过作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，垂直的定义，本题难度较大，作出图形与辅助线是解本题的关键．
2．【项目化学习】“玩转三角尺”．
【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务．
任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________
任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数．
任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数．
【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或
【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可．
【详解】解：任务一：由平移得，，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
任务二：如图，过点作，交于点，
又，
，
，，
．
，
．
答：的度数为．
任务三：需分情况讨论：
当时，如图所示，
；
当时，如图所示，
过点作交于点，
则，
同理任务二可得，；
当，且在直线b的下方时，如图所示，
则，
；
综上，的度数为或或．
3．已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方．
(1)观察·思考
直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________；
(2)操作 思考
将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分；
(3)联系拓广
将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键：
（1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可；
（2）求出，的度数，即可得证；
（3）分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：当在上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
综上：或．
4．综合与实践
问题情境：将一副三角尺（，，）和（，）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点О重合，在上．
初步感知：（1）如图2，将三角尺绕点О逆时针旋转一定的角度，使得，则的度数是_____．
深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺，使得，求的度数．
拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺，使得（在上方），试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等得到；
（2）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据计算即可；
（3）如图，连接，先根据已知得，进而推出，根据同旁内角互补，两直线平行得到．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，连接，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
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