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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.11利用二次函数的对称性求最短路径和函数值
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，点，点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）若点,,都在二次函数y=2x2+1的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ）
x … 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．， C．， D．，
4．（本题3分）若点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
6．（本题3分）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使MA+MB的值最小，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．
10．（本题3分）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．
11．（本题3分）如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为______．
12．（本题3分）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________．
13．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号）
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小．
15．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且
(1)当时，求的值；
(2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由．
16．（本题8分）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点．
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短．
17．（本题8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
18．（本题9分）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A( 1，0)、点B(0，3)．
（1）该二次函数的顶点是 ；
（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是 ．
（3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标．
19．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和在该抛物线上，如果，且，那么 ；
(3)已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围．
20．（本题12分）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标；
(2)求点A、B的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.11利用二次函数的对称性求最短路径和函数值
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，点，点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：∵抛物线的对称轴为，点与点关于该对称轴对称，
∴点到对称轴的水平距离为，
∴点的横坐标为，
∵对称点的纵坐标相等，
∴点的坐标为，
故选：C．
2．（本题3分）若点,,都在二次函数y=2x2+1的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵二次函数y=2x2+1，其对称轴为轴，开口向上，
∴对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
点关于轴对称的点为，
，，故选：A ．
3．（本题3分）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ）
x … 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
解：∵时，
∴是方程的一个根；
∵与时y值均为2，
故对称轴为，
设另一个根为，
则与关于对称，即；
解得
∴方程的根为，，
故选：C．
4．（本题3分）若点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵点，，在抛物线上，
∴，，，∴，故选：．
5．（本题3分）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
解∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线yx+3，
设直线C'F的解析式为，
将C'(﹣2，﹣2)代入得：，
解得：，
∴C'F的解析式为yx，
解方程组，得：，
∴F(，)，∴C'F．
故选：C．
6．（本题3分）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使MA+MB的值最小，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴点A关于直线的对称点为，
如图，设为点C，连接，
∴，
∴，
∴当点M在线段上时，MA+MB的值最小，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
故选：B．
7．（本题3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
解：当时，则有，
∴，
由可知：对称轴为直线，当时，则有，
解得：，
∴，
连接，，如图所示：
由轴对称可知：，所以，
∴当P、B、C三点共线时，取得最小值，
设直线的解析式为，则有，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，则有，
∴，即，
∵，
∴；
故选A．
8．（本题3分）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：把点代入得，，
∵抛物线称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得，
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，解得，，∴，
当时，，∴，
∴，，
如图，连接，与对称轴相交于点，
∵点和点关于对称轴对称，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求，
∴周长最小值，
故选：．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．
解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点M坐标为，
故答案为：．
10．（本题3分）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．
解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=，
∴四边形EDFG的周长的最小值为：．故答案是：．
11．（本题3分）如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为______．
解：过点作交于点，连接，过作于，如图：
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
将线段绕点顺时针旋转至线段，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，
，
当时，最小为，
最小为，
故答案为：．
12．（本题3分）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________．
解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，
∵该点与点关于对称轴对称，
∴，
解得，
∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为．
13．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号）
解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
由图象可得，当时，，
∴由抛物线的对称性可得，当时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
方程，即，则，
∵，的值无法确定大小，
∴无法保证，故④错误；
综上所述，正确的有①②③；
故答案为：①②③．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小．
（1）解：，
∴该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
15．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且
(1)当时，求的值；
(2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由．
（1）解：当时，，
即.
∵抛物线的对称轴是；
（2）解：∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即；
点关于对称轴对称的点的坐标是，
∵，
∴.
∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴左侧函数值y随着x的增大而增大.
∵，，在对称轴的左侧，
∴.
16．（本题8分）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点．
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短．
（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）解：如图所示，点P即为所求．
17．（本题8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，∴C（0，-2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y＝kx+b，
则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝，
当 x＝时，
y＝-2＝，
∴P（，）．
18．（本题9分）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A( 1，0)、点B(0，3)．
（1）该二次函数的顶点是 ；
（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是 ．
（3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标．
解：（1）∵y＝-x2+2x+3＝-（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4），
（2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线x＝1，B（0，3），
点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（2，3），
由图象可知，
不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
（3）函数的对称轴为直线x＝1，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示，
|AM1﹣M1C|＝|AM1﹣BM1|≤AB，
连接AB与对称轴交于点M，此时|AM﹣MC|＝|AM﹣BM|＝AB，
∴|AM﹣MC|的最大值为AB；
设直线AB解析式为y＝kx+b的图象经过A，B两点，
∴，得，∴直线AB解析式为y＝3x+3，
把x＝1代入得，y＝3×1+3=6，∴M的坐标为（1，6）；
19．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和在该抛物线上，如果，且，那么 ；
(3)已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围．
（1）解：∵；
∴对称轴为直线x1；
（2）解：∵，
∴点A、B关于对称轴对称，
∵对称轴为直线，，
∴，
故答案为：2；
（3）由题可知，
∴，
画出函数图象，
要使得线段的长随m的增大而减小，
由图可知，或．
20．（本题12分）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标；
(2)求点A、B的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
（1）解：二次函数，
令，得到：．
∴；
，
∴．
（2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点，
令，
得到：，，
∴；．
（3）假设存在点，使得的值最小
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图，
∵，
∴．
又∵，，
∴直线的解析式为：，
又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式，
得到：，
∴
又∵，
∴,
即，的最小值为．
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